1、分类号： 密 级： 单位代码： 学 号： 全日制攻读教育硕士学位论文 教师整体把握分式方程 现状研究 姓 名： 学科专业： 指导教师： 院 系： 年 月 日 首都师范大学全日制教育硕士 - 2 - 摘要 随着科学技术的飞速发展，全球各国之间的联系越来越紧密，在教育发展上也呈现出了世界性的趋势 。在课程方面， 提倡 “ 课程综合化、整体化 ” ，打破各个领域之间的界限，在学科之间进行融合；提倡 “ 课程内部综合化、反对知识碎片化 ” ，整合学科内部结构，发展主干，弱化枝干， “ 先见森林，后见树木 ” 逐渐成为主流课程理念。 数学 课程改革遵循新的课程理念也在进行着大整改。为了有效的实施“整体化
2、”对数学课程，教材编写者、教师、教育评价等教育元素首先需要对数学课程整体化有深入的了解，本文 研究各方面教育元素对数学课程的整体把握现状 ，以分式方程为例，意在 发现在实施课改当中存在的问题及其根本原因，从而大力的推动数学课程改革进程。 本文以认知结构迁移理论为基础，通过分析义务教育课程标准（ 2011年版）及各方面的文献得出，整体把握分式方程要做到以下几个方面： （ 1） 分式方程在数学大课程系统中所处的位置及与其它主线知识间的关系。 （ 2） “ 一点多维度 ” ， 从方程、分式、函数与不等式等维度 深入了解分式方程的概念。 （ 3）分式方程 中 的 方程的思想与转化的思想。 （ 4） 教
3、学过程中，应以求解分式方程为载体，体现 演绎推理的严谨性和准确性。 以上述理论为基础，本文分析了人民教育出版社、北京师范大学出版社、苏州科技大学出版三个版本的教材及两位在职教师的公开课，并对初中教师整体把握分式方程的现状做了问卷调查，通过上述研究可以发现： （ 1） 教材在某些方面没有体现数学课程的整体性 （ 2） 教师对分式方程的整体把握并不清晰 （ 3） 教学过程中不能有效的渗透数学课程的整体性 针对以上问题，教材编写者应加深对数学课程整体化的研究并对教材进行相关的调整，教师应当加强自身的专业素养，研究并完善自身的学科知识结构，在教学上选择更加有效的教学方法，从而达到 发展国民的数学抽象、
4、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养 ，促进国民综合发展的目标。 关键字 ： 课程整体化 反对知识碎片化 数学课程整体化 分式方程 整体把握 首都师范大学全日制教育硕士 - 3 - Abstract With the development of science and technology, the global ties between countries more and more closely, especially in the education. In the curriculum, to promote “the integration of the
5、 curriculum “, to break the boundaries between the various areas, disciplines is fused; To promote “internal integration of the curriculum, against the fragmentation of knowledge“, to integrate the internal structure of discipline, to develope of the trunk of discipline, weaken the branches, “First
6、saw the forest, and then see the trees“ has gradually become the mainstream curriculum concept. Mathematics curriculum reform to follow the new curriculum philosophy is also a major rectification. In order to effectively implement the “holistic“ on the mathematics curriculum, textbook writers, teach
7、ers, educational evaluation and other educational elements first need to have a deep understanding of the integration of mathematics courses, this paper of all aspects of educational elements on the overall grasp of the status of mathematics courses to Fractional equation, for example, is intended t
8、o find the problems in the implementation of curriculum reform and its root causes, so as to vigorously promote the course of mathematics curriculum reform. Based on the theory of cognitive structure , this paper analyzes the “compulsory education curriculum standard (2011 edition)“ and som aspects
9、of the literature, the overall grasp of the fractional equation to do the following aspects: (1) the relationship between the position of the fractional equation in the math curriculum system and the relationship with other mainline knowledge. (2) From the equation, fraction, function and inequality
10、 and other dimensions in-depth understanding of the concept of fractional equations. (3) The thought of equation and the idea of transformation of fraction equation. (4) During the teaching process, solving the fraction equation should be used as the carrier, reflecting the rigor of deductive reason
11、ing and accuracy. Based on the above theories, this paper analyzes the three classes of textbooks, such as Peoples Education Press, Beijing Normal University Press, Suzhou University of Science and Technology, and the open classes of two in-service teachers, and The questionnaire survey for the stat
12、us quo of mathematics curriculum understanding in the junior middle school teachers. through the above study can be found: (1) The textbook does not reflect the integrity of the math curriculum in some respects; (2) Teachers on the integral equation of the overall grasp is not clear (3) The teaching
13、 process can not effectively penetrate the integrity of mathematics courses. 首都师范大学全日制教育硕士 - 4 - In view of the above problems, the textbook writers should deepen the research on the integration of mathematics curriculum and adjust the teaching materials. Teachers should strengthen their professiona
14、l accomplishment, study and perfect their own knowledge structure, choose more effective teaching methods in teaching, So as to achieve the development of national mathematics abstraction, logical reasoning, mathematical modeling, visual imagination, mathematical operations and data analysis and oth
15、er mathematical core literacy, to promote national development goals. Key words: curriculum holistic; opposition to knowledge fragmentation; mathematics curriculum holistic; fractional equation; overall grasp 首都师范大学全日制教育硕士 一、问题的提出 - 5 - 目录 一、问题的提出 . 1 1. 研究背景 . 1 2. 研究问题 . 3 3. 研究意义 . 3 二、研究设计 . 4 1
16、. 研究对象 . 4 2. 研究方法和思路 . 4 三、整体把握分式方程的理论依据 . 5 1与分式方程有关的的数学知识 . 5 2. 分式方程的历史 . 5 3整体把握分式方程的理论依据 . 8 4. 整体把握分式方程 .10 四、研究过程 .11 1. 教材分析 .11 2. 教师整体把握分式方程的现状分析 .15 3. 中考大纲分析 .22 五 .研究结果及建议 .22 1.研究结果 .22 2. 研究建议 .23 六 .研究的不足与展望 .26 1研究的不足 .26 2研究的展望 .26 致谢 .27 附录一：调查问卷（教师版） .28 参考文献 .30 首都师范大学全日制教育硕士 一
17、、问题的提出 1 一、 问题的提出 1. 研究背景 随着科学技术的飞速发展，全球各国之间的联系越来越紧密，在教育发展上也呈现出了世界性的趋势，尤其是在课程改革的方面，各国建立符合国家特性的课程标准，对各个层次课程质量进行总体上的要求；提倡 “课程综合化、整体化 ”，打破各个领域之间的界限，在学科之间进行融合；提倡 “课程内部综合化、反对知识碎片化 ”，整合学科内部结构，发展主干，弱化枝干，以 “先见森林，后见树木 ”的教育理念，使得学习是在清晰、明确的目标引导之下进行，培养国民的综合能力，发展国民的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养。 数学教育工作者对学科
18、内部知识的整体把握是数学课程改革巨大的动力。研究各方面教育元素对数学课程的整体把握现状可以发现在实施课改当中存在的问题及其根本原因，从而大力的推动数学课程改革进程。 1.1 课程整体化的改革趋势 郭思乐教授（华南师范大学）提出了教育要走向“生本”，在教育儿童以自身能力去发展社会的基础上，更注重 教育他们挖掘自身的发展与自由意志 ，鼓励儿童寻找自身的深层次的幸福感。 从 外部地位上 看 ，学生 是独立的具有主观能动性的个体；从学生内部的自身条件上看， 儿童从出生开始就在不断的学习，不断的创新，拥有无数的潜能。儿童 是教育所依 ，儿童 的发展是教育的本体， 儿童 的自然天性和潜能的发展是教育的根本
19、目的。生本教育指出，“一切为了学生”，现代课程改革要跳出打着学生本体为旗号的教师本体的误区，一切为了学生的长远发展； 在这样的价值观的基础上 ，生本教育提倡“小立课程 ，大作功夫 ” 的课程观 ： “教给学生们尽可能精简的基础知识 ，让学生有 更多的时间和精力去进行大量的活动。”郭教授指出，这种课程观之所以能够成立，是因为系统功能：“由系统中的最小独立子系统，可以得到或生成整个系统。 ”目前，学生在学习知识时是一点一点的学，如代数，先学习单项式多项式，再学习整式，对于整式的各种运算法则（加减、乘除、因式分解）要用三章的内容学习，在学习的过程中，学生总带着一种“学这些有什么用”的想法，比如起初学
20、生刚刚开始接触单项式 3，这个单项式能做什么呢？生活中能用吗？在数学里有什么用？这种疑问导致学生“不知所以学”，从而丧失了学习兴趣。 现代教学中这种例子比比皆是，将知识内容“过度分析”，如数 学教学中的题型化，以高考卷子或是期中期末卷子为模板，考什么就讲什么。“知识赖以产生、存在及发展的整体事物被拆解了，学生的思维变成了若干部分的拼装” 1。 芬兰课程改革：“先见森林，后见树木”。芬兰自在国际学生能力评比（ PISA）测试中崭露头角之后， 他的课程改革理念受到了全世界的关注。他的“悖论”理念给予首都师范大学全日制教育硕士 一、问题的提出 2 世界各国许多榜样案例与启迪，如“教的越少学的越多，考
21、试越少学的越多”，强调了课程要选择最重要的、最基础的主干知识，把时间留给学生，让学生将学习到的扎实的基础功重组改造，完成应用、创新等过程。实际上，这是一种 教育 起点的变化：解决一个问题 。 学生学习课程时并不知道这些课程有什么用处，经常会有学生问“我们要拿二次函数去买菜吗？”这类问题就是反应学生学习目标模糊的直接的证据。教师虽然对“二次函数”在数学、生活中的意义有一定的了解，明确它的重要性，但却从来没有人跟学生提及过。 2 “理解复杂知识需要掌握组织成系统形式知识的不同方面，也即需要掌握组织成系统形式的知识整体或知识系统” 3。在开始学习之前让学生先了解知识内容在课程整体中的地位和作用有助于
22、学生从根本上明确这一系统的脉络结构，有助于学生将新知识纳入原因的知 识经验中，形成稳定的实质性的结构，有助于激发学生内在的学习动力 。 1.2 数学课程整体化的改革趋势 美国 数学 课程改革 ： “回归基础”。 20 世纪 60 年代，苏联将地球的第一颗人造卫星送上太空之后，美国深感自身教育的不足，特别是数学教育，由此引起了长达几十年的波折的数学课程改革：强调学科内容与现代化知识相联系，注重数学课程结构化的“新数运动”；注重数学根本的“回归基础”运动；解决回归基础运动出现的“平庸性”问题的“问题解决”运动；由于过于重视问题解决而导致的“基础性”知识和能力缺失，从而出现了“课程标准”改革；由于课
23、 程标准中课程目标“宽而不深”，课程内容“广而不精”，导致了教师不能得到清晰明了的教学方向， 学生不能得到个性的发展， 2006 年“课程焦点”改革应运而生。 4 从上世纪到今天的 60 多年的时间里，美国 数学 教育工作者不断的摸索、试误，在坎坷不平的数学课程改革道路上留下了宝贵的经验与教训。 美国全国数学 教师协会在 2000 编写的 学校数学 的原则和标准 5中强调：“数学是一个统一、和谐的知识体系”，即数学具有整体性 。因此，数学课程必须以一个整体出现在学生面前，让学生认识到数学内部知识的主体及这些知识之间的联系，并把这些联系体现在基础教育的各个阶段，如：用几何问题引入代数概念 6。
24、中国数学课程改革经历长久的的探索过程。 1949 年新中国成立，教育成为新中国的重大问题，根据当时的政治背景，教育部门指出要全面学习苏联。但这种“片面”学习没有结合中国自身的实际情况，导致数学课程内容“小而低”，因此迎来了“教育大改革”，大力加入一些课程内容，如“微积分初步，解析几何”等，这次实验增加了学生的负担，降低了数学内容的系统性，没有成功 。 1961 与 1963 教育部两次修订了中学数学教学大纲， 提出了“基本知识和基本技能”，并且修订了数学教材，但受到文化大革命影响，没有实施，一直到新时期的课程改革，教育工作者不断摸索、调查，在 2001 颁布了基础教育课程改革纲要（试行），这项
25、纲要标准着中国的基础教育开启了新的篇章 7。 首都师范大学全日制教育硕士 一、问题的提出 3 在不断更新与细化数学课程改革的过程中，“数学教学内容的综合化”受到越来越多教育工作者的推崇。学生需要从各个方面综合发展，这种综合性不能依靠一个一个的知识点教学， 而 要将数学 “完整、系统 ”的展现在学生面前。 因此打破 “碎片化 ”的知识点内容， 不去过多的研究数学的细枝末节， 利用 “板块 ”、 “板块之间的联系 ”等思想，强调 数学的主线内容，主要思想， 帮助学生 建立起 数学 系统的知识脉络， 实现 数学 内容 综合化 8。 2. 研究问题 课程改革的大浪潮下，数学 课程 的“整体化、系统化、
26、反对知识碎片化”的课程理念已经深入人心 ， 相关研究也逐渐成熟。在实施 “整体化”的过程中 ， 课程标准、教材、教师、教育评价 等方面都需要 相关教育工作者 付诸实际的行动 ， 进行改革与深化 。 本文研究教材、教师两 方面 践行数学内容整体化理念的 现状：以分式方程为例，研究在教材的编写上，阶段性内容的编排、章节内容编排、每节课程内容的编排是否遵循数学的“整体脉 络”；教师是否透彻的“整体把握”数学内容并有效的贯穿于课堂当中 。以期发现目前数学内容整体化在实施过程出现问题及其根本原因，并给出合理化的建议。 3. 研究意义 王尚志等教授在整体把握与 实践高中数学新课程 中说过，“ 整体地把握数
27、学课程是值得特别关注的。知识和技能是需要一个一个地学习，数学课也需要一节一节地上，但是，在高中数学课程中，还是有一些“内容”或“思想”更重要，更基本，贯穿在课程的始终。 ” 9 整体把握数学课程对于教师来说，首先， 有助于 增强对于数学的理解。整体把握可以 削枝强干，掌握通性通法 ， 发现数学课程的内在联系 文献 ； 无论初中数学还是高中数学， 整体把握数学课程，抓住数学 课程 的 “主线 ”，可以帮助 教师 了解各个主线之间的联系，了解数学主要的思想 和方法 ，建立起数学主线的知识网络，削去细枝末节，把握初中数学主要的 “茎干 ”，从而能够从多个角度看待同一个数学问题，并且找到解决问题的最根
28、本的方法。 例如，教师对高中数学主线“运算”“几何”有整体的把握，不仅可以从角、边、三角形全等与形似等几何角度研究三角形的边角关系，也可以利用余弦定理，从代数角度解决边角问题。 此外， 在整体把握数学课程的过程中，需要将数学内容 “上下联系 ”。例如函数，下至 “常量与常量 ”之间的关系，上至 “微积分 ”等数学内容都与函数相联系，在联系的过程中教师会逐渐开拓数学认知，找到一类数学问题由上至下的根本性质， 即 开阔视野，抓住本质 10； 其次，有助于教师增强对数学教育的理解。在备课时，教师的教学设计会根据新课在数学课程中、整个学期中、整个单元 、整个数学中的地位，得到本节课的知识目首都师范大学
29、全日制教育硕士 二、研究设计 4 标、思想目标在整体中比重，从而设计出本节课的新概念需要学生理解到什么程度，思想方法应该深入一些还是浅尝辄止。在上课过程中，会根据教学设计控制课程难度与深度，并有意识的用适当的言语体现数学的“整体性”，使学生了解本节内容在他未知的数学世界中所处的位置，“知其所以学”，培养学生“整体把握”的意识，帮助学生 形成好的学习习惯和学习能力。 二、研究设计 1. 研究对象 本文主要以各版本教材（包括北师大版、人教版、 苏教版三 个版本）、 中考大纲、教师 的教学设计、 教学实录 为研究对象 。 2. 研究方法 和思路 本文主要采用文献分析法、问卷 调查法和案例分析法 三种
30、方法相结合进行研究。 文献 分析法： 对 现在仍然 存在 的有关分式方程的文献 、教师 的教学设计、 课堂实录、中考大纲等 进行 分析， 分析 内容包括：文献中 理解 分式方程 概念的角度、求解分式方程的主要思想和方法、数学解题教学逻辑 的研究现状 ； 、 案例分析法 ： 观摩几位 教师的数学课堂 ， 从 课程结构、数学概念、数学思想方法、教学能力等方面分析教师对数学课程等整体把握现状。 调查问卷法 ，从上述几个角度调查教师对数学课程特别是代数课程的整体把握的状况，了解教师在一线课堂中如何呈现数学知识的整体性及逻辑性。 研究的思路见下图： 明确研究目的，制定研究计划 文献检索，寻找理论依据 分
31、析教材 分析教师教学实录 设计问卷 发放、分析问卷 得出研究结论 并提出合理性建议 首都师范大学全日制教育硕士 三、整体把握分式方程的理论依据 5 三 、 整体 把握 分式方程 的 理论依据 1 与分式方程有关的的数学知识 1.1 分式： 一般地，如果 ,AB 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 AB叫做分式 .11 1.2 分式方程 ：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 12。 1.3 增根 （北师大版） ：求解分式方程 1;2 = 12; 2后，对增根这样描述：在这里， 2x 不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它 为原方程的增根。产生增根的原因是，我们在方程的
32、两边同乘了一个可 能使分母为零的整式 13。 1.4 无解 ：方程本身就是一个矛盾的等式，无论未知数取何值，都无法使得这个 方程两边的值相等 14。 1.5 方程同解原理：在解方程组中，必须对方程（组）进行数学变形，使之转变为最简单的方程（组），然后，求得方程（组）的解集。在变形和运算过程中，有时会改变原方程（组）的定义域，使求得的解集 M 与原方程的解集 M 不相同，当 M 真包含 M 时， M 中含有某些解不是原方程的解，称这些解为原方程的增根，反之称为失根。在分式方程的变形中，变形后的定义域范围扩大，所以必须对分式方程进行验根15。 2. 分式方程 的历史 想要全面把握分式方程，它产生的
33、历史过程是最有借鉴意义的研究材料。 经查阅文献，分式方程最早始于金元时期的数学家李冶。 他的毕生创作中有 一 本书 叫做 测圆海镜 16， 这本书 共 十二卷，其中第七卷第二 问 中 有 这样的记录： 2 26 5 2 3 2 0 4 6 6 5 6 0 08 6 4 0 0x xx 李冶 老师 把上述方程左右两边同时乘以 2x ，得到 428 6 4 0 6 5 2 3 2 0 4 6 6 5 6 0 0 0x x x 易知， 式是我们熟知的分式方程 的雏形， 但那时还没有对分式方程严格的定义和认识 。 李治 老师 在处理 这个 分式 方程 的过程中，将方程左右两边同时乘以 2, 事实上，这 种 方法 就是 将分式方程转化为整式方程求解的 雏形。李冶老师 突破了 分式 与整式之间的界限，利用 “ 转化 ” 的 思想， 把 分式 方程 转化为整式方程。 由于 文献受限，我们 对 这种处理可以有 以下 几种猜想：
