1、 对于单一传输测量薄膜光学常数的测定方法：关键综述 摘要 ：光传输测量通常用于常规薄膜光学常数的测定。本文提出了一种对评估这些传输数据的不同方法概述，因此对于复杂的折射率值有三组不同区分使用的方法：（ 1）至少使用两种不同的光测量；（ 2）用色散关系或者一般的物理去约束近似的依赖于波长的折射率的行为；和（ 3）一个 “虚拟 ”的测量作为第二个变量。该方法从组（ 2）和（ 3）（只需要一个单一的传输测量）被作为是更详细的处理和内容的准确性评价。 1 简介 对依赖于波长的精确值的知识的固体薄膜的复折射率非常重要的，无论是从基 础技术的观点还是它产生的光能隙的基本信息（半导体和绝缘体），缺陷水平，声
2、子与等离子体频率等。此外，折射率指数对于光学组件的设计与模型是必要的，例如干涉滤光片的光学涂层。 对于各向同性的模型，均匀平面平行薄膜也可以采用，在实部和虚折射率的零件可以用每个波长来完全确定该膜的光学特性（在大多数情况下，膜厚可以在同一时间被确定）。因此，两个独立的测量是必要的，在为了每个波长以求解未知数 N（ ）和 k（ ）。 如果不能满足上述要求（对于不均匀膜 1-3或粗糙膜 4,5），尽管稍微更复杂，但大多数情况下，它仍然可能在 模拟 “非理想的 ”薄膜的光学特性。 许多方法已经设计出用于判定薄膜的折射率。最重要的方法的优点和缺点将被讨论，以下三种不同的方法将被区分使用： （ 1）至少
3、有两个不同的光学测量； （ 2）用色散关系或者一般的物理去约束近似的依赖波长折射率的行为； （ 3）一个 “虚拟 ”的测量作为第二个变量。 在方法中将给予特别注意，仅使用一个单一的透射光谱（基团（ 2）和（ 3），因为这些要求最少的实验工作 。 实验误差在结果上的依赖性将不会明确地在这里讨论；此已经详细在其他研究中 6-8完成。 2 结果与讨论 2.1 使用两个独立的测 量方法 多年以来，对正入射透射测量和近法线入射反射测量的组合，在短期的（ R，T）的方法中，具有被用于（ N， K）的测定 9-12。这种方法具有以下几个缺点： （ 1）得到足够精确的绝对镜面反射率数据是非常困难的。在分光光度
4、法 测量中，有两种常用方法用于测量镜面反射。使用最简单的实验装置，一个方法就是测量在一个单一的反射率样品表面的光衰减，然后将其相对于一个校准镜反射（参照图 1（ a）和（ b）。这种方法显然就必须有这样一个校准镜，这种校准镜不但昂贵，而且具有有限的货架寿命，其反射率只有保证几个月。一个更优雅的方 式用来测量绝对反射率便是对 VW-装置，由强引入 13及示意性地显示如图 1（ c）和（ d）所示。这里，一个可移动反射镜首先被放置在一个作为 “参考 ”的位置，并且将对应的两个固定反射镜的组合反射并且获取所述可移动反射镜。然后，可移动镜被切换到它的 “测量 ”位置和安装要研究的膜。现在（图 1（ d
5、），唯一的光与基准测量差（图 1（ c）是被测样品的双反射断。因此，除在 “ 测量 ” 和 “ 参考 ” 价值究竟产生的所需要的反射率的方，不考虑反射率所使用的反射镜。 VW-方法的唯一明显的缺点是，在样品上的在不同的点发生两次反射。因此，样品应 在至少两个点之间的距离是完全均质的，包括梁的总的大小，通常总共 25 毫米 14。 图 1.实验调校测量镜面反射： 在基准位置（ a）和测量位置（ b），使用校准的反射镜， 在基准位置（ c）和测量位置（ d），并使用 VW-装置 。 （ 2）通常 ， 在薄膜的完全相同的位置，测量到透射率和反射率几乎是不可能的 ， 如果薄膜是不完全均匀 (组成或厚度
6、 )的，这是不可避免的 ， 这进一步降低了该方法的总体精度。 （ 3）没有简单的方法来测量垂直入射反射。对于通常的方法 (如上所述 )，入射角度为 714。为了实现最大的精确度，在随后的计算中 ，这个角度应该考虑，它也使得测量产生敏感的极化效应。 （ 4）从（ R， T）测定的（ N， K）是基于一种数值反转。许多论文已经发表了不同的反演方法 10和该技术对精度的限制 15-17，但它往往通常仍保持错误源和多种解决方案的可能性。 备注：如果薄膜的光传输由于过度吸收而极低，那么反射测量可能是唯一的选择。在这种情况下，该组合使用两个反射测量，也可以使用不同的入射角或不同的偏振角或者两者一起使用。
7、许多其他的方法中，使用两种不同的测量，已经出版。我们只总结了几个这些的例子： （ 1）对两个不同的膜传输测量薄膜厚 度 18：很明显，这种方法要求折射率相对于膜的厚度是独立的。此外，它不能被用作常规分析方法：最常见的，薄膜的厚度必须在两种不同的厚度值之间进行分析。一个相关的方法是基于测量在金属基板上沉积薄膜的部分 19，再次在薄膜沉积需要额外的研究。 （ 2）椭偏仪：这是一个非常强大的技术（特别是椭圆偏振光谱法）用于测定薄膜与基体的光学常数 20。目前已经发现，它在微电子工业中被广泛使用 21，特别是对于半导体晶圆单层厚的氧化物层的分析。该技术实力雄厚，其极端表面的敏感性，同时也是它的弱点：在
8、薄膜非常薄的层会产生污 染，从而将产生不同的光学常数。近年，椭偏测量也已在执行传输模式 22，而不是通常的反射模式。 仔细建模研究层系统椭偏仪测量的分析肯定可以给良好的效果，在本文的其余部分，我们会限制自己分光光度法技术。 2.2 色散关系的拟合 这是广泛使用的一种方法，假设一个特定的，更多或更少的波长相关复折射率的经验色散方程。该方法是用于薄膜的一些使用光学设计和分析的商业软件（膜系 23和薄膜向导 24）。最常用的方程是： （ 1）柯西公式 25。这些方程是非常有经验的，并首次由柯西（ 1789 年至1827 年）提出。它们非 常适用于模拟透明材料，如二氧化硅，氧化铝，氮化硅，BK7 玻璃
9、等： 在波长的微米表达式中， An， Bn， Cn， Ak， Bk， Ck 分别是六个拟合参数。通常，级数展开的前两个项结束后，在该条件下， -4 是没有用的。 （ 2）谢米尔方程 25， 26。这个公式是谢米尔（ 1871）第一个通过获得的。它适用于在红外下的透明材料（如柯西方程），和半导体（硅，锗，砷化镓等）。谢米尔公式是对柯西公式的推广。原来的谢米尔关系被用于完全透明的材料（ K =0）中；但是，它有时也延伸到覆盖并吸收，使用附加的公式 K（ ） ： 在表达式 中， An， Bn， Cn， B1， B2， B3 都是拟合参数。 （ 3） 洛伦兹经典振子模型 25， 27： 在 0 波长的
10、条件下，利用该振子与中心波长的振子，观察 g 因子的强度和阻尼。在第一个式中，所描述的是一个在右边表示电介质功能的无限能量（零波长）。对于大多数的目的，它是比较现实的，在波长多小于测量值时由一个拟合参数 来代表它的介电函数。方程式（ 3）很容易求解方程中的 n 和 k，能够明确的写下来却不能够表达出来。 这个方程与柯西和谢米尔方程相比优点之一是提出一套耦合方程 n 和 k，与克拉默斯、克勒尼希一致（ KK）的关系。该弗鲁 哈 布鲁默方程组也考虑到这一点。 （ 4） 弗鲁哈 布鲁默 模型的色散关系已用于在折射复指数的基础上研发的晶半导体和绝缘体，对于 n（ E） 式，采用 KK-关系明确地推断出
11、 K（ E）： 和 并不是所有的参数在方程（ 4）中是独立的；在等式（ 5）中被定义为依赖关系。因此，只有 n（ ）， Ai， Bi， Ci 和 Eg 仍然作为独立的拟合参数。该方程被用在一系列测量薄膜的分析工具中，利用反射测量主要集中在半导体行业 32。 备注：弗鲁哈 布鲁默模型在本质上推出了模型材料的带间区域 31，即在光子能量高于带隙能量；然而，它们也已经应用 于子带隙施加地区 33；它将评估在一个宽的带隙正常色散区方程材料中是否可以提供相同的精度水平的色散。 （ 5） 德鲁德模型：对于金属，其绝缘功通过自由载流子的约束。当 p 是等离子体频率（ 2p=4ne2/米）和 是电子散射频率，
12、德鲁德介电函数由下式给出34： 通常，在色散方程的参数中使用最小二乘拟合的方法测定，比较实验的光谱与透射光谱，计算（ N， K）的方程，并在通常的公式计算吸收薄膜的传输，并在附录给出。在大多数情况下，它是简单的，包括膜的厚度作为拟合参数。 像弗鲁哈 布鲁默方程，色散和洛伦兹色散方 程，如果需要多个振荡器 35可以扩展；一些材料，它利用德鲁德模型色散关系来结合振荡器型。 有大量的材料和在一个相当大的波长区域时，任何色散方程都可以产生很好的效果。如果实验之间能够良好的配合透射光谱，以及计算出的分散方程，等式的适用性是可以保证的。事实上，所有这些分散方程正在慢慢地改变着波长，并没有意味着在一个大的波
13、长范围内能获得一个良好的配合，使用一组错误的（ N，K）数据。由于这样的事实， n 和 k（连同薄膜厚度 d）直接决定透射光谱的形式（也参见图 2）：在间隔干涉条纹的条件下测量膜厚度和折射率（光学厚度）。如果色散折射率可以忽略不计（通常情况下，远离吸收边缘），在波长为 1 的干涉传输的最大值顺序是： 其中 1 和 2 是两个相邻的波长传输最大值（ 12）和符号 X代表最接近的整数。 最大透过率由 D 和消光系数 k 来确定，并且条纹的高度由 n 被第一个近似确定（从方程（ A1）得到， k=0）。在这种方式中，用少量经验，通常可以从第一眼的透射光谱推定厚度和（ N， K）。图 2 的传输频谱很
14、容易遵循这样的 “ 纸和铅笔 ” 的方法。在这种情况下，消光系数 k 是如此之低，从而发现传输极值（见附录）： 分别用于传输最大值和最小值。判定 波长的传输极值，结合干涉顺序的值（式7），然后可以确定在每个产品德极值波长。准确测定的实部的折射率仅在一个波长上测定（例如在一个点上，其中吸收是可以忽略不计），确定两者的膜厚度和 n 在各极值波长的值。在频谱的情况下，结果图 2 在表 1 和图 3 中表示。 然而，我们必须注意在膜非常薄或强烈吸收的情况，因为它们显示没有干扰边缘和配合可以解决的多种方案。同时，最一般的情况下薄膜厚度不容易量化的误差限制为 n和 k。 图 2 一种电子束沉积石英在 SR
15、S 薄膜的实验透射谱 表 1 不同的方法对 SRS 薄膜单透射光谱分析的结果 方法 数据范围（ nm) 薄膜厚度 (nm) 均方根值 (%) 折射率 (2000nm) 折射率 (500nm) 柯西 300-2000 798.3 0.71 1.997 2.091 色散 300-2000 796.3 0.31 1.995 2.101 洛伦兹 300-2000 793.9 0.36 2.002 2.107 纸和铅笔 N.A. 792.6 N.A. 1.994 2.114 弗鲁哈 布鲁默 500-2000 793.0 0.38 1.988 2.096 斯瓦内普尔 N.A. 794.5 N.A. 1.9
16、95 2.107 尚布莱龙 300-2000 796.6 0.22 1.988 2.101 均方根值：实验数据和拟合结果之间的偏差。 图 3 从图 2 中的透射谱中提取的依赖于波长的实数部分的折射率 色散关系的方法是非常强大，可以产生非常精确的数据，特别是对于薄的膜（或者薄膜堆叠）与一些已知的参数（如薄膜厚度或先前的实验材料数据）。该方法唯一的局限性是，人们必须做出假设关于色散关系开始前的拟合流程。 在复数折射率更一般物理约束索引中，并不意味着有特定的函数关系，已被使尚布莱龙等人 36-39用于从透光率的数据中提取和约束 n和 的优化方法。作者假设了以下的物理约束，有效期一般为半导体和在正常色
17、散区的绝缘子： （ 1） 对于所有的 有 n()1， k()0。 （ 2） n()和 k()都是递减函数。 （ 3） n()是凸函数（可以换算成 n 0）。 （ 4） 如果 infl 或者 infl，有一个施加的点 infl使得 k()为凸型。 然后，用逐点优化方法的来拟合最小二乘法实验透射光谱对光谱，明确地考虑到这些限制 36，由正（ ）和 k（ ）来计算。虽然用这种方法可以得到可靠的结果，但 它提出了一个严重的数学挑战。因此，该方法转换成一个数学计算能够更容易无约束优化 37。通过改变到新的拟合变量这是明智的，自动地包括物理约束。例如，在 n()1的约束优化下，可以转换对一个变量 和 n(
18、) = 1 + v2()的无约束优化。 通过尚布莱龙讨论色散关系符合物理限制的设置是值得探究的： （ 1） 柯西公式符合前三个约束条件，所提供的所有拟合常数都是正的。如果系数 CK 是负的，则最后的约束也可以实现。 （ 2） 对于 n（ ）的谢米尔关系也符合前三个约束条件，在波长远高于临界波长 Cn。对于 K（ ），约束是否可以实行取 决于拟合系数。 （ 3） 洛伦兹振子模型在本质上与约束条件是一致的，如果波长比振荡器的波长更长。 （ 4） 德鲁德模型只适用于金属，不在透明区域的半导体或绝缘体，他们表现出正常色散，因而明显与约束并不一致。 （ 5） 由于弗鲁哈 布鲁默方程介绍并描述了材料的折射
19、率色散能量高于带隙，所以其约束条件在本质上没有履行。 所有讨论的方法到目前为止，要求用户假设某些所涉及的折射率色散性质。这对于比较常用的材料是没有问题的，但对于研究工作，包括新的和特殊的材料（多个阶段，本地化吸收带，不寻常的带边缘吸收等）需要分散开自由离开任何可能的一种折射指数。 备注：评论的方法中，基于两个不同的测量，不需要任何假设。在下一节中，我们将描述和评估一些其他假设的方法。 2.3 采用“虚拟测量” 2.3.1 包络法 1976，马尼法西等人 40，介绍对光传输的光谱（ N， K）的提取方法。该方法通过 斯瓦内普尔 41进一步被开发，找到了进入商用薄膜软件的方式 42， 43。该方法
20、适用于任何可显示出明显的干涉条纹的透射光谱。从透射光谱，周围的传输最大值和传输的最小值是由信封构造的。然后，围绕包络的最大值和最小值被视为连续光谱的波长，用 TM（ ）和 Tm（ ）表示。 n 和 k 可以 从以 TM 和 Tm 为每个波长的值计算出。该包络法是非常有用的，非常简单。一些缺陷有： （ 1）没有 “正确 ”的方式来构建包络之间的干扰极端。通常，他们采用抛物线插值法，但这实际上是任意选择的。 （ 2）包络应该由切点接触传输曲线，而不是从干扰极端：它很容易看到，特别是在一个区域中的传输变化很快，连接极端将产生 TM（ ）和 TM（ ）的曲线，实际上是太靠近彼此。更多的是，已努力增加包
21、络的测定精度 44， 45 。 （ 3）如果这个薄膜不是很厚，也就是说，如果吸收带回落在干扰极端之间，则该方法无法应付局部吸收功能。 （ 4） 该方法的准确度与厚度膜减小有关，因为在较低的膜厚度，干涉极端间隔更远和插值在这两个极端之间变得更加困难。 （ 5）如果在膜中吸收不可见的光的干涉条纹和 TM（ ）和 Tm（ ）曲线重合，该方法是失败的。在其原来的形式 41，该方法减少到柯西色散关系拟合。 当认真实施时，包络法适用于作为一种常规的分析技术。一些努力已进行评价方法的准确度 46和改进方法，避免了多重解决方案 45， 47。最近，基底吸收的效果已经引入到该方法中 48。 2.3.2 透过数据
22、分析 K-K 关系 根据 K-K 关系，材料的透射和相移传输是有 关的 49： 即 P 的柯西主值积分和 TF 膜的内部传输。该方程表明，在所有的波长传输给任何材料时（显然是不可能的实验），相应的相位变换可以计算出来。传输和相位可以作为两个独立的变量，使材料的 N 和 K 在任何波长时都计算。在为了计算上述积分，尼尔森 9引入了下面的推断方程。利用平均值定理，可以写： 其中 L 和 H 是下限和上限波长的测量范围。作为近似，假设 A 和 B 为常数50， 51。如果该膜的复折射指数是已知的两个良好分离的波长，相应的相移可以被计算并来，从上面的积分看出， A 和 B 可以被确定。在奇点积分可通过
23、 从被删除积分中减去一些部分并把它加回到其集成的形式 49： 同时采用 K-K 的关系分析透射光谱，在理论上是非常优雅（它不需要关于任何先验的假设折射率的分散体），它作为常规的工具分析是难以实施的： （ 1）用给出的方程，需要在两个不同的波长之间单独测定（ n,k）。 （ 2）邻近测量间隔的端部 L， H，则误差因为 A 和 B 是近似常数而变得相当大。一般的情况下，评估这种错误是不容易的。因此，在可能大的波长范围内测量传输范围。 （ 3）从（ T， ）中计算（ N， K），需要一个数值的迭代过程。它可以在最坏的情况下收到一 个错误的解决方案。 在 1998 年，帕尔默等人 52中描述的一种新
24、的方法，即用消减 KK 法评价红外光学的数据。虽然这种技术似乎非常有前途，但它也要求在一定的波长上独立的测定（ n， k）；此外，还不清楚在紫外 -可见（ UV-VIS）区域的精度，由于带边缘吸收，在传输获得的数据时通常会变得非常低。 3 关键评价 为了获得更多的相似性和不同的分析方法的差异，这些被应用到一个真正的薄的透射光谱薄膜。只有下面的方法，使用一个单一的传输光谱并且适合用于常规分析，被选定： （ 1） 色散关系拟合 : 柯西方程； 谢米尔关系（与指数系数 ）； 洛伦兹振荡器（单振）； 弗鲁哈 布鲁默式（单期）。 （ 2） 尚布莱龙等人提出的逐点的无约束优化方法。 （ 3） 斯瓦内普尔的包络法。
