1、第二周集体备课（导数及其应用） 张丽霞 一、考试 内容与考试要求 考试内容： 导数的几何意义，基本初等函数的导数公式，导数的运算法则。利用导数求函数的单调性、极值、最大（小）值。 考试要求： 1.了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义。 2.会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数（限于形如 ()f ax b 的导数） 。 3.了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间。 4.理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大（小）值，会求闭区间上函数的最大（小）值。 二、历年高考解读 在过去若干年里，除了简单求导、极值
2、和切线等知识点之外，浙江高考函数 /导数题集中还考察了： （ 1） 分类讨论：利用绝对值 /最大值，最小值的特性，强行讨论分段函数的最值。 （ 2） 零点处理：利用二次函数的零点（函数极值点）分布，来进行不等式证明或求目标函数的最值。 方法一、因式分解 如 11 年 22（ 1） 方法二 、参变量分离 如 04 年文 21（ 3） 方法三、利用极值点方程对原函数进行降幂 如 12 年理 22 （ 3） 恒成立问题：方法一、全分参求最值或者半分参数形结合求最值； 方法二、利用必要性缩小参数范围，再证明。 如 11 年 22(2) 三、高考真题呈现： （ 2011 浙江理 22） 设函数 Raxa
3、xxf ,ln)()( 2 （ 1）若 )(xfyex 为 的极值点，求实数 a ； （ 2）求实数 a 的取值范围使得对任意的 .4)(3,0( 2exfex ，恒有 （ 2018 年 22 题 ） 已知函数 .ln)( xxxf （ 1） 若 )(,)( 2121 xxxxxxf 在 处导数相等，证明 ： 2ln88)()( 21 xfxf ； （ 2）若 2ln43a ， 证明：对于任意 0k ，直线 akxy 与曲线 )(xfy 有唯一公共点 解析：（ 1） 方法一 函数 f（ x）的导函数xxxf 121)( ， 由 )()( 21 xfxf 得 ， 因为 ，所以 由基本不等式得 因
4、为 ，所以 由题意得 设 ， 则 ， 则 x （ 0， 16） 16 （ 16， +） - 0 + 2-4ln2 所以 g（ x）在 256， +）上单调递增， 故 ， 即 方法二 xxxf 121)( ， )()( 21 xfxf 16)(2 212121 xxxxxx 令 )(ln22)ln (2)()(,16 21212121 tgttxxxxxfxfxxt ， 02 4221)( ttttg ，故 )(tg 在 ），（ 16 上单调递增， 2ln88)16()( gtg （ 2）方法一 直线 akxy 与曲线 )(xfy 有唯一公共点，则 kxxxa ln 有唯一解，即 ay 与 kx
5、xxy ln 有且只有一个交点， 令 2ln2)( ktttth ， 当 161k 时， 0220 2 tkt， ，即 0)( th ，此时 )(th 单调递减， 又 )(,;)(,0 thttht ， )(th 单调且 Rth )( ，即 axh )( 有唯一解 当 161k 时，16112112 1)(,0,2222)( 22 ttxxxfkt tktktttth即 4t ，此时 1ln222222)( 2 ttt tktktttth又 2ln43,2ln43)4()(,0)(),4(,0)(),4,0(,2 4)( ahththtthtttth 即 因此当 2ln43a 时，两函数有一个
6、交点。 方法二 这种方法 是由考试院提供的标准答案 设 h（ x） = ， 则 h（ x） = ， 其中 g（ x） = 由（）可知 g（ x） g（ 16），又 a 3 4ln2， 故 g（ x） 1+a g（ 16） 1+a= 3+4ln2+a 0， 所以 h（ x） 0，即函数 h（ x）在（ 0， +）上单调递减，因此方程 f（ x） kx a=0 至多1 个实根 综上，当 a 3 4ln2 时，对于任意 k0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（ x）有唯一公共点 评析： 利用导数证明不等式常见类型及解题策略： (1) 构造差函数 .根据差函数导函数符号，确定差 函数单调性，利用单调
7、性得不等量关系，进而证明不等式 .（ 2）根据条件，寻找目标函数 .一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数 . (2017 年浙江高考） 已知函数 ).21()12()( xexxxf x 求 )(xf 的导函数； （ 2） 求 )(xf 在区间 ),21 上的取值范围 评析：（ 1）利用求导法 则及求导公式，即可求得 )(xf ；（ 2） 2510)( 或令 xxf ，进而判断函数 )(xf 的单调区间，结合区间端点值求解函数 )(xf 的取值范围。 解得 错误 !未找到引用源。 或 错误 !未找到引用源。 因为 x （ 错误 !未
8、找到引用源。 ） 1 （ 错误 !未找到引用源。 ） （ 错误 !未找到引用源。 ） - 0 + 0 - f（ x） 0 又 错误 !未找到引用源。 ，所以 f（ x）在区间 错误 !未找到引用源。 ）上的取值范围是 错误 !未找到引用源。 命题意图： 本题主要考查导数两方面的应用： 1.函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出)(xf， 由)(xf的正负，得出 函数)(xf的单调区间；2.函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的 取值范围，得出函数)(xf的极值或最值。 （ 2016 年文科 20 题 ） 设函数 ()fx=
9、 3 11x x ， 0,1x .证明： （ I） ()fx 21 xx ； （ II） 34 ()fx 32 . 评析 ：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力 .第一问，利用放缩法，得到 411xxx ，从而得到结论；第二问，由 01x得 3xx ，进行放缩，得到 32fx ， 再结合第一问的结论，得到 34fx ， 从而得到结论 . 试题解析： ( )因为 4 423 1 11,11x xx x x xx 考点：函数的单调性与最值、分段函数 . 同类题型： （ 2017.5 温州）设函数 .1,0,)1( 14)( 23 xxx
10、xf证明： （ 1） 2321)( xxxf ； （ 2） .417)(32 xf （ 2016 年 12 月模拟样卷 20 题 ） 设函数 2 1() 1f x x x ， 0,1x 证明： （ 1） 2 1( ) 12f x x x ； （ 2） 15 2 2()16 2fx 解析 ：（ 1）记 2 1( ) ( ) 1 1221xxg x f x x x ， 则311( ) 22 (1 )gx x 0 ， (0,1)x 那么， ()gx 在区间 0,1 上单调递增 ， 又 (0) 0g ，所以 2( ) ( ) 1 02xg x f x x ， 从而 2( ) 12xf x x 方法一
11、31( ) 2 2 (1 )f x x x ， 记31( ) 2 2 (1 )h x x x ，由 1(0) 02h ， 2(1) 2 08h ， 知存在 0 (0,1)x ，使得 0( ) 0hx 因为 ()hx 在 0,1 上是增函数，所以， ()fx在区间 0(0, )x 上是单调递减，在区间 0( ,1)x 上单调递增，又 (0) 1f ， 22(1)2f ，从而 22()2fx 另一方面，由（ 1）得当 14x 时， 22 1 1 5 1 5( ) 1 ( )2 4 1 6 1 6xf x x x ，且 1 15()4 16f ， 因此， 15 2 2()16 2fx 方法二 左边同
12、 方法一 进行证明 . 右边 2 1() 1f x x x 由 0,1x 可得 1() 1f x x x 当 0x 或 1x 时取等号 . 设 1g( ) 1xx x 则 , 由 0,1x 可知 恒成立，因此 1g( ) 1xx x 在 0,1x 上递增，所以m a x 1 2 2g( ) (1 ) 1 211xg ，所以 22()2fx 当 1x 时取等号 . 分析：先进行放缩，把次数降低使得求导后的导函数判断比较方便 .且这里的放缩都比较粗略如 0,1x 时 23;x x x x等，使得求导后的导函数正负的判断变得比较方便 . 四 、课时分配 本块 内容设计 7 8 个课时： 第一课时：导
13、数的概念及运算（主要理解导数的几何意义，会用导数公式和运算法则求函数的导数，并能求简单复合函数的导数） 第 二 课时：导数与函数的单调性（主要是要让学生明确含参的导数是二次型函数的分类讨论的标准） 第 三 课时：导数与函数的极值与最值（主要问题是让学生在第一课时的基础上能够求解函数的极值与最值，对于三次函数的图象要特别重视） 第四课时：导数的综合应用 （ 一 ） （主要是 利用导数解或证明不等式 ） 第五课时：导数的综合应用（二）（主要解决不等式恒成立或有解问题） 第六课时：导数的综合应用（三）（主要是利用导数研究函数的零点问题） 另外可视各班情况安排 1 2 节作业讲评巩固课。 五 、教学要
14、点 1.结合 2017 高考 导数 试题， 对于用导数公式和运算法则求函数的导数，以及求简单复合函数的导数这一方面要给予足够的重视，要特别注重 该内容的落实情况。要 舍得花时间，让学生去算 。 2.在求曲线的切线及 函数 单调性及极值最值中的应用 问题 ，对求解的格式要特别强调，争取这样的试题能基本满分。 3.对含有一个参数的与 lnyx 结合的函数，求导后转化为二次型的分类讨论。 4.结合 2017 浙江模拟试题的不等式的证明，补充泰勒展开在对超越函数向多项式函数的转化，同时结合 2017 高考数列试题的结合，能有导数的放缩的思想解决数列问题。 六、课时设计（零点问题） 例 1.设函数 2
15、1() 1f x x x ， 0,1x 证明： （ 1） 2 1( ) 12f x x x ； （ 2） 15 2 2()16 2fx 小结归纳：利用隐零点解决导数问题一般步骤为（ 1）观察函数单调性；（ 2）代入端点或特殊点，确定零点范围；（ 3）利用隐零点对原函数的极值化简降幂。 例 2.设函数 1,0,)1( 14)(23 xxxxf.证明： （ 1） 2321)( xxxf ； （ 2） .417)(32 xf 例 3.已知函数 )(,ln22)( 2 Raxaxxxf （ 1） 1a ，求函数过点 )1,1(A 的切线方程； （ 2）若 )(xfy 有两个极值点 ., 2121 xx
16、xx 且 证明： .4 2ln25)(1 xf练习： 1. ).ln)( 2 Raxaxxxf （ （ 1） 1)( xxf 在 处的切线斜率为 1，求 a 的值； （ 2）当 )(1 xfa 时， 的极小值为 H，求 H 的最大值。 2. ).(21ln)( 2 Raxaxxxf （ 1）关于 x 的不等式 1)( axxf 恒成立，求整数 a 的最小值； （ 2）若 2a ，正实数 0)()(, 212121 xxxfxfxx 满足 ，求证： .2 1521 xx3.已知函数 .ln)( 2 xxaxaxxf 且 .0)( xf （ 1） 求实数 a 的值； （ 2） 求证： )(xf 存
17、在唯一的极大值 0x ，且 .41)( 0 xf变式：若证明exfe 21)(1 02 呢？ 4.设函数 .2)( axexf x （ 1） 求 )(xf 的单调区间； （ 2） 若 1a ， k 为整数，且当 0x 时， 01)()( xxfkx ，求 k 的最大值。 变式 1：已知函数 .ln)(,1)( kxxxgaxexf x （ 1） 求函数 )(xg 的单调区间； （ 2） 当 1k 时， )()( xgxf 恒成立，求实数 a 的取值范围。 变式 2：函数 ,221)(,ln)( 2 xxxgxxf 当 1x 时， 3)(2)()1( xgxxfxk 恒成立，求实数 k 的最大值为 。
