1、 南阳师范学院 20XX 届毕业生 毕业论文（设计） 题 目： 基于不同算法的剖面曲率提取研究 完 成 人： 班 级： 学 制： 专 业： 地理信息系统 指导教师： 完成日期： 目 录 摘要 (1) 1 引言 (1) 2 剖面曲率的含义 (1) 3 剖面曲率的计算方法 (2) 3.1 汤国安提出的 SOS 算法 (3) 3.2 四次表面模型 (3) 3.3 基于空间矢量模型的差分计算 (3) 4 由不同算法提取的剖面曲率 (4) 4.1 研究区概况 (4) 4.2 由汤国安提出的 SOS 算法提取 的剖面曲率 (6) 4.3 由四次表面模型算法提取的剖面曲率 (7) 4.4 由基于空间矢量模型
2、的差分计算算法提取的剖面曲率 (8) 5 试验结果及分析 (9) 5.1 不同算法提取剖面曲率的统计指标分析 (9) 5.2 基于三种算法提取的剖面曲率的优缺点、误差及制图效果分析 (11) 6 结论 (14) 参考文献 (15) Abstract (15) 第 1 页（共 19 页） 基于不同算法的剖面曲率提取研究 摘要 ： 本文 在不考虑 DEM 误差的情况下， 通过对 研究区（ 南阳 西峡县局部 地区 ） 的DEM 用 ArcGIS 软件做图分析， 基 于目 前 主要的 三种 剖面 曲率 的 计算算法，即 汤国安的SOS 算法、四次表面模型、基于空间矢量模型的差分计算，分别提取剖面曲率，
3、 并对它们进行归纳分析， 以对比它们的优缺点、误差、及制图效果，为以后求出最适合的地形剖面曲率提供基础。 研究结果表明， 在计算地形起伏不是很大的地区的剖面曲率时， 汤国安的 SOS 算法 最为精确， 四次表面模型 算法 次之。 关键词 ： 剖面曲率；算法； SOS； 1 引言 地形因子是为定量表达地貌形态特征而设定的具有一定数学意义的数学参数或指标 1。 剖面曲率 （ Profile Curvature） KV 是地形因子之一， 基于提取算法的坡面因子分 ，剖面曲率 属于 二阶 坡面因子。在地理信息系统（ GIS）中，剖面曲率的提取算法有三种：汤国安提出的 SOS/SOA 算法、四次表面模型
4、算法和基于空间矢量模型的差分计算算法。 数字高程模型 （ DEM） 作为地理信息系统 ( GIS)空间数据库的核心数据库之一 ， 是进行二维地形空间模拟和地形图生产的基础 ， DEM 能派生出各种地形因子 ， 如坡度 、 坡向 、 平面曲率 、 剖面曲率 、 汇水面积等 1。 其中 ，剖面曲率 是最重要的地形因子之一 ，地面曲率 影响着 ， 也是制约生产力空间布局及自然地理研究的重要因子 。尽管利用 GIS 平台在 DEM 上提取坡度的算法已经成熟，但是由于算法会影响坡度的测算，所以需要比较不同算法对提取坡度的影响 。 与坡度、坡向等基本地形参数一样，剖面曲率在数学定义上是明确的和唯一的，具有
5、确定的表达式。 尽管其理论定义是明确的，然而 DEM是地形曲面的微分模拟， 算法设计必然存在各种各样的假设 ， 不同假设和前提导致不同的 剖面曲率 计算模型和结果 ， 这虽然对地形特征的可视化和地形分类 的 影响不大 ， 但对以数值计算为主的地学分析模型的影响却是非常显著的 2。 2 剖面曲率的含义 剖面 曲率是地面曲率在 垂直 方向 上的分量，是对地面坡度的沿 最大坡降方向的地面第 2 页（共 19 页） 高程变化率的度量，是研究地形表面的重要因子之一。剖面曲率因子提取算法的基本原理为：将离散的高程数值拟为一个连续的曲面，基于微分几何的思想，模拟曲面上每一个点所处的平行于水平面的曲线，利用曲
6、线曲率的求算方法推导得出各个曲率因子的公式，进而求算出每一点的曲率值 1。 剖面曲率 KV 具有重要的理论和实践意义。 KV 决定地表及土壤中物质移动的相对速度， KV 0表明移动加速， KV 0表明移动减速，反映了侵蚀或沉积的程度。 KV 通常可以揭示出谷脊线呈突起状或阶梯状 ， 还可以用在很多 领域， 如 在大尺度区域中模拟土壤湿度 、 土层厚度 、 土壤侵蚀 、 山崩石头的散布 、 植被等 ； 也可用于不同尺度的地貌研究 ，研究区域尺度和次大陆尺度地质构造 、 地貌和土壤的空间相关规律 ； 还用于识别显示断层 、 地质断陷线 等 3。 笛卡尔坐标系中 ， x、 y 表示空间位置 ， z
7、= f( x， y) 表示地形曲面函数 ， 假定函数具有单值性 、 连续性和二阶可导性 ，则剖面曲率的计算公式为： （ 1） 其中， ，是 x方向高程变化率； ，是 y方向高程变化率； ，是 x方 向高程变化率的变化率； ， 是 x方向高程变化率 在 y方向 的变化率 ； ， 是 y方向高程变化率的变化率 剖面曲率提取算法一般都是根据 P.A.Borrough提出的窗口微分法遍历整个图幅进行计算的。即是在 3 3的 DEM栅格窗口中进行的，窗口在 DEM数据矩阵中连续移动后而能完成整幅图的计算工作 4。 Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 Z9 图 1 3 3地形窗口 (Z1 Z9
8、分别代表各个栅格的高程值 ) 3 剖面曲率的计算方法 第 3 页（共 19 页） GIS 中剖面曲率的计算大多是基于 DEM 数据的，由离散的数据计算剖面曲率有 不同算法，在 考虑到算法的通用性和使用性 的情况下 ，这里选择了 ArcGIS 采用的汤国安提出的 SOS/SOA 算法、四次表面模型算法和基于空间矢量模型的差分计算算法 1三种常用的剖面曲率算法进行分析 。 3.1 汤国安提出的 SOS 算法 剖面曲率为地面高程变化的二次导数，即坡度在垂直方向的最大变化率； Tang 已经证明 5，在 Arc/Info 等 GIS 软件中，地面剖面曲率的数字矩阵可以直接通过对 DEM 数据的求取地面
9、坡度的坡度（ Slope of Slope,SOS）而获得。 SOS 就是坡度的变率，是在所提取的坡度值的基础上对地面每 一点再求算一次坡度，坡度是地面高程变化率的求解，因此，坡度变率表示了地球表面高程相对于水平面变化的二阶导数 3。 这里的“坡度”并非是坡度，而是按照坡度的算法实现了对坡度数据阵列中其变化率的量化提取。所获得的剖面曲率值在 0 ,90 内，并非是真正的曲率值，但却真实的地反映了坡度和等高线的变化率，可提取山谷、山脊等地形因子，而且因其算法简单易于实现，所以也称剖面曲率，有些教材中称之为地面变率因子 3。 3.2 四次表面模型 Zeverbergen 和 Thorne(1987
10、)提出了一种计算算法，构造 一个含有 9 个参数的四次方程（ x、 y的最高次数为 2） 6，见公式（ 2） .函数的所有参数由 3 3 窗口（如图 1）内的单元值唯一确定，函数经过每个数据点，包括中心单元。系数 A、 B、 C、 I 在计算曲率时未用到，可以忽略， 系数 D H 由公式（ 3）（ 7）计算，则中心格网的剖面曲率的表达式变为表面函数系数组成的式子，见公式（ 8） 3。 Z = Ax2y2 + Bx2y + Cxy2 + Dx2 + Ey2 + Fxy + Gx + Hy + I. (2) D =（ Z4 + Z6） /2-Z5/L2 . (3) E =（ Z2 + Z8） /2
11、-Z5/L2 . (4) F =(- Z1 + Z3 +Z7 Z9)/4L2. (5) G =(- Z4 + Z6)/2L. (6) H =(Z2 Z8)/2L . (7) 剖面曲率： KV = 2(DG2 + EH2 + FGH)/(G2 + H2). (8) 3.3 基于空间矢量模型的差分计算 在 DEM 数据的基础上，从微分几何的思想出发， 求出 剖面 曲率公式 (1)中的各个导第 4 页（共 19 页） 数 p t,即可求出各曲率值，差分计算常用的是三阶反距离平均权差分。 对每个栅格点都确定一个 3 3 分析窗 口，如图 2（ 1）， a i 分别代表各个栅格的高程值， L表示栅格大小
12、 ， p、 q 可由以下公式求出 3。 （ 9） (10) a b c ax bx cx ay bx cx d e f dx ex fx dx ex fx g h i gx hx ix gx hx ix （ 1） （ 2） （ 3） 图 2 提取地面曲率的分析窗口 求出所有 p、 q 值 ， 则组成 p 值栅格图 （ 见图 1（ 2 ） ） 和 q 值栅格图（ 见图 1（ 3 ） ） 。 以此数据为基础 ， 进行差分运算 ， 可求出 r、 s、 t8,见公式 ( 10 ) 、（ 11 ） 和 （ 12 ） 。 （ 11） （ 12） （ 13） 4 由不同算法提取 的 剖面曲率 由任何一种算法
13、得出的剖面曲率，我们都要评估其精确性和制图效果，并以此来作为我们求算地形的剖面曲率的依据。因此，一个科学、合理、准确的剖面曲率分析是目前研究剖面曲率的首要任务 9。在此， 以西峡 县的某一 地区为研究区， 我将依据三种剖面曲率算法所作出的图像和数据进行比较分析，得到柱状图 和各统计量，为找到不同高程域的适合剖面曲率提取算法提供依据。 第 5 页（共 19 页） 4.1 研究区 概况 研究区 地处 伏牛山 腹地 ， 豫 、 鄂 、 陕交界地区 ， 东临南阳盆地 ， 西嵌秦岭 ， 南襟荆襄平原 ， 北负八百里伏牛山 。 境内地形复杂，北部是海拔高、坡度大的中低山地，南部是鹳河谷地，两侧是起伏大的低
14、山丘岭 。 海拔 181 米，自然坡降为 33%。 研究区内 的高程分布如表 1所示。 由表 1 知，分布在 120 405 之间的 高程 数值最多，为 3197380 个，约占总数值个数的 27.9%，分布在 405 690 之间的 高程 数值约占总数值个数的 22.5%，分布在 690 991 之间的 高程 数值约占总数值个数的 21.5%，分布在 991 1316 之间的 高程 数值约占总数值个数的 17.8%，而分布在 1316 2171 之间的 高程 数值最少，为 1186783个，约占总数值个数的 10.4%。 并且根据图 3中所示可判断该研究区的地形呈阶梯性抬高，总体上是北高南低
15、。 表 1 原 DEM 的高程值分布范围 第 6 页（共 19 页） 图 3 原 DEM 重分类图 图 4 和图 5 中的三维图是在 ArcScene 中制作的，原 DEM 的高程变化不是很明显，仅从颜色的分类可以知道高程的分布，和地形的起伏。但用高程值的 3倍显示，则可以看出此研究区的地形有一定的起伏度，但不是很大。 图 4 原 DEM 的三维显示侧视图 图 5 原 DEM 高程的 3倍的三维显示侧视图 第 7 页（共 19 页） 4.2 由汤国安提出的 SOS 算法 提取 的剖面曲率 由图 6知，由 SOS 算法提取的剖面曲率的图像的南部，有两道狭长而倾斜的浅颜色部分，这部分的变率在 0.
16、0013778 54 7.339714169 之间，说明这部分的剖面曲率变化 比较小，地形相对平坦。 图 6 汤国安的 SOS 算法 剖面曲率 4.3 由四次表面模型算法 提取 的剖面曲率 由图 7知，由四次表面模型算法提取的剖面曲率的图像相比图 6 的相对区域，图 7的这两个狭长部分的变率则在 -0.768085947 0.646213027 之间，剖面曲率的变化比图 3 变化更小，而且其间的其他数值范围的变率也较之增加。 第 8 页（共 19 页） 图 7 四次表面模型 算法剖面曲率 4.4 由基于空间矢量模型的差分计算算法 提取 的剖面曲率 由图 8知，由基于空间矢量模型的差分计算算法提取的剖面曲率的图像中除了空数值 为零外，几乎所有的变率数值都分布在 -0.146217406 0.000303681 之间，只有零星的部分分布在 0.000303681 0.027690800 之间 。与前两种算法相比，此算法的差别较大。
