专题复习六求最短路径问题.doc

1、 专题复习 (六 ) 求最短路径问题 最短路径问题在四川省的中考中出现的频率很高 ， 这类问题一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切 类型 1 利用 “ 垂线段最短 ” 求最短路径问题 如图所示 ， AB 是一条河流 ， 要铺设管道将河水引到 C， D 两个用水点 ， 现有两种铺设管道的方案方案一：分别过 C， D作 AB 的垂线 ， 垂足分别为 E， F， 沿 CE， DF 铺设管道；方案二：连接 CD 交 AB 于点 P，沿 PC、 PD 铺设管道问：这两种铺设管道的方案中哪一种更 节省材料 ， 为什么？ 【思路点拨】 方案一管道长为 CE DF， 方案二管道长为 PC PD， 利用垂

2、线段最短即可比较出大小 【解答】 按方案一铺设管道更节省材料理由如下： CE AB， DF AB， 而 AB 与 CD 不垂直 ， 根据 “ 垂线段最短 ” ， 可知 DF DP， CE CP， CE DF CP DP， 沿 CE、 DF 铺设管道更节省材料 本题易错误的利用两点之间线段最短解决 ， 解答时需要准确识图 ， 找到 图形对应的知识点 1 (2015 保定一模 )如图 ， 点 A 的坐标为 ( 1， 0)， 点 B(a， a)， 当线段 AB 最短时 ， 点 B 的坐标为 ( ) A (0， 0) B ( 22 ， 22 ) C ( 22 ， 22 ) D ( 12， 12) 2

3、(2015 杭州模拟 )在直角坐标系中 ， 点 P 落在直线 x 2y 6 0 上 ， O 为坐标原点 ， 则 |OP|的最小值为( ) A.3 52 B 3 5 C.6 55 D. 10 3 (2013 内江 )在平面直角坐标系 xOy 中 ， 以原点 O 为圆心的圆过点 A(13， 0)， 直线 y kx 3k 4 与 O交于 B、 C 两点 ， 则弦 BC 的长的最小值为 _ 4 (2015 碑林区期中 )如图 ， 平原上有 A， B， C， D 四个村庄 ， 为解决当地缺水问题 ， 政府准备投资修建一个蓄水池 (1)不考虑其他因素 ， 请你画图确定蓄水池 H 点的位置 ， 使它到四个村

4、庄距离之和最小； (2)计划把河水引入蓄水池 H 中 ， 怎样开渠最短并说明根据 类型 2 利用 “ 两点之间线段最短 ” 求最短路径问题 (2015 乐陵模拟 )(1)如图 1， 直线 同侧有两点 A， B， 在直线 MN 上求一点 C， 使它 到 A、 B 之和最小； (保留作图痕迹不写作法 ) (2)知识拓展：如图 2， 点 P 在 AOB 内部 ， 试在 OA、 OB 上分别找出两点 E、 F， 使 PEF 周长最短； (保留作图痕迹不写作法 ) (3)解决问题： 如图 3， 在五边形 ABCDE 中 ， 在 BC， DE 上分别找一点 M， N， 使得 AMN 周长最小； (保留作图

5、痕迹不写作法 ) 若 BAE 125， B E 90， AB BC， AE DE， AMN ANM 的度数为 _ 【思路点拨】 (1)根据两点之间线段最短 ， 作 A 关于直线 MN 的对称点 E， 连接 BE 交直线 MN 于 C，即可解决； (2)作 P 关于 OA、 OB 的对称点 C、 D， 连接 CD 交 OA、 OB 于 E、 F， 此时 PEF 周长有最小值； (3) 取点 A 关于 BC 的对称点 P， 关于 DE 的对称点 Q， 连接 PQ 与 BC 相交于点 M， 与 DE 相交于点 N，PQ 的长度即为 AMN 的周长最小值； 根据三角形的内角和等于 180 求出 P Q

6、 ， 再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用 整体思想解决 【解答】 (1)作 A 关于直线 MN 的对称点 E， 连接 BE 交直线 MN 于 C， 连接 AC， BC， 则此时 C 点符合要求 图 1 图 2 图 3 (2)作图如图 (3) 作图如图 BAE 125， P Q 180 125 55. AMN P PAM 2P ， ANM Q QAN 2Q ， AMN ANM 2(P Q) 255 110 . “ 两点 (直线同侧 )一线型 ” 在直线上求一点到两点的和最短时 ， 利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点 ， 连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点； “ 一点两线型 ”

7、 求三角形周长最短问题 ， 作点关于两直线的对称点 ， 连接两个对称点与两直线分别有两个交点 ， 顺次连接所给的点与两交点即可得三 角形； “ 两点两线型 ” 求四边形的周长最短类比 “ 一点两线型 ” 即可 1 (2015 内江 )如图 ， 正方形 ABCD 的面积为 12， ABE 是等边三角形 ， 点 E 在正方形 ABCD 内 ， 在对角线 AC 上有一点 P， 使 PD PE 最小 ， 则这个最小值为 ( ) A. 3 B 2 3 C 2 6 D. 6 2 (2015 遵义 )如图 ， 在四边形 ABCD 中 ， C 50， B D 90， E、 F 分别是 BC、 DC 上的点 ，

8、 当AEF 的周长最小时 ， EAF 的度 数为 ( ) A 50 B 60 C 70 D 80 3 (2015 攀枝花 )如图 ， 在边长为 2 的等边 ABC 中 ， D 为 BC 的中点 ， E是 AC 边上一点 ， 则 BE DE 的最小值为 _ 4 (2015 鄂州 )如图 ， AOB 30 ， 点 M、 N 分别是射线 OA、 OB 上的动点 ， OP 平分 AOB ， 且 OP 6，当 PMN 的周长取最小值时 ， 四边形 PMON 的面积为 _ 5 (2015 凉山 )菱形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示 ， 顶点 B(2， 0)， DOB 60， 点 P 是对角线

9、 OC 上一个动点 ， E(0， 1)， 当 EP BP 最短时 ， 点 P 的坐标为 _ 6 (2015 广元改编 )如图 ， 已知抛物线 y 1m(x 2)(x m)(m 0)与 x 轴相交于点 A， B， 与 y 轴相交于点 C， 且点 A 在点 B 的左侧 (1)若抛物线过点 G(2， 2)， 求实数 m 的值； (2)在 (1)的条件下 ， 在抛物线的对称轴上找一点 H， 使 AH CH 最小 ， 并求出点 H 的坐标 7 (2015 成都改编 )如图 ， 一次函数 y x 4 的图象与反比例 y 3x(k 为常数 ， 且 k0) 的图象交于 A，B 两点在 x 轴上找一点 P， 使

10、 PA PB 的值最小 ， 求满足条件的点 P的坐标 8 如图所示 ， 已知点 A 是半圆上的三等分点 ， B 是 AN 的中点 ， P 是直径 MN 上的一动点 ， O 的半径为 1，请问： P 在 MN 上什么位置时 ， AP BP 的值最小？并给出 AP BP 的最小值 9 (2015 达州 )如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上 ， OC 在 x 轴的正半轴上 ， AOC 的平分线交 AB 于点 D， E 为 BC 的中点 ， 已知 A(0， 4)、 C(5， 0)， 二次函数 y 45x2 bx c的图象抛物线经过 A， C 两点 (1)

11、求该二次函数的表达式； (2)F、 G 分别为 x 轴 ， y 轴上的动点 ， 顺次连接 D、 E、 F、 G 构成四边形 DEFG， 求四边形 DEFG 周长的最小值； (3)抛物线上是否在点 P， 使 ODP 的面积为 12？若存在 ， 求出点 P 的坐标；若不存在 ， 请说明理由 参考答案 类型 1 利用 “ 垂线段最短 ” 求最短路径问题 1 D 2.C 3.24 提示： 直线 y kx 3k 4 必过点 D(3， 4)， 当 BC 过点 D 且 BCOD 时最小 点 D 的坐标是 (3， 4)， OD 5.OB OA 13， 根据勾股定理可得 BD 12.BC 的 长的最小值为 24

12、. 4.(1) 两点之间线段最短 ， 连接 AD， BC 交于 H， 则 H 为蓄水池位置 ， 它到四个村庄距离之和最小 (2)过 H 作 HGEF ， 垂足为 G.则沿 HG 开渠最短 ， 根据垂线段最短 类型 2 利用 “ 两点之间线段最短 ” 求最短路径问题 1 B 2.D 3. 7 提示：作 B 关于 AC 的对称点 B ， 连接 AD、 AB 、 BB 、 BD ， 交 AC 于 E， 此时 BE ED BE ED BD ， 根据两点之间线段最短可知 BD 就是 BE ED 的最小值 ， B、 B 关于 AC 对称 ， AC、 BB 互相垂直平分 四边形 ABCB 是平行四边形 三角

13、形 ABC 是边长为 2， D为 BC 的中点 ， AD BC. AD 3， BD CD 1， BB 2AD 2 3， 作 B G BC 的延长线于 G， B G AD 3， 在Rt B BG 中 ， BG BB 2 BG 2 （ 2 3） 2（ 3） 2 3.DG BG BD 3 1 2.在 RtBDG 中 ，B D DG2 BG 2 22（ 3） 2 7.故 BE ED 的最小值为 7. 4.36 3 54 5.(2 3 3， 2 3) 6.(1)抛物线过点 G(2， 2)时 ， 1m(2 2)(2 m) 2， 即 m 4. (2)m 4， y 14(x 2)(x 4)令 y 0， 则 1

14、4(x 2)(x 4) 0， 解得 x1 2， x2 4. A( 2， 0)， B(4， 0) 抛物线对称轴为直线 x 2 42 1.令 x 0， 则 y 2， C(0， 2) B 点与 A 点关于对称轴对称 ， 连接 BC， BC 与对称轴的交点便为所求点 H. B(4 ， 0)， C(0， 2)， 求得线段 BC 所在直线为 y 12x 2.当 x 1 时 ， y 32， H(1， 32) 7.联立y x 4，y 3x， 解得 x 1，y 3， 或 x 3，y 1. A(1， 3)， B(3， 1) B 点关于 x 轴的对称点 B 坐标为 (3， 1)， 连接 AB 交 x 轴于点 P ，

15、 连接 BP. 设直线 AB 为 y kx b， 联立得k b 3，3k b 1.解得 k 2，b 5. y 2x 5.令 y 0， 得 x 52. P (52， 0)即满足条件的 P 的坐标为 (52， 0) 8.作 A 关于 MN 的对称点 A ， 根据圆的对称性 ， 则 A 必在圆上 ， 连接 BA 交 MN于 P， 连接 PA， 则 PAPB 最小 ， 此时 PA PB PA PB AB. 连接 OA、 OA 、 OB， AN 13MN ， AON AON 60 . AB BN ， BON 12 AON 30 . A OB 90 . A B OA 2 OB2 12 12 2， 即 AP

16、 BP 的最小值是 2. 9.(1)将 A(0， 4)、 C(5， 0)代入二次函数 y 45x2 bx c， 得20 5b c 0，c 4， 解得 b 245 ，c 4. 二次函数的表达式 y 45x2 245 x 4. (2)延长 EC 至 E ， 使 EC EC， 延长 DA 至 D ， 使 DA DA， 连接 DE ， 交 x 轴于 F 点 ， 交 y 轴于G 点 ， 连接 DG， EF， DE， GD GD ， EF EF ， (DG GF EF ED)最小 DE DE， 由 E 点坐标为 (5， 2)， D(4， 4)， 得 D( 4， 4)， E (5， 2)由勾股定理 ， 得

17、DE 22 12 5， D E （ 5 4） 2（ 4 2） 2 3 13， (DG GF EF ED)最小 DE DE 3 13 5， 即四边形 DEFG 周长的最小值为 3 13 5. (3)如下图： OD AO2 AD2 4 2. S ODP 12. 点 P 到 OD 的距离 2S OPDOD 2124 2 3 2. 过点 O 作 OFOD ， 取 OF 3 2， 过点 F 作直线 FG OD， 交 y 轴于 G 点 ， 交抛物线于点 P1， P2， 在 RtOGF 中 ， OG OF2 FG2 （ 3 2） 2（ 3 2） 2 6. 直线 GF 的解析式为 y x 6.将 y x 6

18、代入 y 45x2 245 x 4得： x 6 45x2 245 x 4. 解得 x1 29 418 ， x2 29 418 .将 x1， x2 的值代入 y x 6 得： y1 19 418 ， y2 19 418 . 点 P1(29 418 ， 19 418 )， P2(29 418 ， 19 418 ) 如下图所示： 过点 O 作 OFOD ， 取 OF 3 2， 过点 F 作直线 FG， 交 y 轴于 G 点 ， 交抛物线于 P3， P4， 在 RtGFO 中 ， OG OF2 GF2 6. 直线 FG 的解析式为 y x 6.将 y x 6 代入 y 45x2 245 x 4 得： x 6 45x2 245 x 4.解得 x129 1 0018 ， x229 1 0018 .y1 x1 677 1 0018 ， y2 x2 677 1 0018 ， P3(29 1 0018 ， 77 1 0018 )， P4(29 1 0018 ， 77 1 0018 ) 综上所述：点 P 的坐标为 (29 418 ， 19 418 )或 (29 418 ， 19 418 )或 (29 1 0018 ， 77 1 0018 ) 或 (29 1 0018 ， 77 1 0018 )