1、- 1 - 椭圆标准方程考点分析及例题讲解 考点： 1.椭圆的定义 平面内与两个定点 F1， F2 的距离的和等于 _常数 _(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 这 _两个定点 _叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的 _焦距 _ 思考探究 定义中，将 “ 大于 |F1F2|” 改为 “ 等于 |F1F2|” 或 “ 小于 |F1F2|” 的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 提示： 当常数等于 |F1F2|时，点的轨迹是线段 F1F2；当常数小于 |F1F2|时，不表示任何图形 2椭圆 的标准方程 思维聚焦 1、 椭圆定义的理解 ： 设两定点 F1、 F2，点到 F1、 F2 的距
2、离之和为 2a (1)当 2a|F1F2|时，点的轨迹是椭圆 (2)当 2a |F1F2|时，点的轨迹是以 F1、 F2 为端点的线段 (3)当 2ab0)或y2a2x2b2 1(ab0)； 在不能确定焦点位置的情况下也可设 mx2 ny2 1(m0， n0 且 m n)； (3)找关系：依据已知条件，建立关于 a， b， c 或 m， n 的方程组； 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 _(ab0) _(ab0) 焦点 _ _ 焦距 |F1F2| _ a， b， c的关系 _ - 2 - (4)得方程：解方程组，将 a， b， c 或 m， n 代入所设方程即为所求 . 考点一、
3、椭圆的定义 例 1、 如图所示，已知经过椭圆 x225y216 1 的右焦点 F2 的直线 AB 垂直于 x轴，交椭圆 于 A、 B 两点， F1 是椭圆的左焦点 (1)求 AF1B 的周长； (2)如果 AB 不垂直于 x 轴， AF1B 的周长有变化吗？为什么？ 分析 ： 因为 A、 B 在椭圆上，所以由椭圆的定义可知 |AF1| |AF2| 2a， |BF1| |BF2| 2a， 故 |AF1| |BF1| |AF2| |BF2| |AF1| |BF1| |AB| 4a 为常数 解 ： (1)如上图，由题意知， A、 B 在椭圆 x225y216 1 上，故有 |AF2| |AF1| 2
4、a 10， |BF1| |BF2| 2a 25 10， |AF2| |BF2| AB， ABF1 的周长 |AF1| |BF1| |AB| |AF1| |BF1| |AF2| |BF2| (|AF1| |AF2|) (|BF1| |BF2|) 2a 2a 4a 45 20. AF1B 的周长为 20. (2)如果 AB 不垂直于 x 轴， AF1B 的周长仍为 20 不变，因为 |AF1| |BF1| |AB| |AF1| |BF1| |AF2| |BF2| (|AF1| |AF2|) (|BF1| |BF2|) 4a，与 AB 和 x 轴是否垂直无关 点拨 ： 本题充分利用了椭圆的定义来解决
5、三角形周长的问题 变式训 练 1. 平面内，若点 M 到定点 F1(0， 1)、 F2(0,1)的距离之和为 2，则点 M 的轨迹为 ( ) A椭圆 B直线 F1F2 C线段 F1F2 D直线 F1F2 的垂直平分线 解析： |MF1| |MF2| 2 |F1F2|，所以点 M 的轨迹为线段 F1F2. 2. 下列说法中，正确的是 ( C ) - 3 - A平面内与两个定点 F1、 F2 的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆 B与两个定点 F1、 F2 的距离和等于常数 (大于 |F1F2|)的点的轨迹是椭圆 C方程 x2a2y2a2 c2 1(ac0)表示焦点在 x 轴上的椭圆 D方程 x2a2
6、y2b2 1(a0， b0)表示焦点在 y 轴上的椭圆 解析： 依据方程的结构特点 B 中没强调平面内 3. 设定点 F1(0， 3)， F2(0,3)，动点 P(x， y)满足条件 |PF1| |PF2| a(a0)，则动点 P 的轨迹是( ) A椭圆 B线段 C椭圆、线段或不存在 D不存在 答案 C 解析 当 a|F1F2| 6 时，动点 P 的轨迹为椭圆； 当 a |F1F2| 6 时，动点 P 的轨迹为线段； 当 a0 且 a 为常数 )； 命题乙： P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析： 乙 甲且
7、甲 乙， 甲是乙的必要不充分条件 5. 椭圆 x29y225 1 的焦点为 F1、 F2， AB 是椭圆过焦点 F1 的弦，则 ABF2 的周长是 ( ) A 20 B 12 C 10 D 6 解析： AB 过 F1， 由椭圆定义知 |BF1| |BF2| 2a，|AF1| |AF2| 2a， |AB| |AF2| |BF2| 4a 20. 6. 已知 F1、 F2 为椭圆 x225y29 1 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A、 B 两点若 |F2A| |F2B| 12， 则 |AB| _. 解析： |AB| |F1A| |F1B| (2a |F2A|) (2a |F2B|) 4a (
8、|F2A| |F2B|) 20 12 8. 7. (2010 新课标全国 )设 F1， F2 分别是椭圆 E： x2 y2b2 1(0|PA|， |PF2| |PA| AF2|，当且仅当 P、 A、 F2 三点共线时， |PF2| |PA| |AF2| 2.所以当 P、 A、 F2 三点共线时， |PF1| |PA|有最小值为 6 2. 考点二、 椭圆的标准方程 例 1、 求经过两点 P1(13， 13)， P2(0， 12)的椭圆的标准方程 分析 ： 求椭圆的标准方程时，要 “ 先定型，再定量 ” ，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设 出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可
9、 解 解法一： 当椭圆的焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 x2a2y2b2 1(ab0)， 依题意知 13 2a2 132b2 1， 12 2b2 1，解得 a2 15，b2 14. a2 15b0) - 5 - 由题意得 13 2a2 132b2 1， 12 2a2 1，解得 a2 14，b2 15.故所求椭圆的标准方程为 y214 x215 1. 解法二：设所求椭圆的方程为 Ax2 By2 1(A0， B0， A B) 由题意，得 A 13 2 B 13 2 1，B 12 2 1，解得 A 5，B 4， 所求的椭圆方程为 5x2 4y2 1. 点拨 ： (1)确定曲线的方程时，若能明
10、确方程的形式，则可设出曲线方程，建立含参数的等式， 求出参数的值，再代入所设方程 (2)由于 椭圆 Ax2 By2 1(A0， B0， A B)包含焦点在 x 轴上 (AB)两类情况， 因此解法二的处理避免了分类讨论，达到了简化运算的目的 变式训练 1. 椭圆 2x2 3y2 12 的两焦点之间的距离是 ( ) A 2 10 B. 10 C. 2 D 2 2 答案 D 解析 椭圆方程 2x2 3y2 12 可化为： x26y24 1， a2 6， b2 4， c2 6 4 2， 2 c 2 2. 2. 椭圆 5x2 ky2 5 的一个焦点是 (0,2)，那么 k 的值为 ( ) A 1 B 1
11、 C. 5 D 5 答案 B 解析 椭圆方程 5x2 ky2 5 可化为： x2 y25k 1， 又 焦点是 (0,2)， a2 5k， b2 1， c2 5k 1 4， k 1. 3. 已知方程 x225 my2m 9 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 ( ) - 6 - A 98 答案 B解析 由题意得 m 9025 m0m 925 m，解得 8 n， 椭圆的焦点在 y 轴上，排除 B、 D，又 nm， m n无意义，排除 A，故选 C. 5. 椭圆的两焦点为 ( 2,0)和 (2,0)且椭圆过点 (52， 32)，则方程为 ( ) A.y28x24 1 B.y24x2
12、8 1 C.y210x26 1 D.x210y26 1 解析： 由题意知 c2 4，又焦点在 x 轴上，设 x2a2y2a2 4 1，把 (52，32)代入得 a2 10. 6. 椭圆 25x2 16y2 1 的焦点坐标为 ( ) A (3,0) B ( 13， 0) C ( 320， 0) D (0， 320) 解析： 椭圆方程可化为 x2125 y2116 1. 7. 已知椭圆过点 P 4,53和点 Q 3,54，则此椭圆的标准方程是 ( ) A.y225 x2 1 B.x225 y2 1 或 x2 y225 1 C.x225 y2 1 D以上都不对 答案 A 解析 设椭圆方程为： Ax2
13、 By2 1(A0， B0)由题意得 925A 16B 11625A 9B 1，解得 A 1B 125 8. 当 30 且 k 30. (1)若 9 kk 3，即 3b0) 由已知条件得 4a2 2b2 11a2144b2 1，解得 1a2 181b214. 所以所求椭圆的标准方程为 x28y24 1. 若焦点在 y 轴上， 设椭圆的标准方程为 y2a2x2b2 1(ab0) 由已知条件得 4b2 2a2 11b2144a2 1，解得 1b2 181a214. 即 a2 4， b2 8，则 a2b0 矛盾，舍去 综上，所求椭圆的标准方程为 x28y24 1. 方法二 设椭圆的一般方程为 Ax2
14、 By2 1(A0， B0， A B)将 两点 (2， 2)， ( 1， 142 )代入， 得 4A 2B 1A 144 B 1 ，解得 A 18B 14， 所以所求椭圆的标准方程为 x28y24 1. 10. (福建高考 )已知椭圆 C经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点，求椭圆 C的标准方程 解： 解法一 依题意 ，可设椭圆 C 的方程为 x2a2y2b2 1(ab0)，且可知左焦点为 F( 2,0) 从而有 c 22a |AF| |AF| 3 5 8 ，解得 c 2a 4 . 又 a2 b2 c2，所以 b2 12， 故椭圆 C 的标准方程为 x216y212 1. - 8
15、 - 解法二 依题意，可设椭圆 C 的方程为 x2a2y2b2 1(ab0)，则 4a2 9b2 1a2 b2 4， 解得 b2 12 或 b2 3(舍去 )，从而 a2 16. 所以椭圆 C 的标准方程为 x216y212 1. 考点三、 椭圆的焦点三角形问题 例 1、 如图所示，点 P 是椭圆 y25x24 1 上的一点， F1 和 F2 是焦点，且 F1PF2 30 ， 求 F1PF2 的面积 分析 ： 由题目可获取以下主要信息： (1)椭圆方程为 y25x24 1； (2)F1， F2 是焦点， P 是椭圆上一点且 F1PF2 30. 解答本题可先利用 a， b， c 三者关系求出 |
16、F1F2|，再利用定义及余弦定理求出 |PF1|、 |PF2|， 最后求出12FPFS. 解 ： 在 椭圆 y25x24 1 中， a 5， b 2， c a2 b2 1. 又 P 在椭圆上， |PF1| |PF2| 2a 2 5 由余弦定理知： |PF1|2 |PF2|2 2|PF1| PF2|cos30 |F1F2|2 (2c)2 4 式两边平方，得 |PF1|2 |PF2|2 2|PF1| PF2| 20 ，得 (2 3)|PF1| PF2| 16， |PF1| PF2| 16(2 3)， 12PFFS 12|PF1| PF2|sin30 8 4 3. 点拨 ： 椭圆的焦点三角形问题，常
17、常运用正弦定理与余弦定理将三角形中的边与角联系起来， 所以具有相当高的综合性在焦点三角形中，常用的结论有： (1)|PF1| |PF2| 2a； - 9 - (2)若 F1PF2 ，则 |PF1|PF2| b2cos22， S12FPF b2tan2 ， |yP| b2ctan2 . 变式训 练 1. 若 ABC的两个焦点坐标为 A( 4,0)、 B(4,0)， ABC的周长为 18，则顶点 C的轨迹方程为 ( ) A.x225y29 1 B.y225x29 1(y0) C.x216y29 1(y0) D.x225y29 1(y0) 答案 D 解析 |AB| 8， |AC| |BC| 10|A
18、B|，故点 C 轨迹为椭圆且两焦点为 A、 B，又因为 C 点的纵坐标不能为零，所以选 D. 2. 点 P 为椭圆 x25y24 1 上一点，以点 P 以及焦点 F1、 F2 为顶点的三角形的面积为 1，则 P 点的坐标为 ( ) A. 152 ， 1 B. 152 ， 1 C. 152 ， 1 D. 152 ， 1 答案 D 解析 S PF1F2 12| F1F2| yP| 122| yP| 1， | yP| 1， yP 1 ，代入椭圆方程得，xP 152 . 3. 点 A(a,1)在椭圆 x24y22 1 的内部，则 a 的取值范围是 ( ) A 2 2 C 22 且 k0， 0k1. 6
19、. 椭圆 x212y23 1 的两个焦点为 F1、 F2，点 P 在椭圆上如果线段 PF1 的中点在 y 轴上， 那么 |PF1|是 |PF2|的 _倍 解析： 由已知椭圆的方程得 a 2 3， b 3， c 3， F1( 3,0)， F2(3,0) 由于焦点 F1 和 F2 关于 y 轴对称， PF2 必垂直于 x 轴 P(3， 32 )， |PF2| 32 ， |PF1| 2 32 2 7 32 . |PF1| 7|PF2|. 7. M 是椭圆 x29y24 1 上的任意一点， F1、 F2 是椭圆的左、右焦点，则 |MF1| MF2|的最大值是_ 解析： |MF1| |MF2| 2a.|
20、MF1| MF2| |MF1| |MF2|2 2 a2 9. 8. AB 为过椭圆 x2a2y2b2 1 中心的弦， F(c,0)为椭圆的左焦点，则 AFB 的面积最大值是 ( ) A b2 B Bc C ab D ac 答案 B 解析 S ABF S AOF S BOF 12|OF| yA yB|， 当 A、 B 为短轴两个端点时， |yA yB|最大，最大值为 2b. ABF 面积的最大值为 bc. 9. 点 P 是椭圆 x225y29 1 上一点，以点 P 以及焦点 F1、 F2为顶点的三角形的面积等于 8， 求点 P 的坐标 解 ： 设点 P 的坐标为 (x， y) c2 a2 b2 25 9 16， 2c 8. S PF1F2 8， 128| y| 8. y 2. 把 y 2 代入方程 x225y29 1， 解得 x 53 5. 点 P 的坐标为 (53 5， 2)、 (53 5， 2)、 ( 53 5， 2)、 ( 53 5， 2). 10. 已知 F1、 F2 是椭圆 x2100y264 1 的两个焦点， P 是椭圆上任一点，若 F1PF23 ， 求 F1PF2 的面积
