1、导数练习题（ B）答案 1（本题满分 12 分） 已知 函数 dxbacbxaxxf )23()( 23 的图象如图所 示 （ I） 求 dc, 的值； （ II）若函数 )(xf 在 2x 处的切线方程为 0113 yx ， 求函数)(xf 的解析式； （ III）在（ II）的条件下，函数 )(xfy 与 mxxfy 5)(31的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围 2（本小题满分 12 分） 已知函数 )(3ln)( Raaxxaxf （ I）求函数 )(xf 的单调区间； （ II）函数 )(xf 的图象的在 4x 处切线的斜率为 ,23 若函数 2)(31)( 23 mxfxxx
2、g 在区间（ 1， 3）上不是单调 函数，求 m 的取值范围 3（本小题满分 14 分） 已知函数 cbxaxxxf 23)( 的图象经过坐标原点，且在 1x 处取得极大值 （ I）求实数 a 的取值范围； （ II）若方程9 )32()( 2 axf恰好有两个不同的根，求 )(xf 的解析式； （ III）对于（ II）中的函数 )(xf ，对任意 R、 ，求证： 81|)s i n2()s i n2(| ff 4 （本小题满分 12 分） 已知常数 0a ， e 为自然对数的底数，函数 xexf x )( ， xaxxg ln)( 2 （ I）写出 )(xf 的单调递增区间，并证明 aea
3、 ； （ II）讨论函数 )(xgy 在区间 ),1( ae 上零点的个数 5 （本小题满分 14 分） 已知函数 ( ) ln( 1 ) ( 1 ) 1f x x k x （ I）当 1k 时，求函数 ()fx的最大值； （ II）若函数 ()fx没有零点，求实数 k 的取值范围； 6 （本小题满分 12 分） 已知 2x 是函数 2( ) ( 2 3 ) xf x x ax a e 的一个极值点（ 718.2e ） （ I）求实数 a 的值； （ II）求函数 ()fx在 3,23x 的最大值和最小值 7 （本小题满分 14 分） 已知函数 )0,(,ln)2(4)( 2 aRaxaxxx
4、f （ I）当 a=18 时，求函数 )(xf 的单调区间； （ II）求函数 )(xf 在区间 , 2ee 上的最小值 8 （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ( 6) lnf x x x a x 在 (2, )x 上 不具有 单调性 （ I）求实数 a 的取值范围； （ II）若 ()fx 是 ()fx的导函数，设22( ) ( ) 6g x f x x ，试证明：对任意两个不相等正数12xx、 ，不等式 1 2 1 238| ( ) ( ) | | |27g x g x x x 恒成立 9（本小题满分 12 分） 已知函数 .1,ln)1(21)( 2 axaaxxxf （ I）
5、讨论函数 )(xf 的单调性； （ II）证明：若 .1)()(,),0(,521212121 xx xfxfxxxxa 有则对任意 10 （本小题满分 14 分） 已知函数 21( ) l n , ( ) ( 1 ) , 12f x x a x g x a x a （ I）若函数 ( ), ( )f x g x 在区间 1,3 上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数 a 的取值范围； （ II）若 (1 , ( 2 . 7 1 8 2 8 )a e e ，设 ( ) ( ) ( )F x f x g x，求证：当 12, 1, x x a 时，不等式12| ( ) ( ) | 1F x F
6、 x成立 11（本小题满分 12 分） 设曲线 C ： ( ) lnf x x ex（ 2.71828e ）， ()fx 表示 ()fx导函数 （ I）求函数 ()fx的极值； （ II） 对于曲线 C 上的不同两点 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， 12xx ， 求证：存在唯一的 0x 12( , )xx ，使 直线 AB 的斜率等于 0()fx 12 （本小题满分 14 分） 定义 ),0(,)1(),( yxxyxF y， （ I）令函数 22( ) ( 3 , lo g ( 2 4 ) )f x F x x ，写出函数 ()fx的定义域； （ II）令函数 322
7、( ) (1 , lo g ( 1 ) )g x F x a x b x 的图象为曲线 C，若存在实数 b 使得曲线 C 在)14( 00 xx 处有斜率为 8 的切线，求实数 a 的取值范围； （ III）当 ,*xyN 且 xy 时，求证 ( , ) ( , )F x y F y x 1.解：函数 )(xf 的导函数为 bacbxaxxf 2323)( 2 （ 2 分） （ I）由图可知 函数 )(xf 的图象过点（ 0， 3），且 0)1( f 得 0302323 3 cdbacbad （ 4 分） （ II）依题意 3)2( f 且 5)2( f 534648 323412 baba
8、baba解得 6,1 ba 所以 396)( 23 xxxxf （ 8 分） （ III） 9123)( 2 xxxf 可转化为： mxxxxxx 534396 223 有三个不等实根，即： mxxxxg 87 23 与 x 轴有三个交点； 4238143 2 xxxxxg ， x 32, 32 432， 4 ，4 xg + 0 - 0 + xg 增 极大值 减 极小值 增 mgmg 164,276832 （ 10 分） 当且仅当 01640276832 mgmg 且时，有三个交点， 故而，276816 m为所求 （ 12 分） 2.解：（ I） )0()1()( xx xaxf （ 2 分）
9、 当 ,1,1,0)(,0 减区间为的单调增区间为时 xfa 当 ;1,0,1)(,0 减区间为的单调增区间为时 xfa 当 a=1 时， )(xf 不是单调函数 （ 5 分） （ II） 32ln2)(,22343)4( xxxfaaf 得 2)4()(,2)22(31)( 223 xmxxgxxmxxg （ 6 分） 2)0(,)3,1()( gxg 且上不是单调函数在区间 .0)3( ,0)1(gg（ 8 分） ,319,3mm （ 10 分）)3,319( m （ 12 分） 3.解：（ I） ,23)(,00)0( 2 baxxxfcf 320)1( abf ),323)(1()32
10、(23)( 2 axxaaxxxf 由 3 3210)( axxxf 或，因为当 1x 时取得极大值， 所以 313 32 aa ，所以 )3,(: 的取值范围是a ； （ 4分） （ II）由下表： x )1,( 1 )332,1( a 332a ),3 32( a )(xf + 0 - 0 - )(xf 递增 极大值2a 递减 极小值 2)32(276 aa递增 依题意得：9 )32()32(27 6 22 aaa，解得： 9a 所以函数 )(xf 的解析式是： xxxxf 159)( 23 （ 10分） （ III）对任意的实数 , 都有 ,2s in22,2s in22 在区间 -2，
11、 2有： 230368)2(,7)1(,7430368)2( fff ,7)1()( fxf 的最大值是 7430368)2()( fxf 的最小值是 函数 2,2)( 在区间xf 上的最大值与最小值的差等于 81， 所以 81|)s i n2()s i n2(| ff （ 14分） 4.解：（ I） 01)( xexf ，得 )(xf 的单调递增区间是 ),0( ， （ 2 分） 0a ， 1)0()( faf ， aaea 1 ，即 aea （ 4 分） （ II） x axaxxaxxg )22)(22(22)( ，由 0)( xg ，得 22ax ，列表 x )22,0( a 22a
12、),22( a )(xg - 0 + )(xg 单调递减 极小值 单调递增 当 22ax 时，函数 )(xgy 取极小值 )2ln1(2)22( aaag ，无极大值 （ 6分） 由（ I） aea ， 22aaee aa ， 22 aea， 22aea 01)1( g ， 0)()( 22 aeaeaeeg aaaa （ 8 分） （ i）当 122 a ，即 20 a 时，函数 )(xgy 在区间 ),1( ae 不存在零点 （ ii）当 122 a ，即 2a 时 若 0)2ln1(2 aa，即 ea 22 时，函数 )(xgy 在区间 ),1( ae 不存在零点 若 0)2ln1(2
13、aa ，即 ea 2 时，函数 )(xgy 在区间 ),1( ae 存在一个零点 ex ； 若 0)2ln1(2 aa ，即 ea 2 时，函数 )(xgy 在区间 ),1( ae 存在两个零点； 综上所述， )(xgy 在 (1, )ae 上，我们有结论： 当 02ae 时，函数 ()fx无零点； 当 2ae 时，函数 ()fx有一个零点； 当 2ae 时，函数 ()fx有两个零点 （ 12分） 5.解：（ I）当 1k 时， 2()1xfx x )(xf 定义域为（ 1， + ），令 ( ) 0, 2f x x 得 ， （ 2 分） 当 (1,2) ,x 时 ( ) 0fx ，当 (2,
14、) ,x 时 ( ) 0fx ， ( ) (1,2)fx在 内是增函数， (2, )在 上是减函数 当 2x 时， ()fx取最大值 (2) 0f （ 4 分） （ II） 当 0k时 ，函数 ln( 1)yx图象与函数 ( 1) 1y k x 图象有公共点， 函数 ()fx有零点，不合要求； （ 8 分） 当 0k时 ， 1()11() 1 1 1 kkxk k x kf x kx x x （ 6 分） 令 1( ) 0, kf x xk 得， 1(1, ) , ( ) 0 ,kx f xk 时 1(1 , ) , ( ) 0x f xk 时， 1( ) (1,1 )fxk在内是增函数， 1
15、1 , )k 在上是减函数， ()fx的最大值是 1(1 ) lnfkk ， 函数 ()fx没有零点， ln 0k， 1k ， 因此，若函数 ()fx没有零点，则实数 k 的取值范围 (1, )k （ 10 分） 6.解：（ I）由 2( ) ( 2 3 ) xf x x ax a e 可得 22( ) ( 2 ) ( 2 3 ) ( 2 ) 3 x x xf x x a e x a x a e x a x a e （ 4 分） 2x 是函数 ()fx的一个极值点， (2) 0f 2( 5) 0ae，解得 5a （ 6 分） （ II）由 0)1)(2()( xexxxf ，得 )(xf 在
16、)1,( 递增，在 ),2( 递增， 由 0)( xf ，得 )(xf 在在 )2,1( 递减 2)2( ef 是 ()fx在 3,23x的最小值； （ 8 分） 2347)23( ef ， 3)3( ef )23()3(,0)74(4147)23()3( 23233 ffeeeeeff ()fx在 3,23x的最大值是 3)3( ef （ 12 分） 7.解：（ ） xxxxf ln164)( 2 ， x xxxxxf )4)(2(21642)( 2 分 由 0)( xf 得 0)4)(2( xx ，解得 4x 或 2x 注意到 0x ，所以函数 )(xf 的单调递增区间是（ 4， +） 由
17、 0)( xf 得 0)4)(2( xx ，解得 -2 x 4， 注意到 0x ，所以函数 )(xf 的单调递减区间是 4,0( . 综上所述，函数 )(xf 的单调增区间是（ 4， +），单调减区间是 4,0( 6 分 （ ）在 , 2eex 时， xaxxxf ln)2(4)( 2 所以 x axxx axxf 242242)( 2， 设 axxxg 242)( 2 当 0a 时，有 =16+42 08)2( aa ， 此时 0)( xg ，所以 0)( xf ， )(xf 在 , 2ee 上单调递增， 所以 aeeefxf 24)()( 2m i n 8 分 当 0a 时， = 08)2
18、(2416 aa， 令 0)( xf ，即 0242 2 axx ，解得221 ax 或221 ax ； 令 0)( xf ，即 0242 2 axx ， 解得221 a 221 ax . 若 221 a 2e ，即 a 22 )1(2 e 时， )(xf 在区间 , 2ee 单调递减，所以 aeeefxf 244)()( 242m i n . 若 2221 eae ，即 222 )1(2)1(2 eae 时间， )(xf 在区间 221, ae 上单调递减，在区间 ,221 2ea 上单调递增， 所以 min)(xf )221( af )221ln ()2(322 aaaa . 若 221
19、a e ，即 a0 2 2)1( e 时， )(xf 在区间 , 2ee 单调递增， 所以 aeeefxf 24)()( 2m i n 综上所述，当 a 2 22 )1( e 时， aeaxf 244)( 24m in ； 当 222 )1(2)1(2 eae 时， )221ln ()2(322)(m i n aaaaxf ； 当 a 2)1(2 e 时， aeexf 24)( 2m in 14 分 8.解：（ I） 226( ) 2 6 a x x af x xxx ， （ 2 分） ()fx在 (2, )x 上 不具有 单调性， 在 (2, )x 上 ()fx 有正也有负也有 0， 即二次
20、函数 226y x x a 在 (2, )x 上有零点 （ 4 分） 226y x x a 是对称轴是 32x，开口向上的抛物线， 22 2 6 2 0ya 的实数 a 的取值范围 ( ,4) （ 6 分） （ II）由（ I）22( ) 2 ag x x xx ， 方法 1：22( ) ( ) 6 2 ( 0)ag x f x x xx x x ， 4a ， 32 3 2 3 34 4 4 2 4 4( ) 2 2a x xgx x x x x x ， （ 8 分） 设2344( ) 2hx xx ，3 4 48 12 4( 2 3 )() xhx x x x ()hx在 3(0,)2 是减
21、函数，在 3( , )2 增函数，当 32x 时， ()hx 取最小值 3827 从而 ()gx 3827 ， 38( ( ) ) 027g x x ，函数 38() 27y g x x是增函数， 12xx、 是两个不相等正数，不妨设 12xx ，则 2 2 1 138 38( ) ( )27 27g x x g x x 2 1 2 138( ) ( ) ( )27g x g x x x ， 210xx， 1212( ) ( ) 3827g x g xxx 1212( ) ( )g x g xxx 3827 ，即 1 2 1 238| ( ) ( ) | | |27g x g x x x （
22、12 分） 方法 2： 11( , ( )M x g x 、 22( , ( )N x g x 是曲线 ()y gx 上任意两相异点， 1 2 1 2221 2 1 2 1 2( ) ( ) 2 ( )2g x g x x x ax x x x x x ， 1 2 1 22x x x x ， 4a 1222 31 2 1 2 1 2122 ( ) 422 ()xx aax x x x x xxx 31212442 () xxxx （ 8 分） 设121 ,0ttxx，令 32( ) 2 4 4MNk u t t t ， ( ) 4 (3 2)u t t t ， 由 () 0ut ，得 2,3t
23、由 () 0ut 得 20,3t()ut 在 )32,0( 上是减函数，在 ),32( 上是增函数， )(tu 在 32t 处取极小值 2738 ， 38() 27ut， 所以 1212( ) ( )g x g xxx 3827 即1 2 1 238| ( ) ( ) | | |27g x g x x x （ 12 分） 9.解 （ 1） )(xf 的定义域为 ),0( ，x axxx aaxxxaaxxf )1)(1(11)( 2 2 分 （ i）若 2,11 aa 即 ，则 .)1()( 2xxxf 故 )(xf 在 ),0( 单调增加 （ ii）若 .0)(,)1,1(,21,1,11
24、xfaxaaa 时则当故而 )1,1()(,0)(,),1()1,0( axfxfxax 在故时及当 单调减少，在（ 0， a-1）， ),1( 单调增加 （ iii）若 ),1(),1,0(,)1,1()(,2,11 aaxfaa 在单调减少在同理可得即 单调增加 （ II）考虑函数 xxfxg )()( .ln)1(21 2 xxaaxx 由 .)11(1)1(121)1()( 2 aaxaxxaaxxg 由于 单调增加在即故 ),0()(,0)(,5 xgxgaa ，从而当 021 xx 时有 ,0)()(,0)()( 212121 xxxfxfxgxg 即 故 1)()(2121 xx
25、 xfxf ，当 210 xx 时，有 1)()()()(12122121 xx xfxfxx xfxf 10.解：（ I） ( ) , ( ) 1af x x g x ax ， （ 2 分） 函数 ( ), ( )f x g x 在区间 1,3 上都是单调函数且它们的单调性相同， 当 1,3x 时， 2( 1 ) ( )( ) ( ) 0a x af x g x x 恒成立， （ 4 分） 即 2( 1)( ) 0a x a 恒成立， 21aax 在 1,3x 时恒成立，或21aax 在 1,3x 时恒成立， 91x ， 1a 或 9a （ 6 分） （ II） 21( ) ln , ( 1
26、 )2F x x a x a x ， ( ) ( 1 ) ( 1 )a x a xF x x axx ()Fx定义域是 (0, ) ， (1, ae ，即 1a ()Fx在 (0,1) 是增函数，在 (1, )a 实际减函数，在 ( , )a 是增函数 当 1x 时， ()Fx取极大值 1(1)2M F a ， 当 xa 时， ()Fx取极小值 21( ) ln2m F a a a a a ， （ 8 分） 12, 1, x x a ， 12| ( ) ( ) | | |F x F x M m M m （ 10 分） 设 211( ) l n22G a M m a a a ，则 ( ) ln
27、1G a a a ， 1 ( ) 1Ga a， (1, ae ， ( ) 0Ga ( ) ln 1G a a a 在 (1, ae 是增函数， ( ) (1) 0G a G 211( ) ln22G a a a a 在 (1, ae 也是增函数 （ 12 分） ( ) ( )G a G e ，即 221 1 ( 1 )( ) 12 2 2eG a e e ， 而 2221 1 ( 1 ) ( 3 1 )1 1 12 2 2 2eee ， ( 1G a M m 当 12, 1, x x a 时，不等式 12| ( ) ( ) | 1F x F x成立 （ 14 分） 11.解： （ I） 11(
28、 ) 0exf x exx ，得 1x e 当 x 变化时， ()fx 与 ()fx变化情况如下表： x 1(0, )e 1e 1( , )e ()fx 0 ()fx 单调递增 极大值 单调递减 当 1xe时， ()fx取得极大值 1( ) 2fe ，没有极小值； （ 4 分） （ II） （方法 1） 0() ABf x k ， 2 1 2 10 2 1l n l n ( )1 x x e x xex x x ， 2 1 201ln 0x xxx 即 20 2 11ln ( ) 0xx x xx ，设 2211( ) ln ( )xg x x x xx 21 1 2 11( ) ln ( )
29、xg x x x xx ，1/ 211( ) ln 1 0xxgx x ， 1()gx 是 1x 的增函数， 12xx ， 21 2 2 2 22( ) ( ) l n ( ) 0xg x g x x x xx ； 22 2 2 11( ) ln ( )xg x x x xx ，2/ 21( ) ln 1 0xxgx x ， 2()gx 是 2x 的增函数， 12xx ， 12 1 1 1 11( ) ( ) l n ( ) 0xg x g x x x xx ， 函数 2211( ) ln ( )xg x x x xx 在 12( , )xx 内有零点 0x ， （ 10 分） 又 22111
30、, ln 0xx ，函数 2 211( ) ln ( )xg x x x xx 在 12( , )xx 是增函数， 函数 2 1 21( ) lnx x xgx xx在 12( , )xx 内有唯一零点 0x ，命题成立 （ 12 分） （方法 2） 0() ABf x k ， 2 1 2 10 2 1l n l n ( )1 x x e x xex x x ， 即 0 2 0 1 1 2ln ln 0x x x x x x ， 0 1 2( , )x x ，且 0x 唯一 设 2 1 1 2( ) ln lng x x x x x x x ，则 1 1 2 1 1 1 2( ) l n l
31、ng x x x x x x x ， 再设 22( ) ln lnh x x x x x x x ， 20 xx ， 2( ) ln ln 0h x x x ( ) ln lnh x x x x x x x 在 20 xx 是增函数 1 1 2( ) ( ) ( ) 0g x h x h x ，同理 2( ) 0gx 方程 2 1 1 2ln ln 0x x x x x x 在 0 1 2( , )x x 有解 （ 10 分） 一 次函数在 12( , )xx 2 1 1 2( ) ( ln ln )g x x x x x x 是增函数 方程 2 1 1 2ln ln 0x x x x x x
32、 在 0 1 2( , )x x 有唯一解，命题成立 （ 12 分） 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线 C 不存在拐点，不给分 12.解： （ I） 22log (2 4) 0xx ，即 22 4 1xx （ 2 分） 得函数 ()fx的定义域是 ( 1,3) ， （ 4 分） （ II） 2 2 3 22( ) ( 1 , l o g ( 1 ) ) 1 ,g x F x a x b x x a x b x 设曲线 00( 4 1)C x x 在 处有斜率为 8 的切线， 又由题设 ,23)(,0)1(lo g 2232 baxxxgbxaxx 存在实数 b 使得11148230203
33、00020bxaxxxbaxx 有解， （ 6 分） 由 得 ,238 020 axxb 代入 得 082 020 axx ， 20002 8 041x axx 由 有解， （ 8 分） 方法 1：0 082( ) ()ax x ，因为 041x ，所以0 082 ( ) 8,1 0 )()x x ， 当 10a 时，存在实数 b ，使得曲线 C 在 )14( 00 xx 处有斜率为 8 的切线 （ 10 分） 方法 2：得 08)1()1(208)4()4(2 22 aa 或， 10 10 , 10 .a a a 或 （ 10 分） 方法 3：是 222 ( 4) ( 4) 8 02 ( 1
34、) ( 1) 8 0aa 的补集，即 10a （ 10 分） （ III） 令2)1ln (1)(,1,)1ln ()(xxxxxhxx xxh 由 又令 ,0),1ln (1)( xxxxxp 0)1(1 1)1( 1)( 22 xxxxxp， ),0)( 在xp 单调递减 . （ 12）分 0 ( ) (0 ) 0 , 1 ( ) 0 ,x p x p x h x 当 时 有 当 时 有 ),1)( 在xh 单调递减， xy yxyxxyy yx xyx )1()1(),1l n ()1l n (,)1l n ()1l n (,1 有时 ， ).,(),(, xyFyxFyxNyx 时且当 （ 14 分）
