1、宜宾市一中 2016 级高三上期第数学十七周教学设计 编辑 ：李波 审核 ；唐有鱼 8 1 空间几何体的结构、三视图和直观图 考点梳理 1 棱柱、棱锥、棱台的概念 (1)棱柱： 有两个面互相 _， 其余各面都是 _， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相 _，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 注： 棱柱又分为斜棱柱和直棱柱 侧棱与底面不垂直的棱柱叫做 斜棱柱 ；侧棱与底面垂直的棱柱叫做 直棱柱 ；底面是正多边形的直棱柱叫做 正棱柱 (2)棱锥： 有一个面是 _， 其余各面都是有一个公共 顶点的 _， 由这些面所围成的多面体叫做棱锥 注： 如果棱锥的底面是正多边形 ， 且它的顶点在过底面中心且与底面
2、垂直的直线上 ， 则这个棱锥叫做 正棱锥 (3)棱台： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 ， 底面与截面之间的部分 ， 叫做棱台 注： 由正棱锥截得的棱台叫做 正棱台 2.棱柱、棱锥、棱台的性质 (1)棱柱的性质 侧棱都相等 ， 侧面是 _；两个底面与平行于底面的截面是 _的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是 _；直棱柱的侧棱长与高相 等且侧面、对角面都 是 _ (2)正棱锥的性质 侧棱相等 ， 侧面是全等的 _；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个 _；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个 _；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个_；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底
3、面边长的一半也构成一个 _ (3)正棱台的性 质 侧面是全等的 _；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个 _；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个 _；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个_ 3 圆柱、圆锥、圆台 (1)圆柱、圆锥、圆台的概念 分别以 _的一边、 _的一直角边、 _中 垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台 (2)圆柱、圆锥、圆台的性质 圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是 _、 _、 _；平行于底面的 截面都是 _ 4 球 (1)球面与球的概念 以半圆的 _所在直线为旋转轴 ， 半圆面旋转一周形
4、成的旋转体叫做球体 ， 简称球半圆的圆心叫做球的_ (2)球的截面性质 球心和截面圆心的连线 _截面；球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r 的关系为_ 5 平行投影 在一束平行光线照射下形成的投影 ， 叫做 _平行投影的投影线互相 _ 6 空间几何体的三视图、直观图 (1)三视图 空间几何体的三视图是用 正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小 是完全相同的三视图包括 _、 _、 _ 三视图尺寸关系口诀： “ 长对正 ， 高平齐 ， 宽相等 ” 长对正指正视图和俯视图长度相等 ， 高平齐指正视图和侧 (左 )视图高度要对齐 ， 宽相
5、等指俯视图和侧 (左 )视图的宽度要相等 (2)直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画 ， 其规则是： 在已知图形所在空间中取水平面 ， 在水平面内作互相垂 直的轴 Ox， Oy， 再作 Oz 轴 ， 使 xOz _且 yOz _ 画直观图时 ， 把 Ox， Oy， Oz 画成对应的轴 Ox， O y， O z， 使 xOy _， x Oz _ xOy所确定的平面表示水平面 已知图形中 ， 平行于 x 轴、 y 轴或 z 轴的线段 ， 在直观图中分别画成 _x轴、 y轴或 z轴的线段 ，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形 中相应线段和原坐标轴的位置关系相同 已知图形中平行于 x 轴
6、和 z 轴的线段 ， 在直观图中保持长度不变 ， 平行于 y 轴的线段 ， 长度为原 来的_ 画图完成后 ， 擦去作为辅助线的坐标轴 ， 就得到了空间图形的直观图 自查自纠 1 (1)平行 四边形 平行 (2)多边形 三角形 2 (1)平行四边形 全等 平行四边形 矩形 (2)等腰三角形 直角三角形 直角三角形 直角三角 形 直角三角形 (3)等腰梯形 直角梯形 直角梯形 直角梯形 3 (1)矩形 直角三角形 直角梯形 (2)矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 4 (1)直径 球心 (2)垂直于 d R2 r2 5 平行投影 平行 6 (1) 正 (主 )视图 侧 (左 )视图 俯视图 (2) 9
7、0 90 45(或 135) 90 平行于 一半 基础自测 以下关于几何体的三视图的论述中 ， 正确的是 ( ) A 球的三视图总是三个全等的圆 B 正方体的三视图总是三个全等的正方形 C 水平放置的正 四面体的三视图都是正三角形 D 水平放置的圆台的俯视图是一个圆 解： 几何体的三视图要考虑视角 ， 只有球无论选择怎样的视角 ， 其三视图总是三个全等的圆 故选 A. (2017全国卷 )如图 ， 网格纸上小正方形的边长为 1， 粗实线画出的是某几何体的三视图 ， 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得 ， 则该几何体的体积为 ( ) A 90 B 63 C 42 D 36 解法一： 由三视
8、图知 ， 该几何体可以看作由底面半径为 3， 高为 10 的圆柱截去底面半径为 3， 高为 6 的圆柱的一半所得 ， 故其体积 V 32 10 12 32 6 63. 解法二： 该几何体可以看作由底面半径为 3， 高为 10 的圆柱截去底面半径为 3， 高为 6 的圆柱的一半所得 ，其体积等于底面半径为 3， 高为 7 的圆柱的体积 ， 所以其体积 V 32 7 63.故选 B. (2017全国卷 )某多面体的三视图如图所示 ， 其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成 ，正方形的边长为 2， 俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形 ， 这些梯形的面积之和为( ) A
9、10 B 12 C 14 D 16 解： 由三视图可知该多面体是一个组合体 ， 下面是底面为等腰直角三角形的直三棱柱 ， 上面是底面为等腰直角三角形的三棱锥 ， 等腰直角三角形的腰长、直三棱柱的高、三棱锥的高均为 2， 易知该多面体有 2 个面是梯形 ，这 2 个梯形的面积之和为 （ 2 4） 22 2 12， 故选 B. (2017北京 )某四棱锥的三视图如图所示 ， 则该四棱锥的最长棱的长度为 _ 解： 由三视图还原为如图所示的四棱锥 A BCC1B1， 易得 ， 最长的棱为 AC1， 且 AC1 AC2 CC21（ 22 22） 22 2 3.故填 2 3. (2017山东 )由一个长方
10、体和两个 14圆柱体构成的几何体的三视图如图 ， 则该几何体的 体积为 _ 解： 由三视图可知 V 1 2 1 2 14 12 1 2 2.故填 2 2. 类型一 空间几何体的结构特征 给出下列四个命题： 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱； 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； 若有两个侧面垂直于底面 ， 则该四棱柱为直四棱柱 其中所有 错误 命题 的序号是 ( ) A B. C D. 解： 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析 ， 故 错误 ， 对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明 ， 故 错误 ， 平行六面体的两个相对侧面也可能与底
11、面垂直且互相平行 ， 故 错误 故选 D. 【点拨】 解决该类题目需要准确理解几何体的定义 ， 要真正把握几何体的结构特征 ， 并且学会通过反例对概念进行辨析 ， 即要说明一个命题是错误 的 ，设法举出一个反例即可 下面是关于四棱柱的四个命题： 若有一个侧面垂直于底面 ， 则该四棱柱为直四棱柱； 若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面 ， 则该四棱柱为直四棱柱； 若四个侧面两两全等 ， 则该四棱柱为直四棱柱； 若四棱柱的四条对角线两两相等 ， 则该四棱柱为直四棱柱 其中 ， 真命题的编号是 _ 解： 显然错； 正确 ， 因两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面； 错 ， 可以是斜 四
12、棱柱； 正确 ，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形 故填 . 类型二 空间几何体的三视图 已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示 ， 俯视图是边长为 2 的正三角形 ， 则该三棱锥的侧视图可能为 ( ) 解： 三视图中正侧高平齐 ， 排除 A， 俯侧宽相等 ， 排除 C， D.故选 B. 【点拨】 根据几何体的直观图画三视图 ， 要根据三视图的画法规则进行要严格按以下几点执行： 三视图的安排位置 ， 正视图、侧视图分别放在左、右两边 ， 俯视图放在正视图的下边 正俯长对正 ， 正侧高平齐 ， 俯侧宽相等 注意实虚线的区别 如图 ， 几何体的正视图与侧视图都正确的是 ( ) 解： 侧
13、视时 ， 看到一个矩形且不能有实对角线 ， 故 A、 D 排除而正视时 ， 有半个平面是没有的 ， 所以应该有一条实对角线 ， 且其对角线位置应为 B 中所示 故选 B. 类型三 空间多面体的直观图 已知几何体的三视图如图所示 ， 用斜二测画法画出它的直观图 (单位： cm) 解： 由三视图可知该几何体是底面边长为 2 cm， 高为 3 cm 的正六棱锥 ， 其直观图如图 所示 ， 画法如下： (1)画轴：画底面中心 O， 画 x轴 ， y 轴和 z轴 ， 使 x O y 45， x O z 90. (2)画底面：在水平面 xOy内画边长为 2 cm 正六边形的直观图 (3)画高线：在 Oz上
14、取点 P， 使 OP 3 cm. (4)成图：连接 PA， P B ， P C ， P D ， P E ， P F ， 去掉辅助线 ， 并将遮住部分改为虚线 ，就得到如图 所示的直观图 【点拨】 根据三视图可以确定一个几何体的长、宽、高 ， 再按照斜二测画法 ， 建立 x 轴、 y 轴、 z 轴 ， 使 xOy 45， xOz 90， 确定几何体在 x 轴、 y 轴、 z 轴方向上的长度 ， 最后连线画出直观图 平行于 x 轴和 z轴的线段长度不变 ， 平行于 y轴的线段 ， 长度为原来的一半 ， 且平行于轴的线段平行关系不变 原图形面积 S与其直观图面积 S之间的关系为 S 24 S. 已知
15、一个四棱锥的高为 3， 其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为 1 的正方形 ， 则此四棱锥的体积为 ( ) A. 2 B 6 2 C.13 D 2 2 解： 因为四棱锥的底面直观图是一个边长为 1 的正方形 ， 该正方形的对角线长为 2， 根据斜二测画法的规则 ， 原 图底面的底边长为 1， 高为直观图中正方形的对 角线长的两倍 ，即 2 2， 则原图底面积为 S 2 2.因此该四棱锥的体积为 V 13Sh 13 2 2 3 2 2.故选 D. 类型四 空间旋转体的直观图 一个圆台的母线长为 12 cm， 两底面面积分别为 4 cm2 和 25 cm2.求： (1)圆台的高；
16、 (2)截得此圆台的圆锥的母线长 解： (1)O1A1 2， OA 5， 所以圆台的高 h 122 32 3 15 cm. (2)由 SA 12SA 25， 得 SA 20 cm. 【点拨】 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等 几何体 ，注意抓住截面的性质 (与底面全等或相似 )，同时结合旋转体中的轴截面 (经过旋转轴的截面 )的几何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变量列方程求解 一个直角梯形上底、下底和高之比为 2 4 5， 将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台 ， 求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比 解： 由题意可设直角梯形上底、下底 和高为 2x， 4x，
17、5x， 它们分别为圆台的上、下底半径和高如图示 ，过点 B 作 BC OA 于 C， 则 Rt ABC 中 ， AC OA OC OA OB 4x 2x 2x， BC OO 5x， 所以 ABAC2 BC2 （ 2x） 2（ 5x） 2 3x.所以 S 上 S 下 S 侧 (2x)2 (4x)2 (2x 4x) 3x 2 8 9. 点拨 1 在研究圆柱、圆锥、圆台的相关问题时 ， 主要方法就是研究它们的轴截面 ， 这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系 2 建议对下列一些具有典型意义的重要空间图形的数量关系予以推证并适当记忆 (1)正多面体 正四面体就是棱长都
18、相等的三棱锥 ， 正六面体就是正方体 ， 连接正方体六个面的中心 ， 可得到一个正八面体 ， 正八面体 可以看作是由两个 棱长都相等的正四棱锥拼接而成 棱长为 a 的正四面体中： a 斜高为 32 a； b高为 63 a； c对棱中点连线长为 22 a； d 外接球的半径为 64 a， 内切球的半径为 612 a； e 正四面体的表面积为 3a2， 体积为 212 a3. 如图 ， 在棱长为 a 的 正方体 ABCDA1B1C1D1 中 ， 连接 A1B， BC1， A1C1， DC1， DA1， DB， 可以得到一个棱长为 2a 的正四面体 A1BDC1， 其体积为正方体体积的 13. 正方
19、体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体它们的相应轴截面如图所示 (正方体的棱长为 a， 球的半径为 R) (2)长方体的外接球 长、宽、高分别为 a， b， c 的长方体的体对角线长等于外接球的 直径 ， 即 a2 b2 c2 2R. 棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径 ， 即 3a 2R. 3 三视图的正 (主 )视图、侧 (左 )视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线 ， 主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度由此得到： 主 俯长对正 ，
20、主左高平齐，俯左宽相等 4 一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比 ， 有 “ 三变、三不变 ” 三变：坐标轴的夹角改变 ， 与 y 轴平行线段的长度改变 (减半 )， 图形改变 三不变：平行性不变 ， 与 x 轴平行的线段长度不变 ， 相对位置不变 5 对于直观图 ， 除了了解斜二测画法的规则外 ， 还要了解原图形面积 S 与其直观图面积 S之间联系： S 24S， 并能进行相关的计算 课时作业 1 一图形的投影是一条线段 ， 这个图形不可能是 ( ) 线段； 直线； 圆； 梯形； 长方体 A B C D 解： 线段、圆、梯形都是平面图形 ， 且在有限范围内 ， 投影都可能为线段；长
21、方体是三维空间图 形 ， 其投影不可能 是线段；直线的投影 ，只能是直线或点 故选 D. 2 下列命题： 若一个几何体的三视图是完全相同的 ， 则这个几何体是正方体； 若一个几何体的正视图和俯视图都是矩形 ， 则这个几何体是长方体； 若一个几何体的三视图都是矩形 ， 则这个几何体是长方体； 若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形 ， 则这个几何体是圆台 其中真命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解： 假命题 ， 也可以是球； 假命题 ， 也可以是横放的圆柱； 是真命题； 是假命题 ， 也可以 是棱台 故选 B. 3 四个正方体按如图所示的方式放置 ， 其中阴影部分为我们观察
22、的正面 ， 则该物体的三视图正确的为 ( ) 解： 正视图、侧视图、俯视图分别从几何体的正面、左边和上面正投影即可知 B 正确 故选 B. 4 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示 ， 则该几何体的俯视图不可能是 ( ) 解： D 选项的正视图应为如图所示的图形 故选 D. 5 某四面体的三视图如图所示 ， 该四面体四个面中面积最大的是 ( ) A 8 B 6 2 C 10 D 8 2 解： 由三视图可知 ， 该几何体的四个面都是直角三角形 ， 面积分别为 6， 6 2， 8， 10， 所以 面积最大的是10.故选 C. 6 如图 ， 正方形 OABC的边长为 1 cm， 它是 水平放置的
23、一个平面图形的直观图 ， 则原图形的周长是 ( ) A 8 cm B 6 cm C 2(1 3) cm D 2(1 2) cm 解： 根据直观图的画法可知 ， 在原几何图形中 ， OABC 为平行四边形 ， 且有 OB OA， OB 2 2， OA 1，所以 AB 3.从而原图的周长为 8.故选 A. 7 一个几何体的正视图为一个三角形 ， 则这个几何体可能是下列几何体中 的 _ (填入所有可能的几何体前的编号 ) 三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱 解： 三棱锥、四 棱锥和圆锥显然合要求 ，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，其余的正视图均不是三角形 故
24、填 . 8 有一枚正方体骰子 ， 每一个面都有一个英文字母 ， 如图所示的是从 3 种不同角度看同一枚骰子的情况 ，则与 H 相对的字母是 _ 解： 正方体的骰子共有 6 个面 ， 每个面都有 一个字母 ， 从每一个图 ， 都可 看到有公共顶点的三个面 ，与标有S 的面相邻的面共有四个 ， 由这三个图知这四个面分别标有字母 H， E， O， d， 翻转图 ， 使 S 面调整到正前面 ，则 O 为正下面 ， 所以与 H 相对的是 O.故填 O. 9 如图是截去一个角的长方体 ， 试按图示的方向画出其三视图 解： 图中几何体的三视图如图所示： 10 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥 ， 截得圆台上、下底面的面积之比为 1 16， 截去的圆锥的母线长是 3cm， 求圆台的母线长 解： 设圆台的母线长为 l， 截得圆台的上、下底面半径分别为 r， 4r. 根据相似三角形的性质得 ， 33 l r4r， 解得 l 9. 所以 ， 圆台的母线长为 9cm. 11 在四棱锥 P ABCD 中 ， 底面为正方形 ， PC 与底面 ABCD 垂直该四棱锥的正视图和侧视图如图所示 ，它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形
