1、 1 第一章 矢量分析 第一章 题 解 1-1 已 知 三 个 矢 量 分 别 为 zy eeeA x 32 ；zy eeeB x 23 ； zeeC x 2 。试求 | |,| |,| CBA ；单位 矢 量 cba eee , , ； BA ； BA ； CBA )( 及BCA )( ； BCA )( 及 CBA )( 。 解 14321 222222 zyx AAAA14213 222222 zyx BBBB 5102 222222 zyx CCCC zy eeeAAAe xa 3214114 zy eeeBBBe xb 2314114 zeeCCCe xc 2515 1623 zzyy
2、xx BABABABA zyzyzyxzyxzyBBBAAA eeeeeeeeeBA xxx5117213321 zyzyeeeeeeCBA xx223111025117 因 zyzyzyxzyxCCCAAA eeeeeeeeeCA xxxxx452102321 2 则 zyzyeeeeeeBCA xx1386213452 152131532 BCA 1915027 CBA 。 1-2 已知 0z 平面内的位置矢量 A 与 X 轴的夹角为 ，位置矢量 B 与 X 轴的夹角为 ，试证 s ins inc o sc o s)c o s ( 证明 由于两矢量位于 0z 平面内，因此均为 二维矢量，它
3、们可以分别表示为 s inc o s AA yeeA x s inc o s BB yeeB x 已知 c o sBABA ，求得 BA BABA s i ns i nc o sc o sc o s 即 s ins inc o sc o s)c o s ( 1-3 已 知 空 间 三 角 形 的 顶 点 坐 标 为 )2 ,1 ,0(1 P ，)3 ,1 ,4(2 P 及 )5 ,2 ,6(3P 。试问：该三角形是否是直角三角形；该三角形 的面积是多少？ 解 由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为 zy eeP 21 ； zyx eeeP 342 ； zyx eeeP 5263 那么，由顶点
4、 P1 指向 P2 的边矢量为 zeePP x 412 同理，由顶点 P2 指向 P3 的边矢量由顶点 P3 指向 P1 的边矢量分别为 zy eeePP x 8223 zy eeePP x 7631 3 因两个边矢量 0)()( 2312 PPPP ，意味该两个边矢量相互垂直，所以该三角形是直角三角形。 因 1714 2212 PP 69812 22223 PP ， 所以三角形的面积为 1 1 7 35.021 2312 PPPPS 1-4 已知矢量 xy yeeA x ，两点 P1 及 P2 的坐标位置分别为)1 ,1 ,(1 P及)1 ,2 ,8( 。若取 P1 及 P2 之间的抛物线2
5、2yx 或直线21为积分路径，试求线积分 12 dpp lA 。 解 积分路线为抛物线。已知抛物线方程为 22yx , yyx d4d ，则 142d6d2d4ddd 123222 12121212 yyyyyyyyxxy PPPPPPPP lA 积分路线为直线。因 1P , 2P 两点位于 1z 平面内，过 1P , 2P 两点的直线方程为 228 121 xy ，即 46 xy ，yx d6d ，则 14412d46d6d 1221212 yyyyyyPPPP lA 。 1-5 设标量 32 yzxy ，矢量 zy eeeA x 22 ，试求标量函数 在点)1 ,1 ,2( 处沿矢量 A
6、的方向上的方向导数。 解 已知梯度 222 3)2( yzzxyyzyx zyxzyx eeeeee 那么，在点)1 ,1 ,2( 处 的梯度为 zyx eee 33 4 因此，标量函数 在点)1 ,1 ,2( 处沿矢量 A 的方向上的方向导数为 13622233 zyxzyx eeeeeeA 1-6 试证式（ 1-5-11），式（ 1-5-12）及式（ 1-5-13）。 证明 式（ 1-5-11）为 ，该式左边为 zyx zy eee x zzyyxx zy eee x zyxzyx zyzy eeeeee xx 即， 。 根据上述复合函数求导法则同样可证式（ 1-5-12）和式（ 1-5-
7、13）。 1-7 已知标量函数 zeyx 3s in2s in ，试求该标量函数 在点 P(1,2,3)处的最大变化率及其方向。 解 标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。已知标量函数 的梯度为 zyx zy eee x那么 zyz eyxeyx 3c o s2s i n33s i n2c o s2 ee xzz eyx 3s in2s in e5 将点 P (1,2,3) 的坐标代入，得 33236 ee zyP ee 。那么，在 P 点的最大变化率为 2762 36 2333 eee zyP ee P 点最大变化率方向的方向余弦为 0cos ； 27c o s 2 ； 2727
8、cos 2 1-8 若标量函数为 zyxxyzyx 62332 222 试求在)1 ,2 ,1(P点处的梯度。 解 已知梯度zyx zy eee x，将标量函数 代入得 662432 zxyyx zy eee x 再将 P 点的坐标代入，求得标量函数 在 P 点处的梯度为 yP ee x 93 1-9 试证式（ 1-6-11）及式（ 1-6-12）。 证明 式（ 1-6-11）为 AA CC ，该式左边为 AA CzAyAxACCAzCAyCAxC zyxzyx即 AA CC 式（ 1-6-12）为 AAA ，该式左边为 zyx AzAyAx A zAzAyAyAxAxA zzyyxx 6 A
9、A ； 即 AAA 1-10 试求距离| 21 rr 在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式。 解 在直角坐标系中 21221221221 zzyyxx rr 在圆柱坐标系中，已知 cosrx ， sinry ， zz ，因此 212211222112221 s i ns i nc o sc o s zzrrrr rr 21212122122 c o s2 zzrrrr 在球坐标系中，已知 cossinrx , sinsinry , cosrz ,因此 211222111222211122221 c o sc o ss i ns i ns i ns i nc o ss i nc o ss i
10、 n rrrrrr rr 121212122122 c o sc o sc o ss i ns i n2 rrrr 1-11 已 知 两 个 位 置 矢 量 及 的 终 点 坐 标 分 别 为),( 111 r 及 ),( 222 r ，试证 1与 2之间的夹角 为 212121 c osc os)c os (s ins inc os 证明 根据题意，两个位置矢量在直角坐标系中可表示为 111111111 c o ss ins inc o ss in rrr zyx eeer 222222222 c o ss ins inc o ss in rrr zyx eeer 已知两个矢量的标积为 c
11、o s2121 rrrr ， 这里 为两个矢量的夹角。因此夹角 为 2121cos rr rr 式中 7 )c o sc o s s i ns i ns i ns i nc o ss i nc o s( s i n 21 221122112121 rrrr2121 rrrr 因此， 21212121212121 c o sc o s)c o s (s i ns i n c o sc o s)s i ns i nc o s( c o ss i ns i nc o s 1-12 试 求分 别满 足方 程式 0)(1 rrf 及 0)(2 rrf 的函数(1rf及 2f。 解 在球坐标系中，为了满足
12、 03 11111 rfr rfrrfrfrf rrr 即要求 03dd11 rfrrfr r rrf rf d3d 1 1 ，求得 Crrf lnln3ln 1 即 31 rCrf 在球坐标系中，为了满足 0222 rrr rfrfrf 由于 02 rrf ， 0 r ，即上式恒为零。故 rf2 可以 是 r 的任意函数。 1-13 试证式（ 1-7-11）及式（ 1-7-12）。 证明 式（ 1-7-11）为 AA CC （ C 为常数） 令 zyx eeeA zyx AAA ， zzyyxx CACACAC eeeA ，则 AeeeeeeA CAAAzyxCCACACAzyxCzyxzy
13、xzyxzyx 式（ 1-7-12）为 AAA 8 令 zyx eeeA zyx AAA ， zzyyxx AAA eee ，则 xyzzyxzyxAzAyAAAzyx eeeeA zxyyxz AyAxAzAx ee zxyyxzxyz AyAxAzAxAzAy eee zxyyxzxyz yAxAzAxAzAyA eee AA 若将式（ 1-7-12）的右边展开，也可证明。 1-14 试证 0 r ， 0 rr及 03 rr。 证明 已知在球坐标系中，矢量 A 的旋度为 ArrAArrrrrrs ins ins in2eeeA对于矢量 r ，因 rAr ， 0A ， 0A ，代入上式，且
14、因 r 与角度 ， 无关，那么，由上式获知 0 r 。 对于矢量 rr ，因 1rA ， 0A ， 0A ，显然 0 rr。 对于矢量3rr，因21rAr， 0A ， 0A ，同理获知 03 rr 。 1-15 若 C 为常数， A 及 k 为常矢量，试证： 9 rkrk k cc eCe ； rkrk AkA cc eCe )( ； rkrk AkA cc eCe )( 。 证明 证明 rkrk k CC eCe 。 利用公式 FF ，则 rkrk rkrkrk CCC CeCee 而 keeerk zzyyxxzyx kkkzkykxk 求得 rkrk k CC eCe 。 证明 rkrk
15、 AkA CC eCe 。 利用公式 AAA ，则 rkrkrkrk AAAA CCCC eeee 再利用 的结果，则 rkrk AkA CC eCe 证明 rkrk AkA CC eCe 。 利用公式 AAA ，则 AAAA rkrkrkrk CCCC eeee 再利用 的结果，则 rkrk AkA CC eCe 。 1-16 试证 rekrekrkr 22 ，式中 k 为常数。 证明 已 知在球坐标系中 22222222 s i n1s i ns i n11 rrrrrr则 rerrrrre krkr 222 1 krkr erkerrrr 222 11 10 krkr k reerr 2
16、1 krkr ekkrekr 112 rek kr 2 即 rekrekrkr 22 1-17 试证 2|21)()( EEEEE 证明 利用公式 ABBAABBABA 令上式中的 EBA ，则 EEEEEEEEE 22222 将上式整理后，即得 221 EEEEE 。 1-18 已知矢量场 F 的散度 )(rF q ，旋度 0 F ，试求该矢量场。 解 根据亥姆霍兹定理， rArrF ，其中 V V d41 rr rFr ； VV d41 rr rFrA 当 0 F 时，则 0rA ，即 rrF 。那么因rF q ，求得 rqVq V 4d41 rr rr 则 rrq errF 24 1-19 已知某点在圆柱坐标系中的位置为 3 ,32 ,4 ，试求该点在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的位置。 解 已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
