数字信号处理-原理与实践方勇习题答案。三章全.doc

1、第一章 数字信号处理基本概念 1-1 第一章 习 题 1-1 有一个连续信号 )2c o s ()( fttxa ，式中 Hzf 20 ， 2 ， （） 求出 )(txa 的周期； （） 用采样间隔 sT 02.0 对 )(txa 进行采样，写出采样信号 )( txa 的表达式； （） 画出对应 )( txa 的时域离散信号（序列） )(nx 的波形，并求出 )(nx 的周期。 解 ： （ 1） )(txa 的周期是 sfTa 05.01 （ 2） na nTtfn Ttx )()2c o s ()( n nTtnT )()40c os( （ 3） )(nx 的数字频率为 8.0 ， 252

2、周期 5N 。 )28.0c os ()( nnx ，画出其波形如 题 1-1 图 所示。 题 1-1 图 1-2 设 )sin()( ttxa ， ( ) ( ) s in ( )a s sx n x n T n T，其中 sT 为采样周期。 （ 1） )(txa 信号的模拟频率 为多少 ？ （ 2） 和 的关系是什么？ （ 3）当 sTs 5.0 时， )(nx 的数字频率 为多少 ？ 解 ： （ 1） )(txa 的模拟频率 srad/ 。 （ 2） 和 的关系是： sT 。 （ 3）当 sTs 5.0 时， rad 5.0 。 1-3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期

3、。 )n(x n0 2 4 1 3 5 695.0 95.059.0 59.0第一章 数字信号处理基本概念 1-2 （ 1） )873c o s ()( nAnx， A 为 常数； （ 2） )81()( njenx 。 解 ： （ 1） 73，3142 ，这是有理数，因此是周期序列，周期是 14T ； （ 2）81， 162 ，这是无理数，因此是非周期序列。 1-4 研究一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为指数序列 )()( nuanh n ， 10 a 。 对于矩阵输入序列， 1 , 0 1() 0N nNRn , 其 他 求出 输出序列，并用 MATLAB 计算，比较其结果。 分析： 输

4、入 )()( nRnx N ，线性时不变系统的输出等于输入序列与单位脉冲 响应的卷积，用公式表示为 k knhkxnhnxny )()()()()(为了 计算输出序列的第 n 个值，必须计算出乘积 )()( knhkx ，并将所得到的序列值相加。 解： 输出序列 k knhkxnhnxny )()()()()(可以分成三种情况来求解： （） 当 0n 时，由于 )( knh 和 )(kx 的非零取样互不重叠，因此 0)( ny 。 （） 当 10 Nn 时，从 0k 到 nk ， )( knh 和 )(kx 的非零取样值有重叠，因此 nkknk aknhkxny 0)()()(aaaaa nn

5、n 1111 11 1（） 当 1Nn 时， )( knh 和 )(kx 重叠的非零取样值从 0k 到 1Nk ，因此 1010 )()()( Nk knNk aknhkxny 11 )11(11 NnnNn aaaaaa第一章 数字信号处理基本概念 1-3 所以 110 , 01( ) , 0 111( ) , 11nnnNnay n n Naaa N na 利用 MATLAB 求其响应 ,程序如下： a=1/2; N=20; n=0:N-1; c=1; d=1 -a; x=ones(1,N); y=filter(c,d,x); stem(n,y); ylabel(y(n); 题 1-4 图

6、 输出 相应序列 ()yn 1-5 设 )()( nuanx n ， )1()()( 1 nuabnubnh nn ，求 )()()( nhnxny 。 解 ： az zzX )(， az bz azbz abz zzH )(， bz 所以， bz zzHzXzY )()()( ， bz 其 Z 反变换为 第一章 数字信号处理基本概念 1-4 )()()()()( 1 nubzYnhnxny n 显然，在 az 处， )(zX 的极点被 )(zH 的零点所抵消，如果 ab ，则 )(zY 的收敛域比 )(zX 与 )(zH 收敛域的重叠部分要大。 1-6 求下列序列的 Z 变换及其收敛域，并

7、用 MATLAB 画出零极点示意图。 （） 双边指数序列 nanx )( ， 01a； （） 正弦调制序列 )()c o s ()( 0 nunArnx n ， 10 r 。 解： （ 1）双边指数序列可写为 ,0() ,0nnanxn 其 Z 变换为 1101 1() 1n n n n n nn n nX z a z a z a zaz 21101 1 1 ( 1 )111 1 1 ( 1 ) ( )nnn zaaza z a z a z a z z a nanx )( ， 10 a 是一个双边序列，其收敛域为 1a z a 表示极点，极点为za ， a1 ，零点为 0z 。其极点、零点图如

8、图所示，图中 表示极点， 表示零点。 利用 MATLAB 画出其零极点 ，如 题 1-6 图 (a)所示 ： a=3; y=1-a*a; b=0 y 0; a=-a y -a; zplane(b,a); 第一章 数字信号处理基本概念 1-5 题 1-6 图 (a) 零极点图 （ 2） )(2)()cos()( )()(0 00 nueeArnunArnx njnjnn ， 10 r 我们将其分解为标准的指数序列形式，然后根据 Z 变换的求和定义式求得其对应的 Z变换、 收敛域并画出零极点图。 其 Z 变换为 00( ) ( )100( ) c o s ( ) 2j n j nn n n nnn

9、eeX z A r n z A r z 001 01 1 1 2 20c o s c o s( )112 ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 2 c o sjjjj A A rzAAeere z re z rz r z 收敛区域为 zr ，极点为 0jz re ， 0jre ，零点为 0z ， cos)cos( 0 r 。 其对应的零极点图如 题 1-6 图 所示。 利用 MATLAB 画出其零极点 ,如 题 1-6 图 (b)所示 ： A=1; r=1; w0=4*pi; w=2*pi; x=2*r*cos(w0); y=A*r*cos(w0-w); b=A*cos(w) -y ; a=1 -x

10、 r*r; zplane(b,a); 第一章 数字信号处理基本概念 1-6 题 1-6 图 (b) 零极点图 讨论 通常将正弦序列信号展开为两个基本复指数序列和或差的形式，然后按照 Z 变换定义式求起对应的 Z 变换和收 敛域。对于 Z 变换表达式可表示为等比级数和的形式的序列，其 Z 变换的收敛域是保证等比小于 1，如本例中要保证01 1jq z re ，可得收敛域为 zr 。 平 面a1 /a00 0jre cos )cos( 0 r 0 0jre题 1-6 图 零极点示意图 1-7 已知 ,0(),1nnanxn bn ， 求其 Z 变换及其收敛域。 并用 MATLAB 求解。 解 ：这

11、是一个双边序列，其 Z 变换为 nnnnnnnn zbzaznxzX 10)()(bz zaz zbzaz 11 1 11 1第一章 数字信号处理基本概念 1-7 )( )2( bzaz bazz ， bza MATLAB 求解程序如下： F=ztrans(sym(ak+bk) 结果为： F =- z/(a - z) - z/(b - z) 1-8 求 1125() 16zXz zz ,23z的逆 Z 变换 ， 并用 MATLAB 求解。 解： 由部分分式展开可得 1111() 1 2 1 3Xz zz, 因为 23z。所以得 20()( 3) 0nnnxn n MATLAB 求解： 程序如下

12、： syms k z; Fz=5*z/(z2+z-6); fk=iztrans(Fz,k) 运行结果： fk =2k - (-3)k 1-9 判断系统（ 1） nm mxny 0 )()(，（ 2） )()( nnxny 是否为时不变系统， 并利用 MATLAB 验证。 解： （ 1） 令输入为 )( 0nnx ，输出为000( ) ( ) ( )nmY n T x n n x m n 而 0()y n n 00 ( ) ( )nnm x m Y n ，所以系统是 时变的。 MATLAB 验证： 令 ( ) ( 1 ) 2 ( ) ( 1 )x n n n n ， 0 1n 程序如下： x=1

13、 2 1;n0=1;n=-1:1; x0=2 1;%x0为 x横坐标非负的值 y=cumsum(x0); Y=cumsum(x); subplot(3,2,1);stem(n,x); xlabel(n);ylabel(x(n);title(输入 );axis(-1,3,0,4); subplot(3,2,2);n=0:1;stem(n,y); xlabel(n);ylabel(y(n);title(输出 );axis(-1,3,0,4); subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,x); 第一章 数字信号处理基本概念 1-8 xlabel(n);ylabel(x(n-n0);ti

14、tle(输入 );axis(-1,3,0,4); subplot(3,2,5);n=0:2;stem(n,Y); xlabel(n);ylabel(Y(n);title(输出 );axis(-1,3,0,4); subplot(3,2,4);n=1:2;stem(n,y); xlabel(n);ylabel(y(n-n0);title(输出 );axis(-1,3,0,4); -1 0 1 2 3024nx(n)输入-1 0 1 2 3024ny(n)输出-1 0 1 2 3024nx(n-n0)输入-1 0 1 2 3024nY(n)输出-1 0 1 2 3024ny(n-n0)输出题 1-

15、9图 (a) 时变性验证 （ 2）令输入 )( 0nnx ，输出 00( ) ( ) ( )Y n T x n n n x n n 而 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )y n n n n x n n Y n ，所以系统为时变的。 MATLAB 验证： 令 ( ) ( 1 ) 2 ( 2 ) ( 3 )x n n n n ， 0 1n 程序如下： x=1 2 1;n0=1; for i=1:length(x) y(1,i)=i*x(1,i); end for i=1+n0:length(x) X(1,i+n0)=x(1,i); end for i=1+n0:length(x)+n0 y_

16、(1,i)=(i-n0)*x(1,i-n0); 第一章 数字信号处理基本概念 1-9 end for j=1:length(x) Y(1,j)=j*X(1,j); end subplot(3,2,1);n=1:3;stem(n,x); xlabel(n);ylabel(x(n);title(输入 );axis(0,4,0,6); subplot(3,2,2);stem(n,y); xlabel(n);ylabel(y(n);title(输出 );axis(0,4,0,6); subplot(3,2,3);n=1:4;stem(n,x_); xlabel(n);ylabel(x(n-n0);ti

17、tle(输入 );axis(0,4,0,6); subplot(3,2,5);stem(n,Y); xlabel(n);ylabel(Y(n);title(输出 );axis(0,4,0,6); subplot(3,2,4);n=1:4;stem(n,y_); xlabel(n);ylabel(y(n-n0);title(输出 ); axis(0,4,0,6);0 1 2 3 40246nx(n)输入0 1 2 3 40246ny(n)输出0 1 2 3 40246nx(n-n0)输入0 1 2 3 40246nY(n)输出0 1 2 3 40246ny(n-n0)输出题 1-9图 (b) 时

18、变性验证 1-10 利用 MATLAB 验证例题 1-27（ 1） 中的系统是否为线性时 不 变系统。 解 ： 令输入为 )( 0nnx ，则输出为 00( ) ( ) ( )Y n T x n n a x n n b ，而 第一章 数字信号处理基本概念 1-10 bnnaxnny )()( 00 ，所以 0( ) ( )y n n Y n ，系统为时不变系统。 又因为 1 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y n T p x n q x n a p x n q x n b 而 ， 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y n p y n q y n p

19、 a x n b q a x n b 2()Yn 所以 系统为非线性系统。 MATLAB 验证： a : 时变性验证：令 ( ) ( ) 2 ( 1 ) 3 ( 2 )x n n n n ， =1a ， 2b ， 0 1nk 程序如下 ： a=1;b=2;p=2;q=3;n0=1; x=1 2 3; y=a*x+b; for i=1:size(x,2) x_(1,i+n0)=x(1,i); y_2(1,i+n0)=y(1,i); end x_=zeros(1:n0),x_(n0+1:end); y_1=a*x_+b; y_1=zeros(1:n0),y_1(n0+1:end); subplot

20、(3,2,1);n=0:2;stem(n,x); xlabel(n);ylabel(x(n);title(输入 );axis(0,4,0,6); subplot(3,2,2);n=0:3;stem(n,x_); xlabel(n);ylabel(x(n-n0);title(输入 );axis(0,4,0,6); subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,y); xlabel(n);ylabel(y(n);title(输出 );axis(0,4,0,6); subplot(3,2,4);n=0:3;stem(n,y_1); xlabel(n);ylabel(Y(n);title(输出 );axis(0,4,0,6); subplot(3,2,5);n=0:3;stem(n,y_2); xlabel(n);ylabel(y(n-n0);title(输出 );axis(0,4,0,6);