1、新编物理基础学 (上、下册 )课后习题详细答案 王少杰，顾牡主编 第一章 1-1.质点运动学方程为： c os( ) sin( ) ,r a t i a t j btk 其中 a， b， 均为正常数，求质点速度和加速度与时间的关系式。 分析：由速度、加速度的定义，将运动方程 ()rt对时间 t 求一阶导数和二阶导数，可得到速度和加速度的表达式。 解： / s in ( ) c o s ( ) v d r d t a t i a t j b k 2/ c o s( ) sin ( )a d v d t a t i t j 1-2. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向
2、相反，大小与速度平方成正比，即 2/dd vv Kt ， 式中 K 为常量试证明电艇在关闭发动机后又行驶 x 距离时的速度为 0Kxv ve。 其中 是发动机关闭时的速度。 分析：要求 ()v vx可通过积分变量替 换 dxdvvdtdva ，积分即可求得。 证： 2dddddddd vxvvtxxvtv K Kdxv x xK0 dd10 vvv , Kx0lnvv0Kxv ve1-3一质点在 xOy 平面内运动，运动函数为 22 , 4 8x t y t 。（ 1）求质点的轨道方程并画出轨道曲线；（ 2）求 t = 1 s t = 2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 分析：将运动方程
3、x 和 y 的两个分量式消去参数 t，便可得到质点的轨道方程。写出质点的运动学方程 )(tr表达式。对运动学方程求一阶导、二阶导得 ()vt和 ()at，把时间代入可得某时刻质点的位置、速度、加速度。 解：（ 1）由 2,xt得：,2xt代入248yt可得：2 8yx，即轨道曲线。 画图略 （ 2）质点的位置可 表示为： 22 (4 8)r ti t j 由 /v dr dt则速度： 28v i tj 由 /a dv dt则加速度： 8aj 则：当 t=1s 时，有 2 4 , 2 8 , 8r i j v i j a j 当 t=2s 时，有 4 8 , 2 1 6 , 8r i j v i
4、 j a j 1-4一质点的运动学方程为 22( 1)x t y t ， x和 y 均以 m 为单位， t 以 s 为单位。（ 1）求质点的轨迹方程；（ 2）在 2ts时质点的速度和加速度。 分析同 1-3. 解：（ 1）由题意可知： x 0， y 0，由2xt，可得 tx,代入2( 1)yt整理得： 1yx，即轨迹方程 （ 2）质点的运动方程可表示为： 22( 1)r t i t j 则： / 2 2 ( 1 )v dr dt ti t j / 2 2a dv dt i j 因此 , 当 2ts时，有 24 2 ( / ) , 2 2 ( / )v i j m s a i j m s 1-5
5、一质点沿半径为 R 的圆周运动，运动学方程为20 12s v t bt，其中 v0， b 都是常量。（ 1）求 t 时刻质点的加速度大小及方向；（ 2）在何时加速度大小等于 b； （ 3）到加速度大小等于 b 时质点沿圆周运行的圈数。 分析：由质点在自然坐标系下的运动学方程 tss，求导可求出质点的运动速率 dtdsv，因而， dtdva ，2n va ， 00na a a n，22 naa ，当 ba时，可求出 t，代入运动学方程 tss，可求得 ba时质点运动的路程， Rs2即为质点运动的圈数。 解：（ 1）速率： 0dsv v btdt ，且dv bdt加速度：22 00 0 0 0()
6、v b td v va n b nd t R 则大小：222 2 2 0()n v b ta a a b R 方向： bRbtv 20tan （ 2）当 a=b 时，由可得：0vt b（ 3）当 a=b 时，0vt b，代入20 1 ,2s v t bt可得：202vs b则运行的圈数 2024vsN R bR1-6一枚从地面发射的火箭以 220ms的加速度竖直上升 0.5min 后，燃料用完，于是像一个自由质点一样运动，略去空气阻力，试求（ 1）火箭达到的最大高度；（ 2）它从离开地面到再回到地面所经过的总时间。 分析：分段求解： st 300 时， 220 sma，求出 v、 a； t 3
7、0s 时， ga 。求出 2()vt、2()xt。当 02v时，求出 t、 x，根据题意取舍。再根据 0x，求出总时间。 解：（ 1）以地面为坐标原点，竖直向上为 x 轴正方向建立一维坐标系，且在坐标原点时， t=0s，且 0.5min=30s 则：当 0 t 30s，由xx dva dt, 得 200 , 20 ( / )xtvx x xa dt dv a m s， 2 0 ( / ), 3 0 ( )xv t m s t s时， 1 600( / )v m s 由x dxdt，得13000xxv dt dx，则： 1 9000( )xm 当火箭未落地 , 且 t 30s,又有： 21 22
8、 2 230 , 9 .8 ( / )xtvx x xva d t d v a m s ， 则： 2 8 9 4 9 .8 ( / )xv t m s 且： 1230txx xv dt dx，则： 24 .9 8 9 4 1 3 4 1 0 ( )x t t m 当 2 0xv ，即 91.2( )ts时，由得， max 27.4x km （ 2）由（ 1）式，可知，当 0x时， 166( )ts， t 16(s) 30(s)（舍去） 1-7. 物体以初速度 120ms被抛出，抛射仰角 60，略去空气阻力，问（ 1）物体开始运动后的 1.5s 末，运动方向与水平方向的夹角是多少？ 2.5s 末
9、的夹角又是多少？（ 2）物体抛出后经过多少时间，运动方向才与水平成 45角？这时物体的高度是多 少 ?（ 3）在物体轨迹最高点处的曲率半径有多大？（ 4）在物体落地点处，轨迹的曲率半径有多大？ 分析：（ 1）建立坐标系，写出初速度 0v，求出 ()vt、 tan，代入 t 求解。 （ 2）由（ 1）中的 tan关系，求出时间 t；再根据 y方向的运动特征写出 ty，代入 t 求 y。 （ 3）物体轨迹最高点处， 0yv，且加速度2n va a g ，求出 。 （ 4）由对称性，落地点与抛射点的曲率相同 2cos vgan ，求出 。 解：以水平向右为 x 轴正向，竖直向上为 y 轴正向建立二维
10、坐标系 （ 1）初速度 000 2 0 c o s 6 0 2 0 sin 6 0 1 0 1 0 3 ( / )v i j i j m s ， 且加速度 29.8 ( / ),a j m s 则任一时刻： 1 0 (1 0 3 9 .8 ) ( / )v i t j m s 与水平方向夹 角有10 3 9. 8ta n 10 t 当 t=1.5(s)时， ta n 0 .2 6 2 , 1 4 4 1 当 t=2.5(s)时， ta n 0 .7 1 8 , 3 5 4 1 （ 2）此时 tan 1, 由得 t=0.75(s) 高度 22111 0 3 0 . 7 5 9 . 8 0 . 7
11、 5 1 0 . 2 3 ( )22yoy v t g t m （ 3）在最高处，21 0 ( / ) , 1 0 ( / ) ,n vv i m s v m s a g ， 则：2 10.2( )v mg（ 4）由对称性，落地点的曲率与抛射点的曲率相同。 由图 1-7 可知： c o s c o s xn va a g g v 210 4.9( / )20g m s2 400 82 ( )4. 9nv ma 1-8应以多大的水平速度 v 把一物体从高 h 处抛出， 才能使它在水平方向的射程为 h 的 n倍？ 分析：若水平射程 hnvt，由gth 21消去 t，即得 hv。 解：设从抛出到落地
12、需要时间 t 则，从水平方向考虑 vt hn，即 从竖直方向考虑21 ,2h gt消去 t， 则有： 22nv gh1-9汽车在半 径为 400m 的圆弧弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为 -110ms，切向加速度的大小为 -20.2ms。求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。 分析：由某一位置的 、 v求出法向加速度 na，再根据已知切向加速度 a求出 的大小和方向。 解：法向加速度的大小22 210 0.25 ( / ) ,400 n va m s 方向指向圆心 总加速度的大小 2 2 2 2 20 . 2 0 . 2 5 0 . 3 2 ( / ) na a a m s 如图
13、 1-9， ta n 0 .8 , 3 8 4 0 ,naa 则总加速度与速度夹角 9 0 1 2 8 4 0 1-10. 质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为 0v，与水平方向成 角求质点到达抛出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径（忽略空气阻力）已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为 2 / nav。 分析：运动过程中，质点的总加速度 ag。由于无阻力作用，所以回落到抛出点高度时 质点的速度大小 0vv，其方向与水平线夹角也是 。可求出 na，如图 1-10。再根据关系2 / nav求解。 解：切向加速度 aga sin 法向加速度 agan c
14、os 因 c o s 2022gaa nn vvv 1-11火车从 A 地由静止开始沿着平直轨道驶向 B 地， A， B 两地相距为 S。火车先以加速度a1作匀加速运动，当速度达到 v 后再匀速行驶一段时间，然后刹车，并以加速度大小为 a2作匀减速行驶，使之刚好停 在 B 地。求火车行驶的时间。 分析：做 v-t 图，直线斜率为加速度，直线包围面积为路程 S。 解：由题意，做 v-t 图（图 1-11） 则梯形面积为 S，下底为经过的时间 t， 12ta n , ta naa则： ( c o t c o t )2vS t t v v g ta v na0v图 1 -10 则： 121 1 1(
15、)2Stvv a a 1-12. 一小球从离地面高为 H 的 A 点处自由下落，当它下落了距离 h 时，与一个斜面发生碰撞，并以原速率水平弹出，问 h 为多大时，小球弹的最远？ 分析：先求出小球落到 A 点的小球速度，再由 A 点下落的距离求出下落时间，根据此时间写出小球弹射距离 l,最后由极植条件求出 h。 解：如图 1-12，当小球到达 A 点时 ，有2 2v gh则速度大小： 2v gh, 设从 A 点落地的时间为 t，则有212H h gt， 则2( )Hht g小球弹射的距离， 22 ( ) 2 l v t H h h h H h 则当12hH时， 有最大值。 1-13离水面高为 h
16、 的岸上有人用绳索拉船靠岸，人以恒定速率 v0拉绳子，求当船离岸的距离为 s 时，船的速度和加速度的大小。 分析：收绳子速度和船速是两个不同的概念。小船速度的方向为水平方向，由沿绳的分量与垂直绳的分量合成，沿绳方向的收绳的速率恒为 0v。可以由 0v求出船速 v和垂直绳的分量 1v。再根据21n va 关系，以及 na与 关系求解 a。 解：如图 1-13， 20vv 船速 2 sec 当船离岸的距离为 s 时， 22 00 1 2, ta n vhshv v v vss 则，22112 2 2 2c o snvv sa a as h s h 即：2203vha s 1-14. A 船以 -1
17、30kmh的速度向东航行， B 船以 -145kmh的速度向正北航行，求 A 船上的人观察到的 B 船的速度和航向。 分析：关于相对运动，必须明确研究对象和参考系。同时要明确速度是相对哪个参照系而言。画出速度矢量关系图求解。 解：如图 1-14， 3 0 ( / ) , 4 5 ( / )ABv i k m h v j k m h B 船相对于 A 船的速度 4 5 3 0 ( / ) B A B Av v v j i k m h 则速度大小： 22 54.1 ( / ) B A B Av v v k m h 方向： arcta n 5 6 .3 BAvv，既西偏北 56.3 1-15. 一个
18、人骑车以 -118kmh的速率自东向西行进时，看见雨滴垂直落下，当他 的速率增加至 -136kmh时，看见雨滴与他前进的方向成 120角下落，求雨滴对地的速度。 分析：相对运动问题，雨对地的速度不变，画速度矢量图由几何关系求解。 解：如图 1-15， rv为雨对地的速度， 12,ppvv分别为第一次，第二次人对地的速度， 12,r p r pvv分别为第一次，第二次雨对人的速度 120由三角形全等的知识，可知： 1 8 0 1 2 0 6 0 三角形 ABC 为正三角形，则： 2 36( / )rpv v km h，方向竖直向下偏西 30。 1-16 如题图 1 16 所示，一汽车在雨中以速率
19、 1v沿直线行驶，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向向车后方 角，速率为 2v，若车后有一长方形物体，问车速为多大时，此物体刚好不会被雨水淋湿？ 分析：相对运动问题，画矢量关系图，由几何关系可解。 解：如图 1-16（ a），车中物体与车蓬之间的夹角 arctanlh若 ，无论车速多大，物体均不会被雨水淋湿 若 ，则图 1-16（ b） 则有 | | | | | |v B C A C A B 车 = s in s in c o s ta n s inv v v v 雨 雨 雨雨 对 车 又 2vv雨 则： 2c o s( sin )lvv h 车1-17，渔人在河中乘舟逆流航行，经过某桥下时，一只
20、水桶落入水中， 0.5h 后他才发觉，即回头追赶，在桥下游 5.0km 处赶上，设渔人顺流及逆流相对水划行速率不变，求水流速率。 分析：设静水中船、水的速率分别为 1 2 1 2, ( )v v v v，从桶落水开始记时，且船追上桶时为 t时刻。 取水速的反方向为正方向，则顺水时，船的速率为 12v v v，逆水时船的速率为12v v v,做 -t 图，见图 1-17 解： ABDC DEGFSS即： 1 2 2 2 1 2( ) ( ) 0 . 5 ( ) ( ) ( 0 . 5 )v v v v v v t 则： 1.0()th 又： 2 5.0vt 则：水流速率 2=5.0(km/h)v
21、 1-18一升降机以 2g 的加速度从静止开始上升，在 2.0s 末时有一小钉从顶板下落，若升降机顶板到底板的距离 h=2.0m，求钉子从顶板落到底板的时间 t, 它与参考系的选取有关吗？ 分析：选地面为参考系，分别列出螺钉与底板的运动方程，当螺丝落到地板上时，两物件的位置坐标相同，由此可求解。 解：如图 1-18 建立坐标系， y 轴的原点取在钉子开始脱落 时升降机的底面处，此时，升降机、钉子速度为 ov,钉子脱落后对地的运动方程为： 21 12oy h v t gt 升降机底面对地的运动方程为： 22 1 22 oy v t gt且钉子落到底板时，有 12yy，即 0.37( )ts t与
22、参考系的选取无关。 第二章 2-1 分析：用隔离体法，进行受力分析，运用牛顿第二定律列方程。 解：以 m、 M 整体为研究对象，有： ()F m M a 以 m 为研究对象，如图 2-1（ a），有 MmF F ma 由、，有相互作用力大小 MmMFF mM 若 F 作用在 M 上，以 m 为研究对象， 如图 2-1（ b）有 MmF ma 由、，有相互作用力大小 MmmFF mM ，发生变化。 2-2. 分析：由于轻滑 轮质量不计，因此滑轮两边绳中的张力相等，用隔离体法进行受力分m （ a） MmFm F m （ b） MmFm 析，运用牛顿第二定律列方程。 解：取向上为正，如图 2-2，分
23、别以 M1、 M2和 m 为研究对象， 有： 1 1 1T M g M a 2 2 2( ) ( )M m g T M m a 2 Mm mg maF 又： T1=T2，则： 2MmF =1122MmgM M m当 M1=M2= 4m， 289Mm mgF 当 M1=5m, M2=3m, 2109Mm mgF ，发生变化。 2-3.分析：用隔离体法受力分析，运用牛顿第二定律列方程。 解：f为空气对气球的浮力，取向上为正。 分别由图 2 3（ a）、 (b)可得： MaMgf 1)()( amMgmMf 则 Mm gamaaaMm mgMaa 11 , 2-4分析：用隔离体法 受力分析，人站在底
24、板上静止不动，底板、人受的合力分别为零 . 解：设底板、人的质量分别为 M， m， 以向上为正方向，如图 2-4（ a）、 (b)， 分别以底板、人为研究对象， 则有： 12 0T T F Mg 3 0T F mg F 为人对底板的压力， 为底板对人的弹力。 F= 又： 2 3 112T T T则 23 () 2 4 5 ( )4M m gT T N 由牛顿第三定律，人对绳的拉力与 3T是一对 作用力与反作用力，即大小相等，均为 245（ N）。 2-5分析：加斜向下方向的力，受力分析，合力为零。 解：如图 2 5，建坐标系，以沿斜面向上为正方向。在 mg与 N所在的平面上做力 F，且0 2（
25、若 2 ，此时 F 偏大） 则 ： c o s sin 0F m g f fNsi n c o s 0N F m g 则有：2( c o s s in ) ( c o s s in ) 1, a r c ta ns in c o s 1 s in ( )m g m gF 即： m in2( c o s s in ) a r c ta n1mgF , 此时 2 2-6. 分析：利用牛顿定律、运动方程求向上滑动距离。停止滑动时合力为零。 解：由题意知： ant 向上滑动时， mamgmg co ssi n aS220 v 联立求解得 )sin4/(20 gS v 当它停止滑动时，会静止，不再下滑 2-7. 分析：要满足条件，则 F 的大小至少要使水 平方向上受力平衡。 解：如图 2 7， c os ( sin )F f N m g F 2 1( a r c ta n )1 s in ( )mgF 当 sin( ) 1 14 .0 8 N min 2mg时 , F = 1+ 2 8. 分析：垂直方向的力为零，水平方向的力提供向心力。先求速度，再求周期讨论。 证：设两个摆的摆线长度分别为 1l和 2l，摆线与竖直轴之间的夹角分别为 1和 2，摆线中的张力分别为 1F和 2，则
