1、 专题突破(一) 填空压轴题型 规律探究性问题的解答需要学生经历观察、分析、归纳、概括、推理、检验等一系列探索活动，对学生的“数感”提出较高要求新定义题型就是指通过试题提供的新定义、新规则、新概念、新材料来创设新情景，提升类比迁移等综合素质因此，这两个考点成为北京市中考填空题压轴题的热点20122015 年北京中考知识点对比题型年份 2012 2013 2014 2015填空 探究式的规律 定义新运算，探 究规律 函数综合循环规 律 尺规作图的理论 依据12015 北京 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线已知：线段 AB.图 Z11求作：线段 AB 的
2、垂直平分线小芸的作法如下：如图，图 Z12(1)分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点；12(2)作直线 CD.所以直线 CD 就是的所求作的垂直平分线老师说：“小芸的作法正确 ”请回答：小芸的作图依据是_22014 北京 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P(x，y)，我们把点 P(y1，x1) 叫做点 P 的伴随点，已知点 A1 的伴随点为 A2，点 A2 的伴随点为 A3，点 A3 的伴随点为 A4，这样依次得到点A1，A 2，A 3， A4，若点 A1 的坐标为(3，1)，则点 A3 的坐标为_，点 A2014 的坐标为_；若点 A1
3、的坐标为(a，b) ，对于任意正整数 n，点 An均在 x 轴上方，则 a，b 应满足的条件为_32013 北京 如图 Z13，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：tx1，双曲线 y .在 l1x上取点 A1，过点 A1 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B1，过点 B1 作 y 轴的垂线交 l 于点 A2，请继续操作并探究：过点 A2 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B2，过点 B2 作 y 轴的垂线交 l 于点 A3，这样依次得到 l 上的点 A1，A 2，A 3， ，A n，.记点 An的横坐标为 an，若 a12，则 a2_，a 2013_；若要将上述操作无限次地进行下去，则 a1
4、不能取的值是_图 Z1342012 北京 在平面直角坐标系 xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知点A(0， 4)，点 B 是 x 轴正半轴上的整点，记AOB 内部( 不包括边界) 的整点个数为 m.当 m3 时，点 B 的横坐标的所有可能值是_；当点 B 的横坐标为 4n(n 为正整数) 时，m_(用含 n 的代数式表示)图 Z1452011 北京 在下表中，我们把第 i 行第 j 列的数记为 ai，j (其中 i，j 都是不大于 5 的正整数) ，对于表中的每个数 ai，j 规定如下：当 ij 时，a i，j 1；当 ij 时， ai，j 0.例如：当 i2，j 1 时，a
5、 i，j a 2，1 1.按此规定，a1，3 _；表中的 25 个数中，共有_个 1；计算a1，1 ai，1 a 1，2 ai，2 a 1，3 ai，3 a 1，4 ai，4 a 1，5 ai，5 的值为_a1，1 a1，2 a1，3 a1，4 a1，5a2，1 a2，2 a2，3 a2，4 a2，5a3，1 a3，2 a3，3 a3，4 a3，5a4，1 a4，2 a4，3 a4，4 a4，5a5，1 a5，2 a5，3 a5，4 a5，5一、与数与式有关的规律探究12015 朝阳一模 一组按规律排列的式子： ， ， ， ， ，其中第 7 个式子是2a 5a210a3 17a426a5_，第
6、 n 个式子是_( 用含 n 的式子表示，n 为正整数) 二、与图形有关的规律探究22015 西城一模 如图 Z15，数轴上点 A 的初始位置表示的数为 1，现点 A 做如下移动：第 1次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 A1，第 2 次从点 A1 向右移动 6 个单位长度至点 A2，第 3 次从点 A2 向左移动 9 个单位长度至点 A3，按照这种移动方式进行下去，点 A4 表示的数是_，如果点 An与原点的距离不小于 20，那么 n 的最小值是_图 Z1532014 延庆县一模 如图 Z16，点 E，D 分别是正三角形 ABC、正四边形 ABCM、正五边形ABCMN 中以 C 点为顶点
7、的一边延长线和另一边延长线上的点，且 BECD，DB 的延长线交 AE 于点 F，则图中AFB 的度数为_；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正 n 边形” ，其他条件不变，则AFB 的度数为_( 用含 n 的代数式表示，其中，n3 且 n 为整数)图 Z1642014 昌平区一模 已知：四边形 ABCD 的面积为 1.如图 Z17，取四边形 ABCD 各边的中点，则图中阴影部分的面积为_；如图 Z17，取四边形 ABCD 各边的三等分点，则图中阴影部分的面积为_；取四边形 ABCD 各边的 n(n 为大于 1 的整数) 等分点，则图中阴影部分的面积为_图 Z17三、平面直角坐标系
8、中的规律探究52014 石景山一模 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：yx，作 A1(1，0) 关于直线 yx 的对称点 B1，将点 B1 向右平移 2 个单位得到点 A2；再作 A2 关于直线 yx 的对称点 B2，将点 B2 向右平移2 个单位得到点 A3；.请继续操作并探究：点 A3 的坐标是_，点 B2014 的坐标是_62015 房山一模 如图 Z18，在平面直角坐标系中放置了 5 个正方形，点 B1(0，2) 在 y 轴上，点 C1， E1，E 2，C 2，E 3，E 4，C 3 在 x 轴上，C 1 的坐标是(1 ，0) ，B 1C1B 2C2B 3C3.则点 A1 到
9、 x 轴的距离是_，点 A2 到 x 轴的距离是_，点 A3 到 x 轴的距离是_图 Z1872015 东城一模 在平面直角坐标系 xOy 中，记直线 yx1 为 l.点 A1 是直线 l 与 y 轴的交点，以 A1O 为边作正方形 A1OC1B1，使点 C1 落在 x 轴正半轴上，作射线 C1B1 交直线 l 于点 A2，以 A2C1 为边作正方形 A2C1C2B2，使点 C2 落在 x 轴正半轴上，依次作下去，得到如图 Z19 所示的图形则点 B4 的坐标是_，点 Bn的坐标是_图 Z1982014 丰台一模 如图 Z110，已知直线 l：y x，点 A1 坐标为(0，1) ，过点 A1
10、作 y 轴的垂线33交直线 l 于点 B1，以原点 O 为圆心，OB 1 长为半径画弧交 y 轴于一点 A2；再过点 A2 作 y 轴的垂线交直线l 于点 B2，以原点 O 为圆心，OB 2 长为半径画弧交 y 轴于点 A3，按此作法进行下去，点 A4 的坐标为(_，_)；点 An的坐标为(_，_)图 Z11092014 顺义一模 如图 Z111，所有正三角形的一边平行于 x 轴，一顶点在 y 轴上从内到外，它们的边长依次为 2，4，6，8，顶点依次用 A1，A 2，A 3，A 4，表示，其中 x 轴与边 A1A2，边 A1A2与 A4A5，A 4A5 与 A7A8，均相距一个单位长度，则顶点
11、 A3 的坐标为_，A 31 的坐标为_，A 3n2 (n 为正整数 )的坐标为_图 Z111102014 通州一模 如图 Z112，在反比例函数 y (x0) 的图象上，有点4xP1，P 2，P 3，P 4，P n(n 为正整数，且 n1)，它们的横坐标依次为 1，2，3，4，n(n 为正整数，且 n1) 分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线，连接相邻两点，图中所构成的阴影部分 (近似看成三角形)的面积从左到右依次为 S1，S 2，S 3，S n1 (n 为正整数，且 n2) ，那么S1S 2S 3_，S 1S 2S 3S 4S n1 _(用含有 n 的代数式表示) 图 Z11211201
12、4 燕山一模 如图 Z113，在平面直角坐标系中，已知点 P0 的坐标为(1，0)，将线段 OP0绕点 O 按顺时针方向旋转 45，再将其长度伸长为 OP0 的 2 倍，得到线段 OP1；又将线段 OP1 绕点 O 按顺时针方向旋转 45，再将其长度伸长为 OP1 的 2 倍，得到线段 OP2，这样依次得到线段OP3，OP 4， ，OP n.则点 P2 的坐标为_；当 n4m1( m 为自然数)时，点 Pn的坐标为_图 Z113122014 西城一模 如图 Z114，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1，0)，B(2，0) ，正六边形ABCDEF 沿 x 轴正方向无滑动滚动，当点 D 第一
13、次落在 x 轴上时，点 D 的坐标为_；在运动过程中，点 A 的纵坐标的最大值是_；保持上述运动过程，经过点(2014， )的正六边形的顶点是3_图 Z114132015 东城二模 如图 Z115 ，已知 A1，A 2，A n，A n1 在 x 轴上，且OA1A 1A2A 2A3A nAn1 1，分别过点 A1，A 2， ，A n，A n1 作 x 轴的垂线交直线 yx 于点B1，B 2，B n，B n1 ，连接 A1B2，B 1A2，A 2B3，B 2A3， ，A nBn1 ，B nAn1 ，依次相交于点P1，P 2，P 3， ，P n，A 1B1P1，A 2B2P2，A nBnPn的面积依
14、次记为 S1，S 2，S n，则S1 _，S n_图 Z115四、定义新运算142014 东城一模 现定义运算“” ，对于任意实数 a，b，都有 aba 23ab，如：353 2335，根据定义的运算求 2(1) _ 若 x26，则实数 x 的值是_152015 燕山一模 定义：对于任意一个不为 1 的有理数 a，把 称为 a 的差倒数，如 2 的差倒11 a数为 1，1 的差倒数为 .记 a1 ，a 2 是 a1 的差倒数，a 3 是 a2 的差倒数，a 4 是 a3 的11 2 11 （ 1） 12 12差倒数，依此类推，则 a2_，a 2015_162015 海淀一模 若三角形的某一边长
15、等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角已知ABC 是等径三角形，则等径角的度数为_172014 海淀一模 在一次数学游戏中，老师在 A，B，C 三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为 a0，b 0，c 0，记为 G0( a0，b 0，c 0)游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个( 若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果)，记为一次操作若三个盘子中的糖果数都相同，则游戏结束n 次操作后的糖果数记为 Gn( an，b n，c n)(1)若 G
16、0(4 ，7，10)，则第_次操作后游戏结束；(2)小明发现：若 G0(4，8，18) ，则游戏永远无法结束，那么 G2014_182015 海淀模拟 对于正整数 n，定义 F(n) ，其中 f(n)表示 n 的首位数字、末n2， n10f（n）， n 10)位数字的平方和例如：F(6)6 236，F(123)f 123 210.(123)规定 F1(n)F (n)，F k1 (n)F( Fk(n)(k 为正整数)例如： F1 F 10，F 2(123)F( F1(123)(123) (123)F (10)1.(1)求：F 2(4)_，F 2015(4)_；(2)若 F3m(4)89，则正整数
17、 m 的最小值是_192015 海淀二模 五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向(横向、竖向或者是斜着的方向)上连成五子者为胜如图 Z116，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图观察棋盘，以点 O 为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子 A 的坐标为(7 ，5)，则白子 B 的坐标为_；为了不让白方在短时间内获胜，此时黑方应该下在坐标为_的位置处图 Z116参考答案北京真题体验1.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线2(3，1) (0 ，4
18、) 1a1 且 0b2解析 A 1 的坐标为 (3，1)，A 2(0，4) ，A 3(3，1)，A 4(0，2)，A 5(3，1) ，依此类推，每 4 个点为一个循环组依次循环，201445032，点 A2014 的坐标与 A2 的坐标相同，为(0，4) ；点 A1 的坐标为(a，b) ，A 2(b1， a1) ，A 3(a，b2)，A 4(b1，a1)，A 5(a，b) ，以此类推，每 4 个点为一个循环组依次循环，对于任意的正整数 n，点 An均在 x 轴上方， a 1 0， a 1 0， ) b 2 0，b 0， )解得1a1，0b2.3 0，1 解析 当 a12 时，B 1 的纵坐标为
19、 b1 ，32 13 12B1 的纵坐标和 A2 的纵坐标相同，则 A2 的横坐标为 a2 ，32A2 的横坐标和 B2 的横坐标相同，则 B2 的纵坐标为 b2 ，23B2 的纵坐标和 A3 的纵坐标相同，则 A3 的横坐标为 a3 ，13A3 的横坐标和 B3 的横坐标相同，则 B3 的纵坐标为 b33，B3 的纵坐标和 A4 的纵坐标相同，则 A4 的横坐标为 a42，A4 的横坐标和 B4 的横坐标相同，则 B4 的纵坐标为 b2 ，12即当 a12 时，a 2 ，a 3 ，a 42，a 5 ，32 13 32b1 ，b 2 ，b 33，b 4 ，b 5 ，12 23 12 23 67
20、1，a 2013a 3 ；20133 13点 A1 不能在 y 轴上(此时找不到 B1)，即 x0，点 A1 不能在 x 轴上(此时 A2 在 y 轴上，找不到 B2)，即 yx10，解得 x1.综上可得 a1 不可取 0，1.43 或 4 6n3 解析 如图：当点 B 在(3 ，0)点或(4，0)点时， AOB 内部( 不包括边界 )的整点为点(1，1) ，(1，2)，(2 ，1)，共三个点，所以当 m3 时，点 B 的横坐标的所有可能值是 3 或 4.当点 B 的横坐标为 8 时，n2，AOB 的内部(不包括边界 )的整点个数 m9.（42 1 2）3 32当点 B 的横坐标为 12 时，
21、n3，AOB 的内部(不包括边界 )的整点个数 m15.（43 1 2）3 32所以当点 B 的横坐标为 4n(n 为正整数) 时，m 6n3.（4n 1 2）3 3250 15 1 解析 由题意当 ij 时，a i，j 0，当 ij 时，a i，j 1；由图表中可以很容易知道等于1 的数有 15 个由题意，很容易发现，从 i 与 j 之间大小关系分析：当 ij 时，a i，j 0；当 ij 时，a i，j 1，a 1，1 ai，1 a 1，2 ai，2 a 1，3 ai，3 a 1，4 ai，4 a 1，5 ai，5 1100001.北京专题训练一、与数与式有关的规律探究1. (1) n1
22、解析 观察分母的变化为 a 的 1 次幂、2 次幂、3 次幂、n 次幂；分子50a7 n2 1an的变化为：2，5，10，17，n 21；分式符号的变化为：，(1) n1 . (1) 2 ，2a 12 1a1 (1) 3 ，5a2 22 1a2(1) 4 ，10a3 32 1a3第 7 个式子是 ，50a7第 n 个式子为：(1) n1 .n2 1an二、与图形有关的规律探究27 13 解析 序号为奇数的点在点 A 的左边，各点所表示的数依次减少 3，序号为偶数的点在点 A 的右侧，各点所表示的数依次增加 3，于是可得到 A13 表示的数以及 A12 表示的数，则可判断 An与原点的距离不小于
23、 20 时 n 的最小值第 1 次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 A1，则 A1 表示的数为 132；第 2 次点 A1 向右移动 6 个单位长度至点 A2，则 A2 表示的数为264；第 3 次点 A2 向左移动 9 个单位长度至点 A3，则 A3 表示的数为 495；第 4 次点 A3 向右移动 12 个单位长度至点 A4，则 A4 表示的数为5127.第 5 次点 A4 向左移动 15 个单位长度至点 A5，则 A5 表示的数为 7158；则点 A7 表示的数为8311，点 A9 表示的数为11314，A 11 表示的数为14317，A 13 表示的数为17320，A6 表示的数为
24、 7310，A 8 表示的数为 10313，A 10 表示的数为 13316，A 12 表示的数为16319，所以如果点 An与原点的距离不小于 20，那么 n 的最小值是 13.360 解析 (1)在中的正三角形 ABC 中，ABBC，ABC ACB60，（n 2） 180nABE BCD120，又BECD，ABE BCD，ED，又FBE CBD，AFB EFBE DCBDACB60.由以上不难得到中AEBBDC，进一步证出中BEFBDC，得出，中AFB 的度数等于DCB90，同理可得中AFB 度数等于BCM108.(2)由正三角形、正四边形、正五边形时，AFB 的度数分别为 60，90，1
25、08，可得出正 n 边形中，其他条件不变，则AFB 的度数为 .（n 2）180n4. 1 解析 如图，连接 AC，BD.12 79 2n2点 A1，D 1 是边 AB，AD 的中点，A 1，D 1 是ABD 的中位线，A 1D1BD ，A 1D1 BD，12AA 1D1 ABD， ，S AA1D1S ABD (A1D1BD)214SAA 1D1 SAB D.14同理，SCB 1C1 SBCD ，SBA 1B1 SABC ，SDD 1C1 SACD ，14 14 14S 阴影 S 四边形 ABCD(SAA 1D1SCB 1C1SBA 1B1SDD 1C1)1 (SABD S BCD S 14A
26、BC SACD )1 S 四边形 ABCD1 .24 12 12如图同理可得 S 阴影 1 (SABC S BCD S ABC S ACD )1 S 四边形 ABCD1 .19 29 29 79当取四边形 ABCD 各边的 n(n 为大于 1 的整数) 等分点时，则S 阴影 1 (SABD S BCD S ABC S ACD )1 S 四边形 ABCD1 .1n2 2n2 2n2三、平面直角坐标系中的规律探究5(3，2) (2013，2014) 解析 根据题意画出图象，进而得出各点坐标变化规律进而得出答案如图所示：点 A3 的坐标是(3，2) ，B 1(0，1) ，B 2(1，2)，B 3(2
27、， 3)，B 点横坐标比纵坐标小 1，点 B2014 的坐标是：(2013， 2014)故答案为：(3，2)，(2013 ，2014) 63 32 347(15，8) (2 n1，2 n1 ) 解析 根据一次函数，得出点 A1，A 2 的坐标，继而得知 B1，B 2 等点的坐标，从中找出规律，进而可求出 Bn的坐标把 x0 代入 yx 1，可得 y1，所以可得点 B1 的坐标是(1， 1)把 x1 代入直线 yx 1，可得 y2，所以可得点 B2 的坐标是(3， 2)，同理可得点 B3 的坐标是(7， 4)；点 B4 的坐标是(15，8)；由以上得出规律是 Bn的坐标为(2 n1，2 n1 )
28、点评 本题考查了正方形的性质，解此题的关键是根据一次函数的图象上点的坐标得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目80 8 0 2 n1 解析 已知直线 y x，点 A1 坐标为 (0，1)，过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于33点 B1，可知 B1 点的坐标为( ，1)，3以原点 O 为圆心，OB 1 长为半径画弧交 y 轴于点 A2，OA 2OB 12OA 12，点 A2 的坐标为(0，2)，这种方法可求得 B2 的坐标为(2 ，2)，3故点 A3 的坐标为(0，4) ，点 A4 的坐标为(0，8)，此类推便可求出点 An的坐标为(0，2 n1 )9(0，1 ) ( 11，11) ( n，n) 解析 从内到外，它们的边长依次为 2，4，6，8，顶3点依次用 A1，A 2，A 3，A 4， 表示，其中 x 轴与边 A1A2，边 A1A2 与 A4A5，A 4A5 与 A7A8，均相距一个单位长度，
