1、 专题突破 (一 ) 填空压轴题型 规律探究性问题的解答需要学生经历观察、分析、归纳、概括、推理、检验等一系列探索活动 ， 对学生的 “ 数感 ” 提出较高要求 新定义题型就是指通过试题提供的新定义 、新规则、新概念、新材料来创设新情景，提升类比迁移等综合素质 因此 ， 这两个考点成为北京市中考填空题压轴题的热点 2012 2015 年北京中考知识点对比 题型 年份 2012 2013 2014 2015 填空 探究式的规律 定义新运算 ， 探究规律 函数综合循环规 律 尺规作图的理论 依据 1 2015北京 阅读下面材料： 在数学课上 ， 老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段的垂直平分线
2、 已知：线段 AB. 图 Z1 1 求作：线段 AB 的垂直平分线 小芸的作法如下： 如图 ， 图 Z1 2 (1)分别以点 A 和点 B 为圆心 ， 大于 12AB 的长为半径作弧 ， 两弧相交于 C， D 两点； (2)作直线 CD. 所以直线 CD 就是的所求作的垂直平分线 老师说： “ 小芸的作法正确 ” 请回答：小芸的作图依据是 _ 2 2014北京 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 对于点 P(x， y)， 我们把点 P( y 1， x 1)叫做点 P 的伴随点 ， 已知点 A1的伴随点为 A2， 点 A2的伴随点为 A3， 点 A3的伴随点为 A4， 这样依次得到点 A1， A2
3、，A3 ， A4 ， 若点 A1的坐标为 (3， 1)， 则点 A3的坐标为 _， 点 A2014的坐标为 _；若点 A1的坐标为 (a， b)， 对于任意正整数 n， 点 An均在 x 轴上方 ， 则 a， b 应满足的条件为 _ 3 2013北京 如图 Z1 3， 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 已知直线 l： t x 1， 双曲线 y 1x.在 l 上取点 A1， 过点 A1作 x 轴的垂线交双曲线于点 B1， 过点 B1作 y 轴的垂线交 l 于点 A2， 请继续操作并探究：过点 A2作 x 轴的垂线交双曲线于点 B2， 过点 B2作 y 轴的垂线交 l 于点 A3， ， 这样依次得
4、到 l 上的点 A1，A2， A3， ， An， .记点 An的横坐标为 an， 若 a1 2， 则 a2 _， a2013 _；若要将上述操作无限次地进行下去 ， 则 a1不能取 的值是 _ 图 Z1 3 4 2012北京 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点 ， 已知点 A(0，4)， 点 B 是 x 轴正半轴上的整点 ， 记 AOB 内部 (不包括边界 )的整点个数为 m.当 m 3 时 ， 点 B 的横坐标的所有可能值是 _；当点 B 的横 坐标为 4n(n 为正整数 )时 ， m _(用含 n 的代数式表示 ) 图 Z1 4 5 2011北京 在下表
5、中 ， 我们把第 i 行第 j 列的数记为 ai， j(其中 i， j 都是不大于 5 的正整数 )， 对于表中的每个数 ai， j规定如下： 当 i j 时 ， ai， j 1；当 ij 时 ， ai， j 0.例如：当 i 2， j 1 时 ， ai， j a2， 1 1.按此规定 ， a1， 3 _；表中的 25 个数中 ， 共有 _个 1；计算 a1， 1 ai， 1 a1， 2 ai， 2 a1， 3 ai， 3 a1， 4 ai， 4 a1， 5 ai， 5的值为 _ a1， 1 a1， 2 a1， 3 a1， 4 a1， 5 a2， 1 a2， 2 a2， 3 a2， 4 a2，
6、 5 a3， 1 a3， 2 a3， 3 a3， 4 a3， 5 a4， 1 a4， 2 a4， 3 a4， 4 a4， 5 a5， 1 a5， 2 a5， 3 a5， 4 a5， 5 一、与数与式有关的规律探究 1 2015朝阳一模 一组按规律排列的式子： 2a， 5a2， 10a3， 17a4， 26a5， ， 其中第 7 个式子是 _，第 n 个式子是 _(用含 n 的式 子表示， n 为正整数 ) 二、与图形有关的规律探究 2 2015西城一模 如图 Z1 5， 数轴上点 A 的初始位置表示的数为 1， 现点 A 做如下移 动：第 1 次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 A1， 第
7、 2 次从点 A1向右移动 6 个单位长度至点 A2， 第 3 次从点 A2向左移动 9 个单位长度至点 A3， ， 按照这种移动方 式进行下去 ， 点 A4表示的数是 _， 如果点 An与原点的距离不小于 20， 那么 n 的最小值是 _ 图 Z1 5 3 2014延庆县一模 如图 Z1 6， 点 E， D 分别是正三角形 ABC、正四边形 ABCM、正五边形 ABCMN中以 C 点为顶点的一边延长线和另一边延长线上的点 ， 且 BE CD， DB 的延长线交 AE 于点 F， 则图 中 AFB 的度数为 _；若将条件 “ 正三角形、正四边形、正五边形 ” 改为 “ 正 n 边形 ” ， 其
8、他条件不变 ， 则 AFB 的度数为 _ (用含 n 的代数式表示 ， 其中 ， n 3 且 n 为整数 ) 图 Z1 6 4 2014昌平区一模 已知：四边形 ABCD 的面积为 1.如图 Z1 7 ， 取四边形 ABCD 各边的中点 ，则图中阴影部分的面积为 _；如图 Z1 7 ， 取四边形 ABCD 各边的三 等分点，则图中阴影部分的面积为 _； ；取四边形 ABCD 各边的 n(n 为大于 1 的整数 )等分点 ， 则图中阴影部分的面积为_ 图 Z1 7 三、平面直角坐标系中的规律探究 5 2014石景山 一模 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 已知直线 l： y x， 作 A1(1，
9、 0)关于直线 y x 的对称点 B1， 将点 B1向右平移 2 个单位得到点 A2；再作 A2关于直线 y x 的对称点 B2， 将点 B2向右平移 2 个单位得到点 A3； .请继续操作并探究：点 A3的坐标是 _， 点 B2014的坐标是 _ 6 2015房山一模 如图 Z1 8， 在平面直角坐标系中放置了 5 个正方形 ， 点 B1(0， 2)在 y 轴上 ， 点C1， E1， E2， C2， E3， E4， C3在 x 轴上 ， C1的坐标是 (1， 0)， B1C1 B2C2 B3C3.则点 A1到 x 轴的距离是 _，点 A2到 x 轴的距离是 _， 点 A3到 x 轴的距离是
10、_ 图 Z1 8 7 2015东城一模 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 记直线 y x 1 为 l.点 A1是直线 l 与 y 轴的交点 ， 以A1O 为边作正方形 A1OC1B1， 使点 C1落在 x 轴正半轴上 ， 作射线 C1B1交直线 l 于点 A2， 以 A2C1为边作正方形 A2C1C2B2， 使点 C2落在 x 轴正半轴上 ， 依次作下去 ， 得到如图 Z1 9 所示的图形则点 B4的坐标是_， 点 Bn的坐标是 _ 图 Z1 9 8 2014丰台一模 如图 Z1 10， 已知直线 l： y 33 x， 点 A1坐标为 (0， 1)， 过点 A1作 y 轴的垂线交直线 l 于点
11、 B1， 以原点 O 为圆心 ， OB1长为半径画弧交 y 轴于一点 A2；再过点 A2作 y 轴的垂线交直线 l于点 B2， 以原点 O 为圆心 ， OB2 长为半径画弧交 y 轴 于点 A3， ， 按此作法进行下去 ， 点 A4 的坐标为(_， _)；点 An的坐标为 (_， _) 图 Z1 10 9 2014顺义一模 如图 Z1 11， 所有正三角形的一边平行于 x 轴 ， 一顶点在 y 轴上从内到外 ， 它们的边长依次为 2， 4， 6， 8， ， 顶点依次用 A1， A2， A3， A4， 表示 ， 其中 x 轴与边 A1A2， 边 A1A2与A4A5， A4A5与 A7A8， 均相
12、距一个单位长度 ， 则顶点 A3的坐标为 _， A31的坐标为 _， A3n2(n 为正整数 )的坐标为 _ 图 Z1 11 10 2014通州一模 如图 Z1 12， 在反比例函数 y 4x(x 0)的图象上 ， 有点 P1， P2， P3， P4， ，Pn(n 为正整数 ， 且 n 1)， 它们的横坐标依次为 1， 2， 3， 4， ， n(n 为正整数 ， 且 n 1)分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线 ， 连接相邻两点 ， 图中所构成的阴影部分 (近似看成三角形 )的面积从左到右依次为 S1，S2， S3， ， Sn 1(n 为正整数 ， 且 n 2)， 那么 S1 S2 S3 _
13、， S1 S2 S3 S4 Sn 1 _(用含有 n 的代数式表示 ) 图 Z1 12 11 2014燕山一模 如图 Z1 13， 在平面直角坐标系中 ， 已知点 P0的坐标为 (1， 0)， 将线段 OP0绕点 O 按顺时针方向旋转 45， 再将其长度伸长为 OP0的 2 倍 ， 得到线段 OP 1；又将线段 OP1绕点 O 按顺时针方向旋转 45， 再将其长度伸长为 OP 1的 2 倍 ， 得 到线段 OP 2， ， 这样依次得到线段 OP3， OP4， ，OPn.则点 P2的坐标为 _；当 n 4m 1(m 为自然数 )时 ， 点 Pn的坐标为 _ 图 Z1 13 12 2014西城一模
14、 如图 Z1 14， 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 点 A(1， 0)， B(2， 0)， 正六边形 ABCDEF沿 x 轴正方向无滑动滚动 ， 当点 D 第一次落在 x 轴上时 ， 点 D 的坐标为 _；在运动过程中 ， 点 A的纵坐标的最大值是 _； 保持上述运动过程 ， 经过点 (2014， 3)的正六边形的顶点是 _ 图 Z1 14 13 2015东城二模 如图 Z1 15， 已知 A1， A2， ， An， An 1在 x 轴上 ， 且 OA1 A1A2 A2A3 AnAn 1 1， 分别过点 A1， A2， ， An， An 1作 x 轴的垂线交直线 y x 于点 B1， B2
15、， ， Bn， Bn 1， 连接 A1B2， B1A2， A2B3， B2A3， ， AnBn 1， BnAn 1， 依次相交于点 P1， P2， P3， ， Pn， A1B1P1， A2B2P2， ， AnBnPn的面积依次记为 S1， S2， ， Sn， 则 S1 _， Sn _ 图 Z1 15 四、定义新运算 14 2014东城一模 现定义运算 “” ， 对于任意实数 a， b， 都有 a b a2 3a b， 如： 3 532 3 3 5， 根据定义的运算求 2 ( 1) _若 x 2 6， 则实数 x 的值是 _ 15 2015燕山一模 定义： 对于任意一个不为 1 的有理数 a，
16、把 11 a称为 a 的差倒数 ， 如 2 的差倒数为 11 2 1， 1 的差倒数为 11（ 1） 12.记 a1 12， a2是 a1的 差倒数， a3是 a2的差倒数 ， a4是 a3的差倒数 ， ， 依此类推 ， 则 a2 _， a2015 _ 16 2015海淀一模 若三角形的某一边长等于其外接圆半径 ， 则将此三角形称为等径三角形 ， 该边所对的角称为等径角已 知 ABC 是等径三角形 ， 则等径角的度数为 _ 17 2014海淀一模 在一次数学游戏中 ， 老师在 A， B， C 三个盘子里分别放了一些糖果 ， 糖果数依次为 a0， b0， c0， 记为 G0 (a0， b0， c
17、0)游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数 不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个 (若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果 )，记为一次操作 若三个盘子中的糖果数都相同 ， 则游戏结束 n 次操作后的糖果数记为 Gn (an， bn， cn) (1)若 G0 (4， 7， 10)， 则第 _次操作后游戏结束； (2)小明发现：若 G0 (4， 8， 18)， 则游戏永远无法结束 ， 那么 G2014 _ 18 2015海淀模拟 对于正整数 n， 定义 F(n)n2， n10f（ n） ， n 10， 其中
18、f(n)表示 n 的首位数字、末位数字的平方和例如： F(6) 62 36， F(123) f( )123 12 32 10. 规定 F1(n) F(n)， Fk 1(n) F(Fk(n)(k 为正整数 )例如： F1( )123 F( )123 10， F2(123) F(F1(123) F(10) 1. (1)求： F2(4) _， F2015(4) _； (2)若 F3m(4) 89， 则正整数 m的最小值是 _ 19 2015海淀二模 五子棋是一种两人对弈的棋类游戏 ， 规则是：在正方形 棋盘中 ， 由黑方先行 ，白方后行 ， 轮流弈子 ， 下在棋盘横线与竖线的交叉点上 ， 直到某一方
19、首先在任一方向 (横向、竖向或者是斜着的方向 )上连成五子者为胜 如图 Z1 16， 这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图观察棋盘 ， 以点 O 为原点 ， 在棋盘上建立平面直角坐标系 ， 将每个棋子看成一个点 ， 若黑子 A 的坐标为 (7， 5)， 则白子B 的坐标为 _；为了不让白方在短时间内获胜 ， 此时黑方应该下在坐标为 _的位置处 图 Z1 16 参考答案 北京 真题体验 1.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 2 ( 3， 1) (0， 4) 1 a 1 且 0 b 2 解析 A1的坐标为 (3， 1)， A2(0， 4)， A3( 3， 1)， A4
20、(0， 2)， A5(3， 1)， ， 依此类推 ， 每 4 个点为一个循环组依次循环 ， 2014 4 503 2， 点 A2014的坐标与 A2的坐标相同 ， 为 (0， 4)； 点 A1的坐标为 (a， b)， A2( b 1， a 1)， A3( a， b 2)， A4(b 1， a 1)， A5(a， b)， ， 以 此类推 ， 每 4 个点为一个循环组依次循环 ， 对于任意的正整数 n， 点 An均在 x 轴上方 ， a 1 0， a 1 0， b 2 0，b 0， 解得 1 a 1， 0 b 2. 3 32 13 0， 1 解析 当 a1 2 时 ， B1的纵坐标为 b1 12，
21、 B1的纵坐标和 A2的纵坐标相同 ， 则 A2的横坐标为 a2 32， A2的横坐标和 B2的横坐标相同 ， 则 B2的纵坐标为 b2 23， B2的纵坐标和 A3的纵坐标相同 ， 则 A3的横坐标为 a3 13， A3的横坐标和 B3的横坐标相同 ， 则 B3的纵坐标为 b3 3， B3的纵坐标和 A4的纵坐标相同 ， 则 A4的横坐标为 a4 2， A4的横坐标和 B4的横坐标相同 ， 则 B4的纵坐标为 b2 12， 即当 a1 2 时 ， a2 32， a3 13， a4 2， a5 32， b1 12， b2 23， b3 3， b4 12， b5 23， 20133 671， a
22、2013 a3 13； 点 A1不能在 y 轴上 (此时找不到 B1)， 即 x 0， 点 A1不能在 x 轴上 (此时 A2在 y轴上 ， 找不到 B2)， 即 y x 1 0， 解得 x 1. 综上可得 a1不可取 0， 1. 4 3 或 4 6n 3 解析 如图： 当点 B 在 (3， 0)点或 (4， 0)点时 ， AOB 内部 (不包括边界 )的整点为点 (1， 1)， (1， 2)， (2， 1)， 共三个点 ， 所以当 m 3 时 ， 点 B 的横坐标的所有可能值是 3 或 4. 当点 B 的横坐标为 8 时 ， n 2， AOB 的内部 (不包括边界 )的整点个数 m （ 4
23、2 1 2） 3 32 9. 当点 B 的横坐标为 12 时 ， n 3， AOB 的内部 (不包括边界 )的整点个数 m （ 4 3 1 2） 3 32 15. 所以当点 B 的横坐标为 4n(n 为正整数 )时 ， m （ 4 n 1 2） 3 32 6n 3. 5 0 15 1 解析 由题意当 i j 时 ， ai， j 0， 当 i j 时 ， ai， j 1；由图表中可以很容易知道等于 1的数有 15 个 由题意 ， 很容易发现 ， 从 i 与 j 之间大小关系分析： 当 i j 时 ， ai， j 0； 当 i j 时 ， ai， j 1， a1， 1 ai， 1 a1， 2 ai
24、， 2 a1， 3 ai， 3 a1， 4 ai， 4 a1， 5 ai， 5 1 1 0 0 0 0 1. 北京专题训练 一、与数与式有关的规律探究 1.50a7 ( 1)n 1 n2 1an 解析 观察分母的变化为 a 的 1 次幂、 2 次幂、 3 次幂、 、 n 次幂；分子的变化为： 2， 5， 10， 17， ， n2 1；分式符号的变化为： ， ， ， ， ， ( 1)n 1. 2a ( 1)2 12 1a1 ， 5a2 ( 1)3 22 1a2 ， 10a3 ( 1)4 32 1a3 ， 第 7 个式子是 50a7， 第 n 个式子为： ( 1)n 1 n2 1an . 二、与图
25、形有关的规律探究 2 7 13 解析 序号为奇数的点在点 A 的左边 ， 各点所表示的数依次减少 3， 序号为偶数的点在点A 的右侧 ， 各点所表示的数依次增加 3， 于是可得到 A13表示的数以及 A12表示的数 ， 则可 判断 An与原点的距离不小于 20 时 n 的最小值 第 1 次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 A1， 则 A1表示的数为 1 3 2； 第 2 次点 A1向右移动 6 个单位长度至点 A2， 则 A2表示的数为 2 6 4； 第 3 次点 A2向左移动 9 个单位长度至点 A3， 则 A3表示的数为 4 9 5； 第 4 次点 A3向右移动 12 个单位长度至点
26、A4， 则 A4表示的数为 5 12 7. 第 5 次点 A4向左移动 15 个单位长度至点 A5，则 A5表示的数为 7 15 8； 则点 A7表示的数为 8 3 11， 点 A9表示的数为 11 3 14， A11表示的数为 14 3 17，A13表示的数为 17 3 20， A6表示的数为 7 3 10， A8表示的数为 10 3 13， A10表示的数为 13 3 16， A12表示的数为 163 19， 所以如果点 An与原点的距离不小于 20， 那么 n 的最 小值是 13. 3 60 （ n 2） 180n 解析 (1)在 中的正三角形 ABC 中 ， AB BC， ABC AC
27、B 60， ABE BCD 120， 又 BE CD， ABE BCD， E D， 又 FBE CBD， AFB E FBE D CBD ACB 60 . 由以上不难得到 中 AEB BDC， 进一步证出 中 BEF BDC， 得出 ， 中 AFB 的度数等于 DCB 90， 同理可得 中 AFB 度数等于 BCM 108 . (2)由正三角形、正四边形、正五边形时 ， AFB 的度数分别为 60， 90， 108， 可得出正 n 边形中 ， 其他条件不变 ， 则 AFB 的度数为 （ n 2） 180n . 4.12 79 1 2n2 解析 如图 ， 连接 AC， BD. 点 A1， D1是
28、边 AB， AD 的中点 ， A1， D1是 ABD 的中位线 ， A1D1 BD， A1D1 12BD， AA1D1 ABD， S AA1D1S ABD A1D1BD2 14， S AA1D1 14S ABD. 同理 ， S CB1C1 14S BCD， S BA1B1 14S ABC， S DD1C1 14S ACD， S 阴影 S 四边形 ABCD (S AA1D1 S CB1C1 S BA1B1 S DD1C1) 1 14(S ABD S BCD S ABC SACD) 124S 四边形 ABCD 11212. 如图 同理可得 S 阴影 1 19(S ABC S BCD S ABC S
29、 ACD) 1 29S 四边形 ABCD 1 29 79. 当取四边形 ABCD 各边的 n(n 为大于 1 的整数 )等分点时 ， 则 S 阴影 1 1n2(S ABD S BCD S ABC S ACD) 1 2n2S 四边形 ABCD 1 2n2. 三、平面直角坐标系中的规律探究 5 (3， 2) (2013， 2014) 解析 根据题意画出图象 ， 进而得出各点坐标变化规律进而得出答案 如图所示：点 A3的坐标是 (3， 2)， B1(0， 1)， B2(1， 2)， B3(2， 3)， B 点横坐标比纵坐标小 1， 点 B2014的坐标是： (2013， 2014) 故答案为： (3
30、， 2)， (2013， 2014) 6 3 32 34 7 (15， 8) (2n 1， 2n 1) 解析 根据一次函数 ， 得出点 A1， A2的坐标 ， 继而得知 B1， B2等点的坐标 ， 从中找出规律 ， 进而可求出 Bn的坐标 把 x 0 代入 y x 1， 可得 y 1， 所以可得点 B1的坐标是 (1， 1) 把 x 1 代入直线 y x 1， 可得 y 2， 所以可得点 B2的坐标是 (3， 2)， 同理可得点 B3的坐标是 (7， 4)；点 B4的坐标是 (15， 8)； 由以上得出规律是 Bn的坐标为 (2n 1， 2n 1) 点评 本题考查了正方形的性质 ， 解此题的关
31、键是根据一次函数的图象上点的坐标得出规律 ， 题目比较好 ， 但是一道比较容易出错的题目 8 0 8 0 2n 1 解析 已知直线 y 33 x， 点 A1坐标为 (0， 1)， 过点 A1作 y 轴的垂线交直线 l 于点B1， 可知 B1点的坐标为 ( 3， 1)， 以原点 O 为圆心 ， OB1长为半径画弧交 y 轴于点 A2， OA2 OB1 2OA1 2， 点 A2的坐标为 (0， 2)， 这种方法可求得 B2的坐标为 (2 3， 2)， 故点 A3的坐标为 (0， 4)， 点 A4的 坐标为 (0， 8)， 此类推便可求出点 An的坐标为 (0， 2n 1) 9 (0， 1 3) ( 11， 11) ( n， n) 解析 从内到外 ， 它们的边长依次为 2， 4， 6， 8， ， 顶点依次用 A1， A2， A3， A4， 表示 ， 其中 x 轴与边 A1A2， 边 A1A2与 A4A5， A4A5与 A7A8， 均相距一个单位长度 ，
