1、 智浪教育-普惠英才文库2000 年全国初中数学竞赛试题解答一、选择题（只有一个结论正确）1、设 的平均数为 M， 的平均数为 N， N， 的平均数为 P，若，则 M 与 P 的大小关系是（ ）。（A）MP；（B）MP；（C）MP；（D）不确定。答：（B）。M ，N ，P ，MP， ， ，即MP0，即 MP。2、某人骑车沿直线旅行，先前进了 千米，休息了一段时间，又原路返回千米（ ），再前进 千米，则此人离起点的距离 S 与时间 t 的关系示意图是（ ）。答：（C）。因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段
2、路程，唯图（C）正确地表述了题意。3、甲是乙现在的年龄时，乙 10 岁；乙是甲现在的年龄时，甲 25 岁，那么（ ）。智浪教育-普惠英才文库（A）甲比乙大 5 岁；（B）甲比乙大 10 岁；（C）乙比甲大 10 岁；（D）乙比甲大 5 岁。答：（A）。由题意知 3（甲乙）2510，甲乙5。4、一个一次函数图象与直线 平行，与 轴、 轴的交点分别为A、B，并且过点（1，25），则在线段 AB 上（包括端点 A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。（A）4 个；（B）5 个；（C）6 个；（D）7 个。答：（B）。在直线 AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是14N， 255N，（N 是整数）
3、在线段 AB 上这样的点应满足14N0，且255N0， N5，即 N1，2，3，4，5。5、设 分别是ABC 的三边的长，且 ，则它的内角A、B 的关系是（ ）。（A）B2A；（B）B2A；（C）B2A；（D）不确定。答：（B）。由 得 ，延长 CB 至 D，使 BDAB，于是CD ，在ABC 与DAC 中，C 为公共角，且 BC:ACAC:DC，智浪教育-普惠英才文库ABCDAC，BACD，BADD，ABCDBAD2D2BAC。6、已知ABC 的三边长分别为 ，面积为 S，A 1B1C1的三边长分别为，面积为 S1，且 ，则 S 与 S1的大小关系一定是（ ）。（A）SS 1；（B）SS 1
4、；（C）SS 1；（D）不确定。答：（D）。分别构造ABC 与A 1B1C1如下：作ABCA 1B1C1，显然，即 SS 1；设 ，则 ，S10， ，则 S1 10010，即 SS 1；设，则 ，S10， ，则，S 1 10，即 S S1；因此，S 与 S1的大小关系不确定。二、填空题7、已知： ，那么 _。答：1。 ，即 。智浪教育-普惠英才文库8、如图，在梯形 ABCD 中，ABDC，AB8，BC6 ，BCD45，BAD120，则梯形 ABCD 的面积等于_。答：666 （平方单位）。作 AE、BF 垂直于 DC，垂足分别为 E、F，由BC6 ，BCD45，得 AEBFFC6。由BAD12
5、0，得DAE30，因为 AE6 得 DE2 ，ABEF8，DC2 86142， 。9、已知关于 的方程 的根都是整数，那么符合条件的整数有_个。答：5。当 时， ；当 时，易知 是方程的一个整数根，再由 且 是整数，知 ， ；由、得符合条件的整数 有 5 个。10、如图，工地上竖立着两根电线杆 AB、CD，它们相距 15 米，分别自两杆上高出地面 4 米、6 米的 A、C 处，向两侧地面上的 E、D；B、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳 AD 与 BC 的交点 P 离地面的高度为_米。智浪教育-普惠英才文库答：2.4 米。作 PQBD 于 Q，设 BQ 米，QD 米，PQ 米，
6、由ABPQCD，得 及 ，两式相加得 ，由此得米。即点 P 离地面的高度为 2.4 米。（注：由上述解法知，AB、CD 之间相距多远，与题目结论无关。）11、如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为（15，6），直线恰好将矩形 OABC 分成面积相等的两部分，那么 _。答： 。直线 通过点 D（15，5），故 BD1。当 时，直线通过 ， 两点，则它恰好将矩形 OABC 分成面积相等的两部分。12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了 6.4，使得利润率增加了 8 个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是_。（注： 100）智浪教育-普惠英才文库答：17。设原进价
7、为 元，销售价为 元，那么按原进价销售的利润率为100，原进价降低 6.4后，在销售时的利润率为100，依题意得：1008 100，解得 1.17 ，故这种商品原来的利润率为 10017。三、解答题13、设 是不小于 的实数，使得关于 的方程有两个不相等的实数根 。（1）若 ，求 的值。（2）求 的最大值。解：因为方程有两个不相等的实数根，所以， 。根据题设，有 。（1）因为智浪教育-普惠英才文库，即。由于 ，故 。（2）。设上是递减的，所以当 时， 取最大值 10。故 的最大值为 10。智浪教育-普惠英才文库14、如上图：已知四边形 ABCD 外接圆 O 的半径为 2，对角线 AC 与 BD
8、 的交点为E，AEEC，AB AE，且 BD2 ，求四边形 ABCD 的面积。解：由题设得 AB22AE 2AEAC，AB:ACAE:AB，又EABBAC，ABEACB，ABEACB，从而 ABAD。连结 AD，交 BD 于 H，则BHHD 。OH 1，AHOAOH211。 ，E 是 AC 的中点， ， 。15、一幢 33 层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳 32 人，而且只能在第 2 层至第 33 层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到 1 分不满意，往上走一层楼梯感到 3 分不满意。现在有 32 个人在第一层，并且他们分别住在第 2 至第 33 层的每一层，问
9、：电梯停在哪一层，可以使得这32 个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）解：易知，这 32 个人恰好是第 2 至第 33 层各住 1 人。对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上，设住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，。交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下：设电梯停在第 层。智浪教育-普惠英才文库当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为 。当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接
10、走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为 ，前者比后者多 。当 时，若住第层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多 。当 时，若住第 层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为 ，前者比后者多 。今设电梯停在第 层，在第一层有 人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：智浪教育-普惠英才文库当 27， 6 时， 316。所以，当电梯停在第 27 层时，这 32 个人不满意的总分达到最小，最小值为 316分。
