宜宾一中2016级高三上学期数学第十四周教学设计.DOC

1、宜宾市一中 2016 级高三上学期数学第十四周教学设计（ 1） 计数原理、概率、随机变量及其分布 编辑：肖昌龙 审核：胡江 1.计数原理 (1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 ， 能正确区分 “ 类 ” 和 “ 步 ” ， 并能利用两个原理解决一些简单的实际问题 (2)理解排列的概念及排列数公式 ， 并能利用公式解决一些简单的实际问题 (3)理解组合的概念及组合数公式 ， 并能利用公式解决一些简单的实际问题 (4)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 2 概率 (1)事件与 概率 了解随机事件发生的不确定 性和频率的稳定性 ， 了解概率的意义以及频率与概率的区别 了解两个互斥事

2、件的概率加法公式 (2)古典概型 理解古典概型及其概率计算公式 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率 (3)随机数与几何概型 了解随机数的意义 ， 能运用模拟方法估计概率 了解几何概型的意义 3 概 率与统计 (1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念 ， 认识分布列刻画随机现象的重要性 ， 会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列 (2)了解超几何分布 ， 并能进行简单应用 (3)了解条件概率的概念 ， 了解 两个事件相互独立的概念；理解 n 次独立重复试验模型及二项分布 ， 并能解决一些简单问题 (4)理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念 ， 会求简单

3、离散型随机变量的均值、方差 ， 并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题 (5)借助直观直方图认识正态分布曲线 的特点及曲线所表示的意义10 1 两个计数原理、排列与组合 知识点梳理 1 分类加法计数原理 完成一件事 ， 有 n 类不同方案 ， 在第 1 类方案中有 m1种不同的方法 ， 在第 2 类方案中有 m2种不同的方法 在第 n 类方案中有 mn种不同的方法那么完成这 件事共有 N _种不同的方法 2 分步乘法计数原理 完成一件事 ， 需要分成 n 个步骤 ， 做第 1 步有 m1种不同的方法 ， 做第 2 步有 m2种不同的方法 做第 n步有 mn种不同的方法那么完成这

4、件事共有 N _种不同的方法 3 两个计数原理的区别 分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题， 区别在于 ：分类加法计数原理针对的是 “ 分类 ” 问题 ， 其中各种方法 _， 用其中 _都可以做完这件事；分步乘法 计数原理针对的是 “ 分步 ” 问题 ， 各个步骤中的方法 _， 只有 _才算做完这件事 4 两个计数原理解决计数问题时的方法 最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析 是需要分类还是需要分步 (1)分类要做到 “_” 分类后再分别对每一类进行计数 ， 最后用分类加法计数原理求和 ， 得到总数 (2)分步要做到 “_”， 即完成了所有步骤 ， 恰

5、好完成任务 ， 当然步与步之间要 _，分步后再计算每一步的方法数 ， 最后 根据分步乘法计数原理 ， 把完成每一步的方法数相乘 ， 得到总数 5 排列 (1)排列的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素 ， 按照 _排成一列 ， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 (2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的 _的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 ， 用符号 _表示 (3)排列数公式： Amn _.这里 n， m N*， 并且 _ (4)全排列： n 个不同元素全部取出的一个 _， 叫做 n 个元素的 一个全排列 Ann n

6、 (n 1) (n 2) 3 2 1 _， 因此 ， 排列数公式写成阶乘的形式为 Amn ， 这里规定 0！_. 6 组合 (1)组合的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素 _， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的一个组合 (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的 _的个数 ， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 ， 用符号 _表示 (3)组合数公式： Cmn AmnAmm _ _ 这里 n N*， m N， 并且 m n. (4)组合数的两个性质： Cmn _； Cmn 1 _ _. 自查自纠 1 m1 m2 mn 2 m1 m

7、2 mn 3 相互独立 任何一种方法 互相依存 各个步骤都完成 4 (1)不重不漏 (2)步骤完整 相互独立 5 (1)一定的顺序 (2)所有不同排列 Amn (3)n(n 1)(n 2) (n m 1) m n (4)排列 n！ n！（ n m）！ 1 6 (1)合成一组 (2)所有不同组合 Cmn (3)n（ n 1）（ n 2） （ n m 1）m！ n！m！（ n m）！ (4) Cn mn Cmn Cm 1n 基础自测 (2016郑州模拟 )某项测试要过两关 ， 第一关有 3 种测试方案 ， 第二关有 5 种测试方案 ， 某人参加该项测试 ， 不同的测试方法种数为 ( ) A 8 B

8、 15 C 125 D 243 解： 由分步计数原理知所求为 3 5 15.故选 B. 某校学生会由高一年级 3 人 ， 高二年级 3 人 ， 高三年级 4 人组成 ， 现要选择不同年级的两名成员参加市里组织的活动 ， 则共有选法 ( ) A 27 种 B 33 种 C 36 种 D 81 种 解： 由两个计数原理知 ， 所求为 3 3 3 4 3 4 33(种 ) 故选 B. (2016四川 )用数字 1， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数 字的五位数 ， 其中奇数的个数为 ( ) A 24 B 48 C 60 D 72 解： 由题可知 ， 五位数要为奇数 ， 则个位数只能是 1， 3，

9、 5；分为两步：先从 1， 3， 5 三个数中选一个作为个位数有 C13种方法 ， 再将剩下的四个数字排列有 A44种方法 ， 则满足条 件的五位数有 C13A44 72 个 故选 D. (2017 河南五校质量监测改编 )6 名 同学排成一排照相 ， 甲不站两端 ， 则不同的站法有 _种 解： 所求为 A14A55 480 种 故填 480. 现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色 ， 要求有公共边界的两块不能用同一种颜色 ， 则不同的着色方法共有 _种 解： 按 A B C D 顺序分四步涂色 ， 共有 4 3 2 2 48(种 ) 故填 48. 类型一 分类与分步的区别与联系

10、 甲同学有若干本课外参考书 ， 其中有 5 本不同的数学书 ， 4 本不同的物理书 ， 3 本不同的化学书现在乙同学向甲同学借书 ， 试问： (1)若借一本书 ， 则有多少种不同的借法？ (2)若每科各借一本 ， 则有多少种不同的借法？ (3)若借两本不同学科的书 ， 则有多少种不同的借法？ 解： (1)因为需完成的事情是 “ 借一本书 ” ， 所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本 ， 都可以完成这件事情 故用分类计数原理 ， 共有 5 4 3 12(种 )不同的借法 (2)需 完成的事情是 “ 每科各借一本书 ” ， 意味着要借给乙三本书 ， 只有从数学、物理、化学三科中各借一本 ， 才

11、能完成这件事情 故用分步计数原理 ， 共有 5 4 3 60(种 )不同的借法 (3)需完成的事情是 “ 从三种学科的书中借两本不同学科的书 ” ， 要分三种情况： 借一本数学书和一本物理书 ， 只有两本书都借 ， 事情才能完成 ， 由分步 计数原理知 ，有 5 4 20(种 )借法； 借一本数学书和一本化学书 ， 同理 ， 由分步计数原理知 ， 有 5 3 15(种 )借法； 借一本物理书和一本化学书 ， 同理 ， 由分步计数原理知 ， 有 4 3 12(种 )借法而上述的每 一种借法都可以独立完成这件事情 ， 由分类计数原理知 ， 共有 20 15 12 47(种 )不同的借法 【点拨】

12、仔细区分是 “ 分类 ” 还是 “ 分步 ” 是运用两个原理的关键两个原理的区别在于一个与分类有关 ，一个与分步有关如果完成一件事有 n 类办法 ， 这 n 类办法彼此之间是相互独 立的 ，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成 n个步骤 ， 缺一不可 ， 即需要依次完成 n 个步骤 ， 才能完成这件事 ， 而完成每一个步骤各有若干种不同的方法 ，求完成这件事的方法种数 ， 就用分步乘 法计数原理 电视台在 “ 欢乐在今宵 ” 节目中拿出两个信箱 ， 其中放着竞猜中成绩优秀的 50 位观众的来信 ，甲箱中有 30 封

13、 ， 乙箱中有 20 封现由主持人抽奖确定幸运观众 ， 若先确定一名幸运之星 ， 再从两箱剩下来信中各确定一名幸运观 众，有多少种不同结果？ 解： 幸运之星在甲箱中抽取 ， 选定幸运之星 ， 再在两箱内各抽一名幸运观众 ， 根据分步计数原理有30 29 20 17 400 种结果 幸运之星在乙箱中抽取 ， 有 20 19 30 11 400 种结果 根据分类计数原理共有不 同结果 17 400 11 400 28 800(种 ) 类型二 排列数与组合数公式 (1)解方程 3Ax8 4Ax 19 ； (2)解方程 Cx 1x 3 Cx 1x 1 Cxx 1 Cx 2x 2. 解： (1)利用 3

14、Ax8 3 8！（ 8 x）！ ， 4Ax 19 4 9！（ 9 x 1）！ ， 得到 3 8！（ 8 x）！ 4 9！（ 10 x）！ . 利用 (10 x)！ (10 x)(9 x)(8 x)！ ， 将上式化简后得到 (10 x)(9 x) 4 3. 再化简得到 x2 19x 78 0. 解方程得 x1 6， x2 13.由于 Ax8和 Ax 19 有意义 ， 所以 x 满足 x 8 和 x 1 9.于是将 x2 13 舍去 ， 原方程的解是 x 6. (2)由组合数的性质 可得 Cx 1x 1 Cxx 1 Cx 2x 2 C2x 1 C1x 1 C4x 2 C2x 2 C4x 2， 又

15、Cx 1x 3 C2x 3， 且 C2x 3 C2x 2 C1x 2， 即 C1x 2 C2x 2 C2x 2 C4x 2.所以 C1x 2 C4x 2， 所以 5 x 2， x 3.经检验知 x 3 符合题意且使得各式有意义 ， 故原方程的解为 x 3. 【点拨】 (1)应用排列、组合数公式解此类方程时 ， 应注意验证所得结果能使各式有意义 (2)应用组合数性质 Cmn 1 Cm 1n Cmn时 ， 应注意其结构特征：右边下标相同 ， 上标相差 1；左边 (相对于右边 )下标加 1， 上标取大使用该公式 ， 像拉手风琴 ， 既可从左拉到右 ， 越拉越长 ， 又可以从右推到左 ， 越推越短 (

16、1)解方程： 3A3x 2A2x 1 6A2x； (2)已知 1Cm5 1Cm6 710Cm7， 则 Cm8 _ 解： (1)由 3A3x 2A2x 1 6A2x得 3x(x 1)(x 2) 2(x 1)x 6x(x 1)， 由 x 0 整理 得 3x2 17x 10 0. 解得 x 5 或 23(舍去 ) 即原方程的解为 x 5. (2)由已知得 m的取值范围为 m|0 m 5， m Z， m！（ 5 m）！5！ m！（ 6 m）！6！ 7 （ 7 m）！ m！10 7！ ，整理可得 m2 23m 42 0， 解得 m 21(舍去 )或 m 2.故 Cm8 C28 28.故填 28. 类型三

17、 排列的基本问题 5 名男生、 2 名女生站成一排照相： (1)两名女生要在两端 ， 有多少种不同的站法？ (2)两名女生都不站在两端 ， 有多少种不同的站法？ (3)两名女生要相邻 ， 有多少种不同的站法？ (4)两 名女生不相邻 ， 有多少种不同的站法？ (5)女生甲要在女生乙的右方 ， 有多少种不同的站法？ (6)女生甲不在左端 ， 女生乙不在右端 ， 有多少种不同的站法？ 解： (1)两端的两个位置 ， 女生任意排 ， 中间的五个位置男生任意排： A22A55 240(种 )； (2)中间的五个位置任选两个排女生 ， 其余五个位置任意排男生： A25A55 2 400(种 )； (3)

18、把两名女生当作一个元素 ， 于是对六个元素任意排 ， 然后解决两个女生的任 意排列： A66A22 1 440(种 )； (4)把男生任意全排列 ， 然后在六个空中 (包括两端 )有顺序地插入两名女生： A55A26 3 600(种 )； (5)七个位置中任选五个排男生问题就已解决 ， 因为留下两个位置女生排法是既定的： A57 2 520(种 )； (6)采用排除法 ， 在七个人的全排列中 ， 去掉女生甲在左端的 A66 个 ， 再去掉女生乙在右端的 A66个 ， 但女生甲在左端同时女生乙在右端的 A55 种排除了两次 ， 要找回来一次有 A77 2A66 A55 3 720(种 ) 【点

19、拨】 (1)有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法： 特殊元素优先考虑； 对于相邻问题采用 “ 捆绑法 ” ， 整体参与排序后 ， 再考虑整体内容排序； 对于不相邻问题 ， 采用 “ 插空 ” 法 ， 先排其他元素 ， 再将不相邻元素插入空档； 对于定序问题 ， 可先不考虑顺序限制 ， 排列后再除以 定序元素的全排列数 (2)解题的基本思路通常有正向思考和逆向思考两种正向思考时 ， 通过分步、分类设法将问题分解；逆向思考时 ，从问题的反面入手 ， 然后 “ 去伪存真 ” 3 名女生和 5 名男生排成一排 (1)如果女生全排在一起 ， 有多少种不同排法？ (2)如果女生都不相邻 ， 有

20、多少种排法？ (3)如果女生不站两端 ， 有多少种排法？ (4)其中甲必须排在乙前面 (可不邻 )， 有多少种排法？ (5)其中甲不站左端 ， 乙不站右端 ， 有多少种排法？ 解： (1)(捆绑法 )由于女生排 在一起 ， 可把她们看成一个整体 ， 这样同五个男生合在一起有 6 个元素 ， 排成一排有 A66种排法 ， 而其中每一种排法中 ， 三个女生又有 A33种排法 ， 因此共有 A66 A33 4 320(种 )不同排法 (2)(插空法 )先排 5 个男生 ， 有 A55种排法 ， 这 5 个男生之间和两端有 6 个位置 ， 从中选取 3 个位置排女生 ，有 A36种排法 ， 因此共有

21、A55 A36 14 400(种 )不同排法 (3)法一 (位置分析法 ) 因为两端不排女生 ， 只能从 5 个男生中选 2 人排列 ， 有 A25种排法 ， 剩余的位置没有特殊要求 ， 有 A66种排法 ， 因此 共有 A25 A66 14 400(种 )不同排法 法二 (元素分析法 ) 从中间 6 个位置选 3 个安排女生 ， 有 A36种排法 ， 其余位置无限制 ， 有 A55种排法 ， 因此共有 A36 A55 14 400(种 )不同排法 (4)8 名学生的所有排列共 A88种 ， 其中甲在乙前面与乙在甲前面各占其中的 12， 所以符合要求的排法种数为 12A88 20 160(种

22、) (5)甲、乙为特殊元素 ， 左、右两边为特殊位置 法一 (特殊元素法 ) 甲在最右边时 ， 其他的可全排 ， 有 A77种；甲不在最右边时 ， 可从余下 6 个位置中任选一个 ， 有 A16种而乙可排在除去最右边位置后剩余的 6 个中的任意一个上 ， 有 A16种 ， 其余人全排列 ， 共有 A16 A16 A66种由分类加法计数原理 ， 共有 A77 A16 A16 A66 30 960(种 ) 法二 (特殊位置法 ) 先排最左边 ， 除去甲外 ， 有 A17种 ， 余下 7 个位置全排 ， 有 A77种 ， 但应剔除乙在最右边时的排法 A16 A66种 ， 因此共有 A17 A77 A

23、16 A66 30 960(种 ) 法三 (间接法 ) 8 个人全排 ， 共 A88种 ， 其中 ， 不合条件的有甲在最左边时 ， 有 A77种 ， 乙在最右边时 ， 有 A77种 ，其中都包 含了甲在最左边 ，同时 乙在最右边的情形，有 A66种因此共有 A88 2A77 A66 30 960(种 ) 类型四 组合的基本问题 课外活动小组共 13 人 ， 其中男生 8 人 ， 女生 5 人 ， 并且男、女生各指定一名队长现从中选 5 人主持某种活动 ， 依下列条件各有多少种选法？ (1)只有 1 名女生； (2)两队长当选； (3)至少有 1 名队长当选； (4)至多有 2 名女生当选 ；

24、(5)既要有队长 ， 又要有女生当选 解： (1)1 名女生 ， 4 名男生 ， 故共有 C15 C48 350(种 ) (2)将两队长作为一类 ， 其他 11 个作为一类 ， 故共有 C22 C311 165(种 ) (3)至少有 1 名队长当选含有两类：只有 1 名队长和 2 名队长故共有： C12 C411 C22 C311 825(种 ) 或采用间接法： C513 C511 825(种 ) (4)至多有 2 名女生含有三类：有 2 名女生、只有 1 名女生、没有女生 ， 故选法为： C25 C38 C15 C48 C58966(种 ) (5)分两类：第一类女队长当选：有 C412种选法

25、； 第二类女队长不当选：有 C14 C37 C24 C27 C34 C17 C44种选法 故选法共有： C412 C14 C37 C24 C27 C34 C17 C44 790(种 ) 【点拨】 分类时不重不漏 ； 注意间接法的使用 ， 在涉及 “ 至多 ”“ 至少 ” 等问题时 ， 多考虑用间接法 (排除法 )； 应防止出现如下常见错误：如对 (3)， 先选 1 名队长 ， 再从剩下的人中选 4 人得 C12 C412 825， 请同学们自己找错因 从 7 名男同学和 5 名女同学中选出 5 人 ， 分别求符合下列条件的选法总数为多少？ (1)A， B 必须当选； (2)A， B 都不当选；

26、 (3)A， B 不全当选； (4)至少有 2 名女同学当选； (5)选出 3 名男同学和 2 名女同学 ， 分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作 ， 但体育委员必须由男同学担任 ， 文娱委员必须由女同学担任 解： (1)只要从其余的 10 人中再选 3 人即可 ， 有 C310 120(种 ) (2)5 个人全部从另外 10 人中选 ， 总的选法有 C510 252(种 ) (3)直接法 ， 分两类： A， B 一人当选 ， 有 C12C410 420(种 ) A， B 都不当选 ， 有 C510 252(种 ) 所以总的选法 有 420 252 672(种 ) 间接法：从 12 人中

27、选 5 人的选法总数中减去从不含 A， B 的 10 人中选 3 人 (即 A， B 都当选 )的选法总数 ，得到总的选法有 C512 C310 672(种 ) (4)直接法 ， 分四步：选 2 名女生 ， 有 C25C37 10 35 350(种 )； 选 3 名女生 ， 有 C35C27 210(种 )； 选 4 名女生 ， 有 C45C17 35(种 )； 选 5 名女生 ， 有 C55 1(种 ) 所以总的选法有 350 210 35 1 596(种 ) 间接法：从 12 人中选 5 人的选法总数中减去不选女生与只选一名女生的选法数之和 ， 即满足条件的 选法有 C512 (C57 C

28、15C47) 596(种 ) (5)分三步：选 1 男 1 女分别担任体育委员、文娱委员的方法有 C17C15 35(种 )； 再选出 2 男 1 女 ， 补足 5 人的方法有 C26C14 60(种 )； 最后为第二步选出的 3 人分派工作 ， 有 A33 6(种 )方法 所以总的选法有 35 60 6 12 600(种 ) 类型五 分堆与分配问题 按下列要求分配 6 本不同的书 ， 各有多少种不同的分配方式？ (1)分成三份 ， 1 份 1 本 ， 1 份 2 本 ， 1 份 3 本； (2)甲、乙、丙三人中 ， 一人得 1 本 ， 一人得 2 本 ， 一人得 3 本； (3)平均分成三份

29、 ， 每份 2 本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人 ， 每人 2 本； (5)分成三份 ， 1 份 4 本 ， 另外两份每份 1 本； (6)甲、乙、丙三人中 ， 一人得 4 本 ， 另外两人每人得 1 本； (7)甲得 1 本 ， 乙得 1 本 ， 丙得 4 本 解： (1)无序不均匀分组问题 先选 1 本 ， 有 C16种选法；再从余下的 5 本中选 2 本 ， 有 C25种选法；最后余下 3 本全选 ， 有 C33种选法 故共有 C16C25C33 60(种 ) (2)有序不均匀分组问题 由于甲、乙、丙是不同的三人 ， 在 (1)题基础上 ， 还应考虑再分配 ， 共有 C16C25C3

30、3A33 360(种 ) (3)无序均匀分组问题 先分三步 ， 则应是 C26C24C22种方法 ， 但是这里出现了重复不妨记六本书为 A， B， C， D， E， F， 若第一步取了 AB， 第二步取了 CD， 第三步取了 EF， 记该种分法为 (AB， CD， EF)， 则 C26C24C22种分法中还有 (AB， EF，CD)， (CD， AB， EF)， (CD， EF， AB)， (EF， CD， AB)， (EF， AB， CD)， 共有 A33种情况 ， 而这 A33种情况仅是AB， CD， EF 的顺序不同 ， 因此只能作为一种分法 ， 故分配方式有 C26C24C22A33

31、15(种 ) (4)有序均匀分组问题 在 (3)的基础上再分配给 3 个人 ， 共有分配方式 C26C24C22A33 A33 C26C24C22 90(种 ) (5)无序部分均匀分 组问题 共有 C46C12C11A22 15(种 ) (6)有序部分均匀分组问题 在 (5)的基础上再分配给 3 个人 ， 共有分配方式 C26C12C11A22 A33 90(种 ) (7)直接分配问题 甲选 1 本 ， 有 C16种方法；乙从余下的 5 本中选 1 本 ， 有 C15种方法 ， 余下 4 本留给丙 ， 有 C44种方法 ， 故共有分配方式 C16C15C44 30(种 ) 【点拨】 平均分配给

32、不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列分堆到位相当于分堆后各堆再全排列 ， 平均分堆不到指定位置 ， 其分法数为： 平均分堆到指定位置 堆数的阶乘 .对于分堆与分配问题应注意： 处理分配问题要注意先分堆再分配； 被分配的元素是不同的 (像 “ 名额 ” 等 则是相同元素 ， 不适用 )， 位置也应是不同的 (如不同的 “ 盒子 ” )； 分 堆时要注意是否均匀 ，如 6 分成 (2， 2， 2)为均匀分组 ， 分成 (1， 2， 3)为非均匀分组 ， 分成 (4， 1， 1)为部分均匀分组 (1)6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去任教 ， 有 _种不同的分派方法

33、 解： 先把 6 个毕业生平均分成 3 组 ， 有 C26C24C22A33 种方法 ， 再将 3 组毕业 生分到 3 所学校 ， 有 A33 6 种方法 ，故 6 个毕业生平均分到 3 所学校 ， 共有 C26C24C22A33 A33 90 种分派方法 故填 90. (2)(2015广州调研 )有 4 名优秀学生 A， B， C， D 全部被保送到甲、乙、丙 3 所学校 ， 每所学校至少去一名 ，则不同的保送方案共有 _种 解： 先把 4 名学生分为 2、 1、 1 的 3 组 ， 有 C24C12C11A22 6 种分法 ， 再将 3 组分到 3 个学校 ， 有 A33 6 种情况 ，则

34、共有 6 6 36 种不同的保送方案 故填 36. (3)(2015江西模拟改编 )若将 6 名教师分到 3 所中学任教 ， 一所 1 名 ， 一所 2 名 ， 一所 3 名 ， 则有 _种不同的分法 解： 将 6 名教师分组 ， 分三步完成： 第 1 步 ， 在 6 名教师中 任取 1 名作为一组 ， 有 C16种取法； 第 2 步 ， 在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组 ， 有 C25种取法； 第 3 步 ， 余下的 3 名教师作为一组 ， 有 C33种取法 6 名教师分组共有 C16C25C33 60 种取法 再把这 3 组教师分配到 3 所中学 ， 有 A33 6 种分法 ，

35、因此共有 60 6 360 种不同的分法 故填 360. 类型六 数字排列问题 用 0， 1， 2， 3， 4， 5 这 6 个数字 (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数 (无重复数字 )? 解： (1)符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类： 0 在个位时 ， 有 A35个； 第二类： 2 在 个位时 ，千位从 1， 3， 4， 5 中选定一个 (A14种 )， 十位和百位从余下的数字中选 ， 有 A24种 ， 于是有 A14 A24个； 第三类： 4 在个位时 ， 与第二类同理 ， 也有 A14 A24个 由分类加法计数原理得 ， 共有 A3

36、5 2A14 A24 156(个 ) (2)先排 0， 2， 4， 再让 1， 3， 5 插空 ， 总的排法共 A33 A34 144(种 )， 其中 0 在排头 ， 将 1， 3， 5 插在后三个空的排法共 A22 A33 12(种 )， 此时构不成六位数 ， 故总的六位数的个数为 A33 A34 A22 A33 144 12 132(种 ) 【点拨】 本例是有限制条件的排列问题 ， 先满足特殊元素或特殊位置的要求 ， 再考虑其他元素或位置 ， 同时注意题中隐含条件 0 不能在首位 (2015山西模拟改编 )用五个数字 0， 1， 2， 3， 4 组成没有重复数字的自然数 ， 问： (1)四

37、位数 有几个？ (2)比 3 000 大的偶数有几个？ 解： (1)首位数字不能是 0， 其他三位数字可以任意 ， 所以四位数有 C14A34 96 个 (2)比 3 000 大的必是四位数或五位数 ( )若是四位数 ， 则首位数字必是 3 或 4. 若 4 在首位 ， 则个位数字必是 0 或 2， 有 C12A23个数 ， 若 3 在首位 ， 则个位数字必是 0 或 2 或 4， 有 C13A23个数 ， 所以比 3 000 大 的四位偶数有 C12A23 C13A23 30 个 ( )若是五位数 ， 则首位数字不能是 0， 个位数字必是 0 或 2 或 4， 若 0 在个位 ， 则有 A4

38、4个； 若 0 不在个位 ， 则有 C12C13A33个数 ， 所以比 3 000 大的五位偶数有 A44 C12C13A33 60 个 故比 3 000 大的偶数共有 30 60 90 个 点拨 1 解答计数应用问题的总体思路 根据完成事件所需的过程 ， 对事件进行整体分类 ， 确定可分为几大类 ， 整体分类以后 ， 再确定在每类中完成事件要分几个步骤 ， 这些问题都弄清楚了 ， 就可以根据两个基本原理解决问题了 ， 此外 ， 还要掌握一些非常规计数方法 ， 如： (1)枚举法：将各 种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况； (2)转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问

39、题； (3)间接法：若用直接法比较 复杂 ， 难以计数 ， 则可考虑利用正难则反的策略 ， 先计算其反面情形 ， 再用总数减去即得 2 排列与组合的区别与联系 排列、组合之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序 ， 不需要考虑顺序的是组合问题 ， 需要考虑顺序的是排列问题 ， 排列是在组合的基础上对入选的元素进行全排列 ， 因此 ， 分析 解决排列问题的基本思路是 “ 先选，后排 ” 3 解排列、组合题的基本方法 (1)限制元素 (位置 )优先法： 元素优先法：先考虑有限制条件的元素 ， 再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置 ， 再考虑其他位置 (2)正难则反排异法： 有

40、 些问题 ， 正面考虑情况复杂 ， 可以反面入手把不符合条件的所有情况从总体中去掉 (3)复杂问题分类分步法： 某些问题总体不好解 决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决 在解题过程中 ， 常常既要分类 ， 也要分步 ， 其原则是先分类 ， 再分步 (4)相离问题插空法： 某些元素不能相邻或要在某特殊位置时可采用插空法 ， 即先安排好没有限制条件的元素 ， 然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间 (5)相邻问题捆绑法： 把相邻的若干个特殊元素 “ 捆绑 ” 为一个大元素 ， 然后再与其余 “ 普通元素 ” 作全排列 ， 最后再 “ 松绑

41、” 将 “ 捆绑 ” 元素在这些位置上作全排列 (6)相同元素隔板法： 将 n 个相同小球放入 m(m n)个盒子里 ， 要求每个盒子里至少有一个小球的放法 ， 等价于将 n 个相同小球串成一串 ， 从间隙里选 m 1 个结点 ， 剪截成 m 段 ， 共有 Cm 1n 1种放法这是针对相同元素的组合问题的一种方法 (7)定序问题用除法： 对于某几个元素顺序一定的排列问题 ， 可先把这几个元素与其他元素一同进行排列 ，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数 4 解组合问题时应注意 (1)在解组合应用题时 ， 常 会遇到 “ 至少 ”“ 至多 ”“ 含 ” 等词 ， 要仔细审题 ， 理解其含义 (2)关于几何图形的组合题目 ， 一定要注意图形自身对其构成元素的限制 ， 解决这类问题常用间接法 (或排除法 ) (3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的 ， 前者组与组之间只要元素个数相同 ， 是不可区分的 ，而后者则即使两组元素个数相同 ， 但因元素不同 ， 仍然是可区分的对于这类问题必须先分组后排列 ， 若平均分 m 组 ， 则分法 取法m！ . 课时作业 1 现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座 ， 每名同学可自由选择其中的一个讲座 ， 不同选法的