1、初中生代数证明水平的发展研究 摘要：数学证明具有重要的教育价值，在目前教育体制下，初中生具有怎样的数学证明水平值得大家关注。通过 “ 日历问题 ” 为例，对初中生的代数证明水平进行调查，了解初中生数学证明水平的一些现状，并思考出现这些状况的深层原因。 下载 关键词：代数证明；日历问题；课程标准；性别差异；城乡差别 1.问题提出 数学课程标准在 7 9年级的课程目标中提出 “ 认识通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性 ” ；在课程实施建议中提出 “ 应关注证明的必要性、基本过程和基本方法 ” 。由此
2、看出，新课标更加重视发展学生的数感和符号感，重视口算、估算，提倡算法多样化，更注重引导学生体会证明的必要性，理解证明的基本过程，加强培养学生 “ 说理有据 ” 的意识；同时，降低对论证过程形式化和证明技巧的要求，旨在让学生掌握基本的证明方法，对课程内容中有关 术语在文字表达上的要求也有所降低，试图做到 “ 淡化形式 ” ，对于这种改变，数学界有不同的声音，孰是孰非？不敢妄下结论。在西欧和北美的一些国家，传统的数学证明在教学中的地位也在逐渐弱化。 7 9年级学生的证明水平现状究竟怎么样，势必会引起许多人的关注。在八年级数学教科书下（苏科版） “ 说理 ” 一节教学中的一个问题引起了我们的思考。
3、探索： 1.当 = -5、 - 、 0、 2、 3时，计算代数式 22+2 的值， 与同学交流。 2.换几个说再试试，你发现了什么？你能说明理由吗 . 在教学中， 笔者发现学生在解答本题时存在两个困难：一是代数式的值大于等于 1不会归纳。二是对恒等变换证明这种形式很陌生。因此，能正确回答这个问题的学生很少。事实上，在初中阶段，几何是发展学生证明推理的主要载体。在学生的心目中，证明题就等同于几何题。众所周知，证明不仅仅局限于几何，在代数中也存在推理证明。本文以 “ 日历问题 ” 为例，研究 7 9年级学生的代数证明发展水平。 2.研究方法 2.1 问题的设计 在数学课程标准以及在七年级数学上册（
4、苏科版）第一章第二节中，都出现了探索月历中数量关系的问题， 鉴于此问题对初中生来说都比较熟悉，便以操作，笔者略作改编，作为此次问卷调查的题目。 观察月历 问题 1 观察月历中带有阴影方框中的 4 个数： （ 1）方框中左上与右下数字之积为 （ 2）方框中左下与右上数字之积为 计算：第（ 1）个积与第（ 2）个积之差为 问题 2 观察月历中另一方框中的 4个数： （ 1）方框中左上与右下数字之积为 （ 2）方框中左下与右上数字之积为 计算：第（ 1）个积与第（ 2）个积之差为 问题 3 在这张月历 中，将方框上下或左右平移后，方框中的 4 个数之间还存在如上的结论吗？说明你的理由（无论成立与否都
5、要说明理由）。 3?调查对象 在 2010 2011 学年第二学期 3月份在苏州常熟 X校（市区公立学校、每个年级有 10 个班、辖区招生）每个年级随机选择了两个班级（七年级 87 名学生，八年级 77 名学生，九年级 78 名学生）进行了问卷测试。同时我们又在常熟 M 校某个（公立农村中学、每个年级有 6个班、生源主要来自本镇）每个年级随机选择了两个班级（七年级、八年级、 ）进行了相同的测试。 4.研究的结果 4.1 代数证明水平的划分 根据学生的回答，我们把学生的证明水平分成两类：经验的证明和逻辑的证明。经验的证明，可以划分出两个水平。 水平 1 通过具体的例子解释结论的真实性。 问题 3
6、 在这张月历中，将方框上下或左右平移后，方框中的 4 个数字之间还存在如上的结论吗？请说明你的理由（无论成立与否都要说明理由）。 学生答：成立。 因为左上角的数比左下角的数小 7，而且右上角的数比左上角的数大 1，又因为右上角的数比左下角的数小 6，左上角的数比右下角的数小 8，所以应该 积小 7。 第二类是演绎的证明，利用代数式的恒等变换获得一般结论。此时，学生的水平存在以下三个水平。 水平 3 用字母来表示数，但未达到水平 4。 问题 3 在这张月历中，将方框上下或左右平移后，方框中的 4 个数字之间还存在如上的结论吗？请说明你的理由（无论成立与否都要说明理由）。 学生答：存在。 上下两个
7、数之差为 7 问题 3 在这张月历中，将方框上下或左右平移后，方框中的 4 个数字之间还存在如上的结论吗？请说明你的理由（无论成立与否都要说明理由）。 学生答 ：成立。 设左上角的数为 ，右上角的数为 +1 ，左下角的数为 +7 ，右下角的数为 +8 ， 则： （ +8 ） -（ +1 ）（ +7 ） =2+8 -（ 2+8+7 ）。 问题 3 在这张月历中，将方框上下或左右平移后，方框中的 4 个数字之间还存在如上的结论吗？请说明你的理由（无论成立与否都要说明理由）。 学生答：成立。 设左上角的数为 n，右上角的数为 n+1，左下角的数为 n+7，右下角的数为 n+8， 则：左上与右下之积为
8、 n2+8n， 右上与左下之积为 n2+8n+7， 差为 7。 所以成立。 4.2 数据分析 第一，数据表明（如下页表 1、表 2）能用字母表示数来解决问题（也就是达到水平 3 以上）的人数偏少， X 中学学生七年级占 26.44%，八年级占35.06%，九年级占 61.04%； M中学学生七年级占 9.47%，八年级占 15.85%，九年级占 49.38%。 第二，学生的代数证明水平七、八两个年级之间无显著差异，九年级显著高于其他两个年级。 X中学三个年级之间存在显著性的差异（ 2 （ 10） =33.530， p=0.000） ；七年级、八年级无显著差异（ 2（ 5） =8.364， p=
9、0.137）；八年级、九年级有显著差异（ 2 （ 5） =16.097， p=0.007）；七年级、九年级有显著差异（ 2 （ 5） =21.624， p=0.001）。X 中学三个年级之间存在显著性的差异（ 2 （ 10） =64.775， p=0.000）；七年级、八年级无显著差异（ 2 （ 5） =10.464， p=0.063）；八年级、九年级有显著差异（ 2 （ 5） =28.202， p=0.000）；七年级、九年级有显著差异（ 2 （ 5） =47.569， p=0.000）。 第三，学生的代数证明水平存在城乡差别。七年级（ 2 （ 5） =24.141，p=0.000）；八年级
10、（ 2 （ 5） =18.799， p=0.002）；九年级（ 2 （ 5） =14.416，p=0.013）。 第四，每个年级的性别之间无显著差异，整个参与调查的对象的性别之间无显著差异。 X中学三个年级的男女生之间均无显著差异，七年级 2 （ 5）=7.626， p=0.178；八年级 2 （ 4） =4.253， p=0.373；九年级 2 （ 5） =9.673，p=0.085， M中学三个年级的男女生之间均无显著差 异；七年级 2 （ 5）=10.315， p=0.067；八年级 2 （ 5） =1.757， p=0.882；九年级 2 （ 4） =6.607，p=0.158。 5.
11、讨论 5.1 学生代数证明水平的发展受到了课程教材的影响 初三学生能从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识；形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。同时教材对 “ 空间与图形 ” 的主要关注点 推理与证明，进行了整体性设计，这些设计主要基于以下两点考虑：一是 合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，不是隔立的，更不是对立的，应当把它们有机地结合起来。二是数学教学需要形式化训练，但过早地形式化可能会使学生远离数学的本质。推理的本质是 “ 有条理的思考和表达 ” ，而不是： “ （ ） ” 的形式化证明。我们的调
12、查时间是在第一学期，而教材把证明放在八（下）和九（上），从这个角度来看也表明课程有效地促进了学生逻辑性证明的发展。 5.2 数学代数证明水平与学生的性别差异有关系 1993 年，国际数学教育委员会（ ICMI）在瑞典专门召开过 “ 性别与教育 ”国际研讨会，几名美国学者通过对部分小学老师的深入调查分析，认为在数学学习上确实存在着性别差异，而且这种差异随年级的升高逐渐增大，越是高认知水平的学习，男生的优秀就越明显。我国学者在这方面的研究结论大致有两类：一类认为，男、女两性的数学思维发展在总体上是平衡的，但在逻辑推理、掌握逻辑法则、辩证思维及空间想象等方面的表现，又是各具特色的；另一类则认为，男、
13、女两性的数学学习水平在总体上有显著差异（个别差异不显著除外），男性要高于女性。通过这次调查，发现在初中数学证明水平方面男女学生几乎没有差异，原因可能是在经济相 对发达的苏南地区，家庭、社会和学校对性别基本已无偏见，对男女生的期望值是一样的；在对数学成绩的要求上，家长和教师对男女生是相同对待；平时在学校教学中，教师对男女生要求是相同的，环境因素的影响已经很小了。 5.3 数学代数证明水平与家庭教育有关 家长也对 “ 教育孩子 ” 给予了很大的关注，对孩子的健康成长起到了越来越大的积极作用。但由于长期以来的城乡二元结构，导致城乡之间经济、文化发展不平衡，表现在教育上城乡还存在着一定的差距。从这次调查结果来看也符合了这一点，本次调查的两所学校从硬件设施和师资 及教学内容上来看基本不存在差异，可能主要在于家庭教育上的差异：一是经济状况影响，为了给孩子提供更好的学习和生活环境，大部分的农村家长将更多精力用在工作上，很少有时间关心学生的课余生活。二是资料表明，农村人口比城镇人口受文化教育年限平均少 2 3 年，城镇居民再学习提高的时间和机会多。农村家长接受的教育较少，文化程度普遍偏低，相对缺乏自我约束力和调节力，从而给子女造成一定的影响。
