1、习题 15 15-3 求习题 15-3 各图中点 P 处磁感应强度的大小和方向。 解 (a) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为： 210 c o sc o s4 aIB 对于导线 1： 01 ，22 ，因此aIB 401对于导线 2： 21 ，因此 02B aIBBB 4 021p 方向垂直纸面向外。 (b) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为： 210 c o sc o s4 aIB 对于导线 1： 01 ，22 ，因此rIaIB 44 001 ，方向垂直纸面向内。 对于导线 2：21 ， 2 ，因此rIaIB 44 002 ，方向垂直纸面向内。 半圆形导线在 P 点产生的
2、磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的圆形导线在圆心处产生的磁感应强度的一半，即 rIrIB 4221 003 ，方向垂直纸面向内。 所以，r IrIr IrIrIBBBB 42444 00000321p ，方向垂直纸面向内。 (c) P 点到三角形每条边的距离都是 ad 63 o301 ， o1502 每条边上的电流在 P 点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是 aIdIB 231 5 0c o s30c o s4 00000 故 P 点总的磁感应强度大小为 习题 15-3 图 I 1 2 P r r I (a) I 1 a 2 I I a (b) (c) P P
3、aIBB 293 00 方向垂直纸面向内。 15-4 在半径为 R 和 r 的两圆周之间，有一总匝数为 N 的均匀密绕 的 平面线圈，通有电流 I，方向如 习题 15-4 图所示。求中心 O 处的磁感应强度。 解 由题意知，均匀密绕平面线圈等效于通以 I NI 圆盘，设单位径向长度上线圈匝数为 n rRNn 建立如图坐标，取一半径为 x 厚度为 dx 的 圆环，其等效电流为 : xrRNIxI dndd )(2 d2 dd 000 rRx xNIx IB rRrR NIrRx xNIBB RrNI ln)(2)(2 dd 0000 所以方向垂直纸面向外。 15-5 电流均匀地流过一无限长薄壁半
4、圆筒，设电流 I=5.0A，圆筒半径 R=1.0102m 如 习题 15-5 图所示。求轴线上一点的磁感应强度。 解 把无限长薄壁半圆筒分割成无数细条，每一细条可看作一无限长直导线，取一微元 dl 则 IRlI dd 则 ld 在 O 点所产生的磁场为 2200 2 d2 dd RlIRIB 又因， dd Rl 所以，RIRIB 200 2 d2 dd cosdd x BB ， sindd y BB 半圆筒对 O 点产生的磁场为： 根据对称性， 0xx dBB， RIBB20yy d 所以 B 只有 y 方向分量，即RIBB 20y ，沿 y 的负方向。 15-6 矩形截面的螺绕环，尺寸如 习
5、题 15-6 图所示，均匀密绕共 N 匝，通以电流 I，试证明通过螺绕环截面的磁通量为 210 ln2 DDNIh Orx dxRyxdldB证明 建立如图所示坐标，在螺绕环横截面上任取一微元 xhS dd 以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为 r，22 12 DrD ， NIrB 02d lB rNIB 20SB dd 所以 21022 0 ln2d2dd 12 DDh N IrhrNISB DD 15-7 长直导线 a 与半径为 R 的均匀导体圆环相切于点 a，另一直导线 bb沿半径方向与圆环接于点 b，如 习题 15-7 图所示。现有稳恒电流 I 从端 a 流入而从端 b 流出。 (1)
6、求圆环中心点 O 的 B； (2)B 沿闭合路径 L 的环流 lBdL等于什么 ? 解 (1) 43210 BBBBB 其中 : 04B RIB 401RIBRIB 231,232 303202 ,2332 llII 故 2B 与 3B 大小相等 ,方向相反 ,所以 032 BB 因而RIBB 4 010 ,方向垂直纸面向外 . (2)由安培环路定理 ,有 : 3)32(d 00i0 IIIIL lB 15-8如 习题 15-8 图所示，半径为 R 的 1/4 圆弧线圈通有电流 I2，置于电流为 I1 的无限长直线电流的磁场中，直线电流 I1 恰过圆的直径，求圆弧受到长直线电流 I1的磁 场
7、力。 解：在 I2 上任取以电流元 I2dl，与 x 轴的夹角为 ，则电流元所受到的磁力为： 012ORaba1234习题 15-8 图 O I1 I2 X 45 45 Y 习题 15-6 图 0 1 220 1 20 1 2dd2d2 c osd2 c osI I BdF I B l lxI I B RRI I B 方向沿 O 点与电流元的连线。 根据对称性可知， Fy=0 0 1 2440 1 2c os d2 c os4xI I BF F dFI I B 因此所受的磁力为 0 1 24II B ，沿 x 轴的正方向。 15-9磁场中某点处的磁感应强度 0.40 0.20 TB i j，一
8、电子以速度 6 6 10 .5 1 0 1 .0 1 0 m s v i j通过该点。求作用在该电子上的磁场力。 解 由洛仑兹力公式 ,有 N1081002.04.000.15.0106.1 14619 kkjiBvF q 15-10在一个圆柱磁铁 N 极正上方，水平放置一半径为 R 的导线圆环，如 习题 15-10 图所示，其中通有顺时针方向 (俯视 )的电流 I。在导线处的 磁感应强度 B 的方向都与竖直方向成 角。求导线环受的磁场力。 解 圆环上每个电流元受力为 BlF dd I 将 B 分解为 z 分量和径向分量： rz BBB cosz BB ， sinr BB 所以 rzrz dd
9、dd BlBlBBlF III rz dd BlF I zr dd BlF I 对于圆环 0drF圆环所受合力为 s i n2ds i nd 20rz R I BRIBlIBFF ，方向沿 z 轴正向。 15-11如 习题 15-11 图所示，空心圆柱无限长导体内外半径分别为 a 和 b，导体内通有电流 I，且电流在横截面上均匀分布。求证导体内部 (a 1B ，说明载流平面的磁场 B 的方向与所放入的均匀磁场 0B 的方向在平面右侧是一致的，在平面左侧是相反的，进而说明平面上电流方向是垂直于纸面向内。设面电流密度为 j。则 jBBBB 0001 21 jBBBB 0002 21 由此二式解得
10、210 21 BBB ， 1201 BBj 在载流平面上沿电流方向取长为 h、宽为 dl 的条形面积，面积 dS=hdl，面积上电流 dI=jdl，此电流受到的磁力大小为 SBjlB jhIBhF dddd 载流平面单位面积所受磁力大小为 2122012120 2 12 1dd BBBBBBBjSF 方向为垂直于平面向左。 15-16电流为 I2的等边三角形载流线圈与无限长直线电流 I1共面，如 习题 15-16 图所示。求： (1)载流线圈所受到的总的磁场力； (2)载流线圈所受到的磁力矩 (通过点 c 并垂直于纸面方向的直线为轴 )。 解 ab 边到长直导线的距离为 d，电流 1I 在 a
11、b 边上的磁场为 dIB 2 10方向垂直纸面向内。此磁场对 ab 边的作用力为 0 1 22 2ab I I lF I B l d 方向向左。 在 ac 边上任取一 ld ,设 ld 到 1I 的距离为 x ，则 1 I 在 ld 处产生的磁场为xIB 2 10， ld 受到的磁力 BlF dd 2I ，又因为 Bld 所以02102 30c o sd2dd xxIIlBI F， 所以 3 0 1 2 0 1 22ac d3l n (1 )233dld I I I IxlF xd ，方向如图所示。 同理，可求得 acbc FF ，方向如图所示。 则线圈受到的合力为： 0yF ， )2 31l
12、 n (312210b c xa c xabx d ldlIIFFFF 因此线圈所受的磁场力大小为 )2 31ln (312210 d ldlII ， 方向沿 x 轴负向。 （ 2）因为 nP SIdd m n 的方向垂直直面向外 所以 BP /d m 又因为 BPM mdd ，所以 0d M ，所以 0M 15-17半径为 a、线电荷密度为 (常量 )的半圆，以角速度 绕轴 OO匀速旋转，如 习题 15-17 图所示。求： (1)在点 O 产生的磁感应强度 B； (2)旋转的带电半圆的磁矩 mP 。 解 （ 1）把半圆分成无数个小弧每段带电量 ddd alq 旋转后形成电流元 d2d2dd
13、aqqnI 由圆环 2322202 xR IRB 得 sinaR cosax ds i n4d2 s i nc o ss i n2 ds i nd 203 220232222 220 Iaaaa IaB 8ds i n4d 00 20 BB方向向上 （ 2）因为 nm SIP ， d2sindsinS d Id 2322m aIaP 4ds in2d2s in 30 0 2323m aaaP ，方向向上。 15-18有一均匀带电细直棒 AB，长为 b，线电荷密度为 。此棒绕垂直于纸面的轴 O 以匀角速度 转动，转动过程中端 A 与轴 O 的距 离 a保持不变，如 习题 15-18 图所示。求：
14、 (1)点 O 的磁感应强度0B； (2)转动棒的磁矩mP； (3)若 ab，再求0B和mP。 解 (1)均匀带电直棒 AB 绕 O 轴旋转，其结果等效于载流圆盘。在均匀直棒上取一微元 rdq d , 等效电流为：rqI d22dd 它在 O 点的磁感应强度 rrr IB d42 dd 000 a barrB baa ln4d4d 0000 B（ 0 ，方向垂直直面向里） (2) rrIrp d21dd 22m baa rrpp d21d 2mm 6/)( 33 aba （ 0 ，方向垂直直面向里） (3)若 ab，则有： ababa ln ， aqabB 44 000 与带电粒子 b 情况相
15、同 则有时 ),/31()(, 33 abababa 23m 2136 aqabap 与点电荷的磁矩相同 OABabdqB r 习题 15-20 图 a O R2 R1 O （ 0 ，方向垂直直面向里） 15-19. 一平面圆盘，半径为 R，表面面电荷密度为 。设圆盘绕其中心轴转动的角速度为 ，匀强磁场 B的方向与转轴的夹角为 ，试求圆盘所受的力矩。 解：在半径为 r 处取宽度为 dr 的圆环，其等效电流为： ddI r r 其磁矩为 2m dd r r r nPe BpM mdd 2d s ind M r r r B 340 1s i n d s i n4RM r B r B R 15-20
16、有一个无限长直圆筒形导体，导体和空腔半径分别为 R2和 R1，它们的轴线相互平行，两轴线间的距离为 a(R2a+ R12 R1)，如 习题 15-20 图所示。电流 I 沿轴向流动，在横截面上均匀分布。求两轴线上任一点的磁感应强度。 解 根据叠加原理，此系统可看作由半径为 2R ，其上电流密度为 2122 RR Ij 的实心导体，与半径为 1R 的，电流密度为 -j 的实心导体所构成的。 设 j 沿 z 轴正方向，根据安培环路定理，半径为 2R 电流均匀分布的导体，在 O 点产生的磁场为 0，而半径为 1R 电流均匀分布的导体，在 O 点产生的磁场为 aRR IRRR IaRa jRB 2122 2102122210210O 222 ，垂直于轴线向外 12 ORORO BBB 由环路定理：)(2 21220OR 2 RR Ia B01OR B 所以，)(2 21220ORO 2 RR IaBB ， 方向垂直于轴线 向里。
