1、第一章 误差估算与数据处理方法 课后习题答案 1指出下列各量有效数字的位数。 (1) kV 有效位数： 4 (2) mm 有效位数： 3 (3) kg 有效位数： 5 (4)自然数 有效位数：无限位 2判断下列写法是否正确，并加以改正。 (1) A mA 错 ， 0.0350A有效位数为 3位，而 35mA有效位数为 2位，二者物理意义不同，不可等同，应改为 A mA。 (2) kg 错 ，测量结果 (即最佳估计值 )有效数字的最后一位应与不确定度的末位对齐。测量结果有效数字取位时，应遵循“四舍六入五凑偶”的原则；而且，不确定度应记为“ ”的形式。故应将上式改成 kg。 (3) km 错 ，当
2、采用科学计数法表示测量结果时，最佳估计值与不确定度应同时用科学计数法表示，并且 10的指数应取一致，还要保证最佳估计值的最后一位与不确定度的末位对齐。因此，上式应改为 。 (4) A 正确 。 3试按有效数字修约规则 ，将下列各数据保留三位有效数字。 3.8547， 2.3429， 1.5451， 3.8750， 5.4349， 7.6850， 3.6612， 6.2638 3.85 2.34 1.54 3.88 5.43 7.68 3.66 6.26 有效数字修约应遵循“四舍六入五凑偶”原则。 4按有效数字的确定规则，计算下列各式。 (1) 000.1U000123.0L010.10m403
3、50.0I 350350.0I 11050.3 3.0270.53 m270.53m 3.03.53 m 2 0 0 0103.27 4 h kmh 4102.03.27 004.0325.4 x?6 3 8 6.08.7537.3 4 3 解： 原式 (2) 解： 原式 (3) 解： 原式 (4) 解： 原式 5分别写出下列各式的不确定度传播公式。 (1) (K为常数 ) 解： (a)绝对不确定度： (b)相对不确定度： 其中， 、 分别表示 A、 B量的合成不确定度。 (2) 解： (a)绝对不确定度： (b)相对不确定度： 8.4 1 981.4 1 964.08.7537.3 4 3
4、?5 4 3.761 8 0.845.88 73.37 2 7.35 4 3.761 8 0.845.88 ?5.20725.0 18.05.20725.0 ?001.247.0052.042.8 00.40 0 1.200.80 0 1.247.00 5 2.042.8 2221 BAKQ 2222222222222221 21BABABABACuBuAKuBuAKuB BAuA BAKuBQuAQQu 22222222 221 BAuBuABAKuBuAKQQuE bAbACAu Bu FDCBAN 211 2 222222222222222222222221211212111FDCBAF
5、DCBAFDCBACuuCBADuDAuDAuADCBuuDCBAuDAuDAuDCBAuFNuDNuCNuBNuANNu其中， 、 、 、 、 分别表示 A、 B、 C、 D、 F量的合成不确定度。 (3) 解： (a)绝对不确定度： (b)相对不确定度： 其中， 、 分别表示 A、 B量的合成不确定度。 (4) 解： (a)绝对不确定度： FCBAuuCBADuDAuDAuADCBNNuEFDCBAC21121211222222222Au Bu Cu Du FuABAf 4 22 222222222222222222222141/414/4/4/4/44 BABABABABACuABuAB
6、uBABAuAABAuBABAuAABAuBABAuAABAuBfuAffu 222222222222242141BAuBuA BAABAuABuABffuE BABAC Au Bu42hdV (b)相对不确定度： 其中， 、 分别表示 d、 h量的合成不确定度。 6用最小刻度为 0.1cm的米尺对物体进行长度测量，其数据为 9.92，9.94， 9.87， 9.86， 9.91，若置信概率为 ，则测量结果应该表示为 ? 解： (1)最佳值 (2)不确定度 A类分量： 222222224 424hdhdhdCuduhdududhuhVudVVu 222222424 huduhduduhdVVu
7、E hdhdCdu hu cmL%5.95L)(9 0 0.95 50.495 91.986.987.994.992.9551 cmLLi i du cmLLSLuiiLA0 1 6.0105 1 6.11030.2100.20460.201046200.1160.9160.4102014342102001.004.003.004.002.0459 0 0.991.99 0 0.994.99 0 0.992.91552224422222422222222512平均值有效数字的位数可比原数据有效数字的位数多取一位。 常数 可根据具体计 算需要多取几位有效数字，以免造成误差过大。 中间过程的不确定
8、度可多取一位有效数字 (两位 )，且遵循“只进不舍”的取舍原则。 加、减法中间计算结果的末位与运算各数据中末位数数量级最大的那一位对齐 (如 16)， 不必再多取一位。 加、减法中间计算结果的末位与运算各数据中末位数数量级最大的那一位对齐 (如 9.92)， 不必再多取一位。 乘方、开方运算的中间计算结果的有效数字位数可比被乘方、被开方数的有效数字位数多取一位，以免取舍造成的误差过大。 米尺的仪器误差取其最小刻度的一半，即 0.05cm。 B类分量： L的合成不确定度： 由于置信概率为 ，则扩展不确定度 (3)测量结果表示 7用量程为 20mA，准确度等级为 0.5级的电流表测量某电流的指示值
9、为15.00mA，其测量结果的最大误差为？ 解： 测量结果的最大误差即仪器误差。仪器误差 =量程 准确度等级 %，而与测量指示值 15.00mA无关。该题测量结果的最大误差 。注意，仪器误差通常取一位有效数字。 8用千分尺 (仪器极限误差为 mm)测量一钢球直径 6次，测量数据为：14.256、 14.278、 14.262、 14.263、 14.258、 14.272(mm)；用天平 (仪器极限误差为g)测量它的质量 1次，测量值为： g，试求钢球密度的最佳值与不确定度。 解： 密度 为间接测量量，直径 d与质量 m为直接测量量，故应按间接测量数据处理方法来求测量结果。 1直径 d的处理
10、(1)最佳值 (2)不确定度 A类分量： cmLu B 0 2 8.07 3 2.1 05.03 仪 cmLuLuu BAC 04.01040.101084.756.2108.26.1 2322222 %5.95%80.0900.9 08.008.004.022LUEcmuU C %80.0 %5.95 /08.090.9 3 E Pcmg)(1.0%5.020 mA004.006.0 84.11dmmdd i i 2 6 4 8.146 2 7 2.142 7 8.142 5 6.14661 乘方、开方运算的中间计算结果的有效数字位数可比被乘方、被开方数的有效数字位数多取一位，以免取舍造成的
11、误差过大。 绝对不确定度保留一位有效数字，且遵循“只进不舍”的取舍原则。 平均值有效数字的位数可比原数据有效数字的位数多取一位。 B类分量： d的合成不确定度： 2质量 m的处理 由于质量 m为单次测量值，因此不存在标准不确定度的 A类分量 ，并且B类分量 ，则质量 m的合成不确定 。 3密度 的处理 (1)最佳值 (2)合成不确定度 密度 与质量和直径之间的函数为简单乘除关系，可先计算相对不确定度 E。 mmddSduiidA0 0 3 5.01003.121000.303 6 100.30103 6 13049490.40.91 6 9811030772313910300 0 7.00 0
12、 7.00 0 2.00 0 3.00 1 3.00 0 9.0562 6 4 8.142 7 2.142 6 4 8.142 7 8.142 6 4 8.142 5 6.1416633662222226222222222612 mmdu B 0 0 2 3.0732.1 004.03 仪 mmduduu BAd 0 0 4 2.0105.171029.52.12103.25.3 3332222 muA gmu B 06.0 仪仪 gmuu Bm 06.0 333/790.79 0 2 8.21 4 1 6.3 84.116 9 0 2 7 9.21 4 1 5 9.384.1164 2 6
13、5.11 4 1 5 9.384.1166cmgcmgdmCu乘方、开方运算的中间计算结果的有效数字位数可比被乘方、被开方数的有效数字位数多取一位，以免取舍造成的误差过大。 应比运算各数中有效数字位数最多的 (如 1.42648)还多取一位。 乘除法运算以各运算数据中有效数字位数最少的为准 (11.84有效数字位数为 4)，其余数据在中间计算过程中可多取一位有效数字 (即 5位 )。 密度 7.790是最后计算结果，其有效数字的位数与 11.84(有效数字位数最少 )一致，不要再多取一位有效数字。 密度 的合成不确定度： (3)最终结果为 9示波管磁偏转实验中，偏转距离与电流之间关系数据如下表
14、所示。 mA 6.0 10.5 15.5 21.0 26.2 31.6 36.8 42.1 mm 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 (1)用直角坐标纸作图，并求出 之间的关系式； (2)用逐差法求出 之间的关系式。 解： (1)由图可看出， 之间成一次函数关系，因此可设 的关系式为 。 在图中任取两点和 ，可得斜率 将第三点 以及斜率 k代入设定的关系式中，可得截距 因此 I与 L的关系式为 (2)逐差法 由于有 8组数据，所以数据处理应采取隔 4项 ( )逐差的方法，则 L每次改变时，电流改变值的算术平均值为 %51.0108.25100.2578
15、.0100.257761.0 100.5881.0100.510881.0 1206.03.140042.0384.1106.02648.140042.033lnln333322232322222222 muduumuduE mdmdC 3/04.0%51.07 9 0.7 cmgEu C %51.0 %3.68 /04.079.7 3 E Pcmg/I/LLILILILIbkLI 1.9 0.81 ，P 0.04 0.382 ，P03.10.30 9.300.80.38 1.90.40 k 2.52 0.213 ，P9.087.063.215.220.2103.15.22 b9.003.1
16、LI2/80.20L5 10 15 20 25 30 35 40 45510152025303540mAI /mmL / 040,0.382P 1.9,0.81P 5.22,0.213P45关系式的斜率为 任取一组数据 (如 (30.0， 31.6)代入 关系式中，可得截距 因此 I与 L的关系式为： 10已知某两个量 与 之间具有关系 ，测量数据如下表所示。 8.75 19.43 30.52 41.86 52.71 63.44 0.72 5.70 10.81 15.69 20.71 25.83 用最小二乘法写出 与 的关系式。 解： k、 b的最佳值 、 为 9.204 7.834 4837
17、26154 IIIIIIIIILI04.10.20 9.204 LIkLI4.020.316.310.3004.16.31 b4.004.1 LIu L bkuL 310u 210Lu L36133 101 8 3 3.36106 71.2 1 6106 44.6343.1975.861 i iuu26122 102 4 3.13106 46.79106 83.2570.572.061 i iLL66622222261221077.1 6 5 6106 6.9 9 4 0 106 44.6371.5286.4152.3043.1975.861 iiuu311161103 9 0 0 0.610
18、60.3 8 3 4 1066.1 6 3 86.1 0 9 178.6 5 692.3 2 98.1 1 030.6 10683.2544.6370.543.1972.075.861 iii LuuLk b 63332262332322105 9 8 8.4 1054.3475 9 8 2 5.11077.1 6 5 6231.1 3 0 93 9 0 0 0.64 . 7 9 1 7 51077.1 6 5 61 8 3 3.363 9 0 0 0.610243.131 8 3 3.361077.1 6 5 6101 8 3 3.36103 9 0 0 0.610243.13101 8 3 3.36uuuLLuk因此，待求关系式为 0 3 3 9 6 7.054.3 4 78 0 5.1177.1 6 5 62 3 1.1 3 0 94 0 6.2 1 92 1 1 3.2 3 177.1 6 5 61 8 3 3.365 6 7 7.162 4 3.133 9 0 0 0.61 8 3 3.361077.1 6 5 6101 8 3 3.361077.1 6 5 6102 4 3.13103 9 0 0 0.6101 8 3 3.3626236233222uuuLuLub0 3 3 9 6 7.0105988.4 6 uL
