1、16.8 如图所示的两个同轴圆形导体线圈，小线圈在大线圈上面两线圈的距离为 x，设 x 远大于圆半径 R大线圈中通有电流 I时，若半径为 r 的小线圈中的磁场可看作是均匀的，且以速率 v = dx/dt 运动求 x = NR 时，小线圈中的感应电动势为多少？感应电流的方向如何？ 解答 环电流在轴线上产生的磁感应强度为 202 2 3 / 22( )IRB xR ， 当 xR 时，磁感应强度为 20 32IRB x 小线圈的面积为 S = r2，通过的磁通量为 22032IR rBS x ， 当小线圈运动时，感应电动势为 22043dd2IR r vtx ， 当 x = NR 时，感应电动势为
2、204232 Ir vNR 感应电流的 磁场与原磁场的方向相同，感应电流的方向与原电流的环绕方向相同 16.9 如图所示，匀强磁场 B 与矩形导线回路的法线 n 成 = 60角，x r I o R B 图 17.8 B A L D B n v 图 16.9 B = kt（ k 为大于零的常数）长为 L 的导体杆 AB 以匀速 v 向右平动，求回路中 t 时刻的感应电动势的大小和方向（设 t = 0 时， x = 0） 解答 经过时间 t，导体杆运动的距离为 x = vt， 扫过的面积为 S = Lx = Lvt， 通过此面积的磁通量为 = BS = BScos = Lvkt2/2 感应电动势的
3、大小为 = d/dt = Lvkt 由于回路中磁通量在增加，而感应电流的磁通量阻碍原磁通量增加，其磁场与原磁场的方向相反，所以感应电动势的方向是顺时针的 16.10 长为 b，宽为 a 的矩形线圈 ABCD 与无限长直截流导线共面，且线圈的长边平行于长直导线，线圈以速度 v向右平动， t 时刻基 AD边距离长直导线为 x；且长直导线中的电流按 I = I0cost规律随时间变化，如图所示求回路中的电动势 解答 电流 I 在 r 处产生的磁感应强度为 02 IB r ， 穿过面积元 dS = bdr 的磁通量为 0d d d2 IbB S rr ， 穿过 矩形线圈 ABCD 的磁通量为 B A
4、B v D C x rx drx bx a 图 16.10 001 d l n ( )22xaxI b I b xarrx ， 回路 中的电动势为 ddt 0 d 1 1 d l n ( ) ( ) 2 d db x a I xIx t x a x t 00 c o s l n ( ) s i n 2 ( )Ib x a a v ttx x x a 显然，第一项是由于磁场变化产生的感生电动势，第二项是由于线圈运动产生的动生电动势 16.11 如图，一个矩形的金属线框，边长分别为 a 和 b（ b 足够长）金属线框的质量为 m，自感系数为 L，忽略电阻线框的长边与 x轴平行，它以 速度 v0沿
5、x轴的方向从磁场外进入磁感应 强度为 B0的均匀磁场中， B0的方向垂直矩 形线框平面求矩形线框在磁场中速度与 时间的关系式 v = v(t)和沿 x轴方向移动的距离与时间的关系式 x = x(t) 解答 由于 b 边很长，所以线框只有右边在做切割磁力线的运动当线框速度为 v 时，产生的动生电动势为 = B0av 当线框中的电流为 i 时，产生的自感电动势的大小为 ddL iL t 根据欧姆定律得 + L = iR， B0 v0 bx ax o x y 图 16.11 由于不计电阻，所以有 0 d 0diB av L t 右边所受的力为 F = iaB0， 根据牛顿第二定律得 ， 微分得 ，
6、联立和式得 微分方程 22 02 ()d 0d aBv vt mL， 这是简谐振动的微分方程，其通解为 00c o s s i na B a Bv A t B tm L m L 当 t = 0 时， v = v0，所以 A = v0 加速度 at = dv/dt 0 0 0( s i n c o s )a B a B a BA t B tm L m L m L ， 当 t = 0 时， at = 0，所以 B = 0 速度方程为 00 cos aBv v tmL 由于 v = dx/dt，所以 00d c o s daBx v t v t tmL 000 s inaBmLv t CaB mL
7、当 t = 0 时， x = 0，所以 C = 0，所以位移方程为 000 s inaBmLx v taB mL 16.12 如图所 示的圆面积内，匀强磁场 B 的方向垂直于圆面积 向里，圆半径 R = 12cm， dB/dt = 10-2Ts-1求图 中 a、 b、 c 三点的涡旋电场为多少（ b 为圆 心）？设 ab = 10cm， bc = 15cm 解答 （ 1）当点在磁场之中时，以 b 为圆心，以 r 为半径作一圆形环中，其周长为 C = 2r， 面积为 S = r2 取环路的逆时 针方向为正，根据右手螺旋法则，面积的法向方向垂直纸面向外。 根据安培环路定理 SBl dddd SL
8、k t， 由于磁场增加，其变化率的方向与磁场方向相同，而感应电流的磁场与磁场增加的方向的方向相反，即垂直纸面向里，根据右手螺旋法则，B a b R c r r 图 16.12 涡旋电场的方向与环路方向相同，所以左边等于 rL k 2ldd kL k l 而磁感应强度的方向与面积的法向方向相反，所以右边等于 2ddddSSBBSrt t t B S 因此涡旋电场为 d2dk rBE t 对于 a 点，由于 r = 0.1m，所以 Ek = 0.10.01/2 = 510-4(Vm-1) 对于 b 点，由于 r = 0，所以 Ek = 0 （ 2）当点在 磁场之外时，以 b 为圆心，以 r 为半径
9、作一圆形环路根据安培环路定理 SBl dddd SL k t， 左边的积分仍然为 Ek2r由于半径 R 之外的磁感应强度及其变化率为零，所以右边的大小为 R2dB/dt，因 此涡旋电场为 2 d2dk RBE rt 对于 c 点，由于 r = 0.15m， R = 0.12m，所以 Ek = (0.12)20.01/20.15 = 4.810-4(Vm-1） 16.13 两个共轴的 导体圆筒称为电缆，其内、外半径分I r1 o l r2 I 图 16.13 别为 r1和 r2，设电流由内筒流入，外筒流出，求长为 l 的一段电缆的自感系数（提示：按定义 L = N/I， 本题中 N是图中阴影部分
10、面积的磁通量） 解答 在内外半径之间，磁感应强度的大小为 B = 0I/2r， 其中 r是场点到轴线之间的距离， B 的方向是以轴线为中心的同心圆 在 r 处取一长为 l 的面积元 dS = ldr， 通过面积元的磁通量为 d = BdS， 总磁通量为 2100 21d ln22rrI I l rlrrr ， 电缆的自感系数为 0 21ln2l rL Ir 讨论 电缆单位长度的自感系数为 0 201ln2rLL lr 16.14 两个共轴圆 线圈，半径分别为 R 和 r，匝数分别为 N1和 N2，两者 相距 L设小线圈的半径很小，小线圈处的磁场近似 地可视为均匀， 求两线圈的互感系数 解答 设
11、大线圈中通以电流 I1， N1匝线圈形成的环电流在轴线上产生的磁感应强度为 L r I1 o R B 图 16.14 20 1 12 2 3 / 22( )N I RB LR ， 小线圈的面积为 S = r2， 大线圈通过一匝小线圈的磁通量为 220 1 12 2 3 / 22 ( )N I R rBS LR ， 在小线圈中产生的 全磁通为 220 1 2 12 1 2 2 2 3 / 22 ( )N N I R rN LR ， 互感系数为 220 1 2212 2 3 / 21 2( )N N R rM I L R 讨论 当两线圈相距很远时， LR，互感系数约为 20 1 22N N rM
12、R 16.15 两个共轴的长直螺线管长为 L，半径分别为 R1和 R2，设 R2 R1；匝数分别为 N1和 N2求两螺线管的互感系数 解答 设大螺线管中通以电流 I2，在轴线上产生的磁感应强度为 B = 0n2I2 = 0N2I2/L 小螺线管的面积为 S = R12， 大螺线圈通过一匝小螺线管的磁通量为 = BS = 0N2I2R12/L， 在小线圈中产生的 全磁通为 12 = N1 = 0N1N2I2R12/L， 互感系数为 M = 12/I2 = 0N1N2R12/L 16.16 一圆形线圈 C1由 50匝表面绝缘的细导线密绕而成，圆面积 S = 2cm2，将 C1放在一个半径 R =
13、20cm的大圆线圈 C2的中心，两线圈共轴， C2线圈为 100 匝求： （ 1）两线圈的互感 M； （ 2） C2线圈中 的电流以 50As-1的速率减少时， C1中的感应电动势为 多少？ 解答 (1)设大 线圈中通以电流 I2， N2匝线圈形成的环电流在圆心产生的磁感应强度为 B = 0N2I2/2R， 小线圈中的全磁通为 12 = N1BS =0N1N2I2S/2R， 互感系数为 M = 12/I2 = 0N1N2S/2R = 410-750100210-4/20.2=10-6(H) (2) C1中的感应电动势的大小为 = MdI2/dt = 10-650 = 510-5(V) 16.1
14、7 长直导线与矩 形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行，矩形线 圈的边长分别为 a、 b，它到直导线I2 C2 C1 图 16.16 I b c a 图 16.17 的距离为 c（如图），当矩形线圈中通有电流 I = I0sint时，求直导线中的感应电动势 解答 如果在直导线中通以稳恒电流 I，在距离为 r处产生的磁感应强度为 B = 0I/2r 在矩形线圈中取一面积元 dS = bdr，通过线圈的磁通量为 00dd l n22acScI b r I b acBS rc ， 互感系数为 0 ln2 b acM Ic 当线圈中通以交变电流 I = I0sint时，直导线中的感应电动势大小 为 0 0d ( l n ) c o sd2 bI a cM I ttc 16.18 在长圆柱形的纸筒上绕有两个线圈 1 和 2，每个线圈的自感都是 0.01H，如图所示求： （ 1）线圈 1 的 a 端和线圈 2 的 a端相接时， b 和 b之间的自感L 为多少？ （ 2） 线圈 1 的 b 端和线圈 2 的 a端相接时， a 和 b之间的自感 L 为多少？ 解 答 （ 1）当线圈 1 的 a 端和线圈 2a b b a 图 16.18
