1、 1 第 1 章 质点运动学 习 题 一 选择题 1-1 对质点的运动，有以下几种表述，正确的是 (A)在直线运动中，质点的加速度和速度的方向相同 (B)在某一过程中平均加速度不为零，则平均速度也不可能为零 (C)若某质点加速度的大小和方向不变，其速度的大小和方向可不断变化 (D)在直线运动中，加速度不断减小，则速度也不断减小 解析： 速度是描述质点运动的方向和快慢的物理量，加速度是描述质点运动速度变化的物理量，两者没有确定的对应关系，故答案选 C。 1-2 某质点的运动方程为 )(1232 3 mttx ，则该质点作 (A)匀加速直线运动，加速度沿 ox 轴正向 (B)匀加速直线运动，加速度
2、沿 ox 轴负向 (C)变加速直线运动，加速度沿 ox 轴正向 (D)变加速直线运动，加速度沿 ox 轴负向 解析： 229dxvtdt ， 18dvatdt ， 故答案选 D。 1-3 一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为 v ，瞬时速率为 v ，某一段时间内的平均速率为 v ，平均速 度为 v ，他们之间的关系必定有 (A) vv ， vv (B) vv ， vv (C) vv ， vv (D) vv ， vv 解析：瞬时速度的大小即瞬时速率，故 vv ；平均速率 sv t ，而平均速度 trv= ，故 vv 。答案选 D。 1-4 质点作圆周运动时，下列表述中正确的是 2 (A)速
3、度方向一定指向切向，所以法向加速度也一定为零 (B)法向分速度为零， 所以法向加速度也一定为零 (C)必有加速度，但法向加速度可以为零 (D)法向加速度一定不为零 解析： 质点作圆周运动时， 2nt v d vaa dt n t n ta e e e e，所以 法向加速度一定不为零，答案选 D。 1-5 某物体的运动规律为 2dv kv tdt ，式中， k 为大于零的常量。当 0t 时，初速为 0v ，则速率 v 与时间 t 的函数关系为 (A) 2012v kt v(B) 20112ktvv (C) 2012v kt v (D) 20112ktvv 解析： 由于 2dv kv tdt ，所
4、以020 ()vtv dv kv t dt，得到 20112ktvv， 故答案选 B。 二 填空题 1-6 已知质点位置矢量随时间变化的函数关系为 2= 4t + (2t+ 3)r i j，则从0t 到 1ts 时的位移为 ， 1ts 时的加速度为 。 解析： 4 5 3 4 2 1 0 1 0r r r i j j i j, 22 8dddt dt 1 1 1vrai1-7 一质点以初速 0v 和抛射角 0 作斜抛运动，则到达最高处的速度大小为 ，切向加速度大小为 ，法向加速度大小为 ，合加速度大小为 。 解析：以初速 0v 、抛射角 0 作斜抛 的运动方程： 3 20 0 0 0 1c o
5、 s ( s i n )2v t v t g t r i j， 则0 0 0 0c o s ( s i n )d v v g tdt rv i j， d gdt vaj。 到达最高处时，竖直方向上 的 速度 大小 00sin 0jv v gt ，此时速度大小即 为水平方向上的速度值 00cosiv v v 。切向加速度大小 0t dva dt， 法向加速度大小 22nta a a g 。 1-8 一飞轮做匀减速转动，在 5s 内角速度由 40 rad s 减到 10 rad s ，则飞轮在这 5s 内总共转过了 圈，飞轮再经过 的时间停止转动。 解析：角加速度 22 1 0 4 0 65ddd
6、 t d t ，所以 角速度0 4 0 6tt ，角度 220 1 4 0 32t t t t 。 因此， 飞轮在这 5s 内总共转过了 50 125 6 2 . 52 2 2N 圈，再经过0 1 0 1 .6 76t 秒后停止转动。 1-9 一质点从静止出发沿半径为 3m 的圆周运动，切向加速度为 23ms 并保持不变，则经过 s 后它的总加速度恰好与半径成 45 角。在此时间内质点经过的路程为 m ，角 位 移为 rad ，在 1s 末 总加速度大小为 2ms。 解析： 由 0 0v 、 3Rm 、 23/t dva m sdt可得， 0 3tv v a t t ， 2 23n vatR。
7、 总加速度 恰好与半径成 45 角意味着 ntaa ，可得 1ts 。 在此时间内经过的角位移 22201 1 1 11 1 3( ) 0.52 2 2ta tt t t radRR ，路程1 1.5s R m， 在 1s 末总加速度大小为 2 2 4 21 119 9 4 . 2 /nta a a t m s 。 1-10 半径为 30cm 的飞轮，从静止开始以 0.5 rad s 的匀角速度转动，则飞4 轮边缘上一点在飞轮转过 240 时的切向加速度 ta ，法向加速度na 。 解析：匀速转动的线速度大小 0.15 /v R m s ，所以 0t dva dt，2 220 .0 7 5 /
8、n va m sR 。 三 计算题 1-11 一电子的位置由 23 .0 0 4 .0 0 2 .0 0tt r i j k描述，式中 t 单位为 s , r 的单位为 m 。 (1) 求电子 任意时刻 的速度 v ， (2) 在 2.00ts 时，电子速度 的 大小。 解析： (1) 38d tdt rv i j (2)由于 2 3 16v i j ,所以 可 以求 出 在 2ts 时， 电 子速 度 的 大小2 2 2 23 ( 1 6 ) 1 6 . 3 ( / )ijv v v m s 。 1-12 质点作直线运动，其运动方程为 212 6x t t( 式中 x 以 m 计， t 以
9、s 计），求： (1) 4ts 时，质点的位置，速度和加速度； (2) 质点通过原点时的速度； (3)质点速度为零时的位置； (4) 作 xt 图， vt 图， at 图。 解析： (1)由运动方程 212 6x t t可得， 12 12dxvtdt ， 12dva dt 。 4ts 时 ， 4 48xm ， 4 36 /v m s ， 24 12 /v m s 。 (2)质点通过原点时 , 0x ，所以 02t s s 或 ，得到 12 / 12 /v m s m s或 。 (3)质点速度为零时 ， 1ts ，此时 6xm 。 (4)略。 1-13 一质点沿 x 轴运动，加速度 2 , 0a
10、 t t 时 003 , 1x m v m s。求：（ 1）t 时刻质点的速度和位置；（ 2）速度为零时质点的位置和加速度；（ 3）从开始5 （ 0t ）到速度为零这段时间内质点的位移大小。 解析： (1) 2dvatdt ， 0 1v ms ，所以 20 00( 2 ) 1 2 1tttv v t d t td t t 。又因为 21dxvtdt ， 0 3xm ，所以 230 0 1(1 ) 3 3ttx x t d t t t 。 (2) 0v 时， 1ts ，此时1 1 1131 33xm ， 21 2/a m s 。 (3)10 1 1 2333x x x m 。 1-14 质点沿直
11、线运动，速度 3232v t t ( 式中 v 以 /ms计， t 以 s 计 ) ，如果当 2ts 时，质点位于 4xm 处，求 3ts 是时质点的位置 、 速度和加速度。 解析：由 3232dxv t tdt 得： 3 2 4 3 4 322 211( 3 2 ) 4 ( 2 ) 2 1 244 ttx x t t d t t t t t t t ， 236dva t tdt ， 所以， 3 41.25xm ， 3 56 /v m s ， 23 45 /x m s 。 1-15 质点沿直线运动 ,加速度 24at ( 式中 a 以 2/ms计， t 以 s 计），如果当 3ts 时，质点位
12、于 9xm 处， 2/v m s ，求质点的运动方程。 解析：由 24dvatdt 得， 2 3 33 3 311( 4 ) 2 ( 4 ) 4 133ttv v t d t t t t t 。又因为 dxv dt ，所以 3 4 23 3 1 1 3( 4 1 ) 23 1 2 4tx x t t d t t t t 。 1-16 一个质点自原点开始沿抛物线 22yx 运动，它在 x 轴上的分速度为一常量，其值为 4.0 /ms，求质点在 2xm 处的速度和加速度。 解析： x轴：004 4 4xtx dxv d x d t x tdt ， y 轴： 221 82y x t。 6 质点在 2
13、xm 处 ， 0.5ts 。 因为 16y dyvtdt， 216 /yy dva m sdt， 0xa ，所以2 8/y xv m s 。 故 4 8 ( / )ms2v i + j ， 216 ( / )ms2aj 。 1-17 （ 1） 若已知一 质 点的位置由 24 12 3x t t (式中 t 的单位为 s , x 的单位为 m )给出，它在 1ts 末的速度为何值？ （ 2） 该时刻质点正在向 x 的正方向还是负方向运动？ （ 3） 该时刻质点速率为何值？ （ 4） 3ts 后，质点是否在某一时刻向 x 轴负方向运动？ 解析： (1) 12 6dxvtdt ，所以 1 1 2 6
14、 6 /v m s ，即 6 ( / )msvi 。 (2)负方向。 (3) 6 6 /ms vi 。 (4)因为 12 6vt ，若负向运动则 0v ， 2t ，所以 3ts 后，质点 不会 在某一时刻向 x 轴负方向运动 。 1-18 已知质点的运动方程为： 22 , 2x t y t (x ， y 以 m 为单位， t 以 s 为单位 )。 （ 1） 求质点运动运动的轨道方程； （ 2） 写出 1ts 和 2ts 时质点的位置矢量，并计算 1s 到 2s 的平均速度； （ 3） 计算 1s 末和 2s 末的瞬时速度； （ 4） 计算1s 末和 2s 末的瞬时加速度。 解析： (1) 22
15、 , 2x t y t ，所以 212 4yx 。 (2)22 ( ) , 4 2 ( ) , 2 3 ( / )m m m st 1 rr i + j r i j v i j。 (3) 2 , 2xyd x d yv v td t d t ，所以 2 2 ( / ) , 2 4 ( / )m s m s 12v i j v i j。 (4) 0 , 2yxxy dvdvaad t d t ，所以 222 ( / ) , 2 ( / )m s m s 12a j a j。 1-19 一小轿车作直线运动，刹车时速度为 0v ，刹车后其加速度与速度成正7 比而反向，即 kva ， k 为已知的大于
16、零的常量。试求：（ 1）刹车后轿车的速度与时间的函数关系；（ 2）刹车后轿车最多能行多远？ 解析： (1)0 01 ln v ktvdva k v k d t d v k t v v v ed t v 。 (2) 00 00 0( ) ( 1 )txk t k t k tvd x d x kv v e e d k t d x x ed t d t v k ， 当 t 时， 0max vxx k。 1-20 一质点沿 Ox 轴作速直线运动，加速度为 kxa ， k 为一正的常量，假定质点在 0x 处的速度是 0u ，试求质点速度的大小 v 与坐标 x 的函数关系。 解析：因为 d x d x d
17、 v d x d xv a k xd t d v d t d v d v ，所以00()vxuxvdv kx dx ，两边积分后可以得到 2 2 200v u kx kx 。 1-21 一飞轮以 1500 minnr 的转速运动，受到制动后均匀地减速，经50ts 后静止。试求：（ 1）角加速度 ：（ 2）制动后 25ts 时飞轮的角速度，以及从制动开始到停转，飞轮的转数 N ；（ 3） 设 飞轮的半径 mR 1 ，则 25ts 时飞轮边缘上一点的速度和加速度的大小。 解析： (1)因为 1 5 0 0 m i n 5 0 /n r ra d s ，所以 2/d rad sdt 。 (2) 0
18、5 0 2 5 2 5 /t t r a d s ， 因为 20 1 12502t t ra d ，所以 1250 62502Nr。 (3) 2 2 22 5 / , 6 2 5 /ttv R m s a R m s 。 1-22 一质点沿半径为 R 的圆周运动，质点所经过的孤长与时间的关系为221ctbts ，其中 b 、 c 为常量，且 2Rc b ，求切向加速度与法向加速度大小相等之前所经历的时间。 解析：因为 dsv b ctdt ，所以t dvacdt， 22()n v b cta RR。 8 若 tnaa ，则 2()b ctc R ，即 Rc b ct 。 又因为 2Rc b ，
19、所以 Rc b ct ，即 Rbtcc。 1-23 一质点做半径 10rm 的圆周运动，其角加速度 2rad s ，若质点由静止开始运动，求 （ 1） 质点在第一秒末的角速度，法向加速度和切向加速度；（ 2） 总加速度的大小和方向。 解析： (1) 100 /d d d t r a d sdt , 所以 2 2 2 21 0 / , 1 0 /nta r m s a r m s 。 (2) 2 2 2 21 0 1 /nta a a m s ， 由 ntatg a可知，与切向夹角为 arctg 。 1-24 以初速度 0v 与地面成 角向斜上抛出一物体，如果物体达到的最大高度为 3m ，且在最高点时运动轨道的半径亦为 3m ，忽略空气阻力，求 0v 与 的值。 解析：联立 220 200 ( s in ) 2 3( c o s )3vgvg 得： 220220sin 6cos 3vg ， 所以 0 3 9 . 4 / , 2 5 4 4 4v g m s a rc tg 。
