1、 1 第五章 热力学基础 5 1 在水面下 50.0 m深的湖底处（温度为 4.0），有一个体积为 1.010-5 m3的空气泡升到湖面上来，若湖面的温度为 17.0，求气泡到达湖面的体积。（大气压 P0 = 1.013105 Pa） 分析： 将气泡看成是一定量的理想气体，它位于湖底和上升至湖面代表两个不同的平衡状态。利用理想气体物态方程即可求解本题。位于湖底时，气泡内的压强可用公式ghpp 0 求出，其中 为水的密度（常取 = 1.0103 kgm3）。 解： 设气泡在湖底和湖面的状态参量分别为（ p1， V1， T1）和 （ p2， V2， T2）。由分析知湖底处压强为 ghpghpp 0
2、21 。 利用理想气体的物态方程可得空气泡到达湖面的体积为 3510120121212 m1011.6 Tp VTghpTp VTpV 5 2 氧气瓶的容积为 3.210-2 m3，其中氧气的压强为 1.30107 Pa，氧气厂规定压强降到 1.00106 Pa时，就应重新充气，以免经常洗瓶。某小型吹玻璃车间，平均每天用去 0.40 m3 压强为 1.01105 Pa的氧气，问一瓶氧气能用多少天？（设使用过程中温度不变） 分析： 由于使用条件的限制，瓶中氧气不可能完全被使用。从氧气质量的角度来分析。利用理想气体物态方程 pV = mRT/M 可以 分别计算出每天使用氧气的质量 m3 和可供使用
3、的氧气总质量（即原瓶中氧气的总质量 m1 和需充气时瓶中剩余氧气的质量 m2 之差），从而可求得使用天数 321 /)( mmmn 。 解： 根据分析有 RT VMpmRT VMpmRT VMpm 333122111 ； 则一瓶氧气可用天数 5.933121321 Vp Vppm mmn 5 3 一抽气机转速 =400rmin-1，抽气机每分钟能抽出气体 20升。设容器的容积 V0=2.0升，问经过多长时间后才能使容器内的压强由 1.01105 Pa 降为 133Pa。设抽气过程中温度始终不变。 分析： 抽气机每打开一次活门 , 容器内气体的容积在等温条件下扩大了 V，因而 压强有所降低。活门
4、关上以后容器内气体的容积仍然 为 V0 。下一次又如此变化，从而建立递推关系。 2 解： 抽气机抽气体时，由玻意耳定律得： 活塞运动第一次 ： )( 0100 VVpVp 00 01 pVV Vp 活塞运动第二次 ： )( 0201 VVpVp 02001002 pVV VpVV Vp 活塞运动第 n 次： )( 001 VVpVp nn nn VV Vpp 0 00VVVnppn n 000ln 抽气机每次抽出气体体积 l05.0l)4 0 0/20( V l0.20V Pa1001.1 50 p Pa133np 将上述数据代入（ 1）式，可解得 276n 。则 s40s60)4 0 0/2
5、 7 6( t 5 4 l.0 mol 的空气从热源吸收了热量 2.66105J，其内能增加了 4.18105J，在这过程中气体作了多少功？是它对外界作功，还是外界对它作功？ 解： 由热力学第一定律得气体所作的功为 J1052.1 5 EQW 负号表示外界对气体作功。 5 5 1mol 双原子分子的理想气体 ， 开始时处于 P1=1.01105Pa， V1=10-3m3 的状态。然后经 本题 图示直线过程 变到 P2=4.04105Pa， V2=210-3m3 的状态。后又经过程方程为PV1/2=C（ 常量 ） 的过程 变到压强 P3=P1=1.01105Pa 的状态。求： （ 1） 在过程
6、中的气体吸收的热量； （ 2） 整个过程气体吸收的热量。 解： （ 1）在过程 I 中气体对外作的功 2/)( 12211 VVppA 在过程 I 中气体内能增量 )(25)(25 1122121 VpVpTTRE 在过程 I 中气体吸收的热量 JEAQ 311 1002.2 （ 2）在过程 II 中气体对外作的功 P O V II I 习题 5 5图 1 2 3 3 )(2 2233222 3232 VpVpVdVVppdVA VVVV 由 常量21pV 可算得 333 1032 mV ，带入上式得 JA 32 1085.4 整个过程中气体对外作功 JAAA 321 101.5 整个过程中气
7、体内能增量 JTTRE 313 1083.7)(25 整个过程中气体吸收的热量 JAEQ 41029.1 5 6 如本题图所示，系统从状态 A 沿 ABC 变化到状态 C 的过程中，外界有 326J 的热量传递给系统，同时系统对外作功 126J。当系统从状态 C 沿另一曲线返回到状态 A 时，外界对系统作功为 52J，则此过程中系统是吸热还是放热？传递热量是多少？ 分析： 已知系统从状态 C 到状态 A，外界对系统作功为 WCA，如果再能知道此过程中内能的变化为CAE，则由热力学第一定律即可求得该过程中系统传递的热量 QCA。由于理想气体的内能是状态（温度）的函数，利用题中给出的 ABC 过程
8、吸热、作功的情况，由热力学第一定律即可求得由 A 至 C 过程中系统内能的变化ACE，而CAAC EE ，故可求得 QCA。 解： 系统经 ABC 过程所吸收的热量及对外所作的功分 别为 J1 2 6J,3 2 6 A BCA BC WQ 则由热力学第一定律可得由 A 到 C 过程中系统内能的增量 J2 0 0A B CA B CAC WQE 由此可得从 C 到 A，系统内能的增量为 J200CA E 从 C 到 A，系统所吸收的热量为 J2 5 2CACACA WEQ 习题 5 6 图 4 式中负号表示系统向外界放热 252 J。这里要说明的是由于 CA 是一未知过程。上述求出的放热是过程的
9、总效果，而对其中每一微小过程来讲并不一定都是放热。 5 7 空气由压强为 1.52105 Pa，体积为 5.010 3 m3，等温膨胀到压强为 1.01105 Pa，然后再经等压压缩到原来的体积。试计算空气所作的功。 解： 空气在等温膨胀过程中所作的功为 2111121T lnln ppVpVVRTMmW 空 气在等压压缩过程中所作的功为 212p d VVpVpW 利用等温过程关系 2211 VpVp ，则空气在整个过程中所作的功为 J7.55ln 11122111pT VpVpppVpWWW 5 8 如本题图所示，使 l mol 氧气（ 1）由 A 等温地变到 B；（ 2）由 A 等体地变
10、到 C，再由 C 等压地变到 B，试分别计算氧气所作的功和吸收的热量。 分析： 从 p V 图上可以看出，氧气在 AB 与 ACB 两个过程中所作的功是不同的，其大小可通过 VVpW d 求出。考虑到内能是状态的函数，其变化值与过程无关，所以这两个不同过程的内能变化是相同的，而且因初、末状态温度相同 BA TT ，故 0E ，利用热力学第一定律 EWQ ，可求出每一过程所吸收的热量。 解： （ 1）沿 AB 作等温膨胀的过程中，系统作功 J1077.2lnln 3ABAAABAB VVVpVVRTMmW由分析可知在等温过程中，氧气吸收的热量为 J1077.2 3ABAB WQ （ 2）沿 A
11、到 C 再到 B 的过程中系统作功和吸热分别为 J100.2 3CBCCBCBACA C B VVpWWWW J100.2 3A C BA C B WQ 5 9 一定量的某单原子分子理想气体装在封闭的气缸里 ， 此气缸有可活动的活塞 （ 活塞与气缸壁之间无摩擦且无漏气 ） 。已知气体的初压强 P1=1atm,体积 V1=10-3m3，现将该气体在等压下加热直到体积为原来的两倍 ,然后在等体下加热 ,到压强为原来的 2倍 ,最后作绝热膨胀 ,直到温度下降到初温为止 ,试求：在整个过程中气体内能的改变、吸收的热量和所作的功。 解： 因为14 TT，所以内能增量为 零。 习题 5 8 图 5 Jpp
12、VVVpQ 2111111 106.5)2(223)2(25 JQA 2106.5 5 10 有 1mol 刚性多原子分子的理想气体 ,原来的压强为 1.0atm,温度为 27 ,若经过一绝热过程 ,使其压强增加到 16atm。试求 :(1) 气体内能的增量； (2) 在该过程中气体所作的功； (3) 终态时气体的分子数密度。 解： （ 1） KppTT 6 0 012112 JTTRiME 312 10479.7)(2 （ 2） JEA 310479.7 （ 3） 32622 /1096.1 mkTpn 个 5 11 有一绝热的圆柱形的容器，在容器中间放置一无摩擦、绝热的可动活塞，活塞两侧各
13、有 摩尔同种单原子分子 理想气体，初始时， 两侧的 压强、体积、温度均为（ P0， V0，T0） 。气体的 定容摩尔 热容量 为 CV 3R/2。现将一通电线圈放在活塞左侧气体中，对气体缓慢加热。左侧气体膨胀，同时压缩右方气体，最后使右方气体体积为 V2 V0/8。求：（ 1）左、 右两侧气体的终温是多少 ? （ 2） 左侧气体吸收了多少热量 ? 解： （ 1）右则气体经历一绝热过程，初态 000 TVP 、终态 222 TVP ， 由方程 122100 VTVT 得出右侧气体末态温度： 0013/501202 48 TTTVVT 由理想气体物态方程，右侧气体终态压强为 002 2002 32
14、 PTV TVPP 由于活塞是可动的，左、右两侧的 压强应相同： 021 32PPP ， 左侧末态体积： 0201 8152 VVVV 左侧气体末态温度： 00000 111 6081532 TTTVP VPT （ 2） 6 000021 936223)2(UUWVPTRTTTCUQV 右左右左左 5 12 如本题图所示， 有一除底部外都是绝热的气筒，被一位置固定的导热板隔成相等的两部分 A 和 B，其中各盛有一摩尔的理想气体氮。今将 334.4J 的热量缓慢地由底部供给气体，设活塞上的压强始终保持为 1.01105Pa，求 A 部和 B 部温度的改 变以及各吸收的热量 (导热板的热容可以忽略
15、 )。若将位置固定的导热板换成可以自由滑动的绝热隔板，重复上述讨论。 解： （ 1）导热板固定， A 中气体为等容加热； B 中气体为定压膨胀，且为准静态的，搁板导热， TTT BA TCCTCTCQ VPAVBP KRQRR QCC QTVP71.631.86 4.33462527JTRTCQ VA 4.13971.631.82525 JQQQ AB 1954.1394.334 （ 2）隔板活动， A 气体等压膨胀；隔板绝热， B 中气体温度不变。 0BQ 0BT TCQQ PA KRQCQT P 50.1131.87 4.3 3 4272 5 13 0.32 kg 的氧气作如本题图所示的
16、ABCDA 循环，设 V2 2V1， T1 300K， T2200K，求循环效。（氧气的定体摩尔热容的实验值为 CV= 21.1 Jmol-1K-1） 分析： 该循环是 正循环。循环效率可根据定义式 QW/来求出，其中 W 表示一个循环过程系统作的净功， Q 为循环过程系统吸收的总热量。 解： 根据分析，因 AB、 CD 为等温过程，循环过程中系统作的净功为 J1076.5lnlnln31221212121CDABVVTTRMmVVRTMmVVRTMmWWW由于吸热过程仅在等温膨胀（对应于 AB 段）和等体升压（对应于 DA 段）中发生，而等温过程中 0E ，则 ABAB WQ 。等体升压过程
17、中 W = 0，则 DADA EQ ，所以，循环习题 5 13图 习题 5 12 图 7 过程中系统 吸热的总量为 J1084.3ln 421mV,121DAABDAABTTCMmVVRTMmEWQQQ由此得到该循环的效率为 %15 QW 5 14 如本题图所示，某理想气体循环过程的 V T 图。已知该气体的定压摩尔热容CP = 2.5R，定体摩尔热容 CV = 1.5R，且 VC =2VA。试问：（ 1）图中所示循环是代表致冷机还是热机？（ 2）如是正循环（热机循环），求出循环效率。 分析： 以正、逆循环来区分热机和致冷机是针对 p V图中循环曲线行进方向而言的。因此，对图中的循环进行分析时
18、，一般要先将其转换为 P V 图。由图可以看出，BC 为等体降温过程， CA 为等温压缩过程；而 AB 过程为等压膨胀过程。这样，就可得出 p V 图中的过程曲线，并可判别是正循环。 解： （ 1）根据分析，将 V T 图转换为相应的 p V 图，如图所示。图中曲线行进方向是正循环，即为热机循环。 （ 2）根据得到的 p V 图可知， AB 为等 压膨胀过程，为吸热过程。 BC 为等体降压过程，CA 为等温压缩过程，均为放热过程。故系统在循环过程中吸收和放出的热量分别为 ABmp,1 TTCMmQ ACACBmV,2 ln VVRTMmTTCMmQ CA 为等温线，有 CA TT ； AB 为
19、等压线，且因 AC 2VV ，则有 2BA TT 。故循环效率为 %3.12/2ln11 Amp,AAmV,12 TCRTTCQQ 5 15 有一以理想气体为工作物质的热机，其循环如本题图所示，试证明热机效率为 1112121 pp VV 分析： 该热机由三个过程组成，图中 AB 是绝热过程， BC 是等压压缩过程， CA 是等体升压过程。其中 CA 过程系统吸热， BC 过程系统放热。本题可从效率定义CABC12 11 QQQQ 。出发，利 用热力学 第一定律 和等体、 等压方程 以及mV,mp, / CC 的关系来证明。 证： 该热机循环的效率为 习题 5 14图 T V 8 CABC12
20、 11 QQQQ 其中 CAmV,CABCmp,BC , TTCMmQTTCMmQ ， 则上式可写为 1111 CA CBCA BC TT TTTT TT 在等压过程 BC 和等体过程 CA 中分别有 2C1A2C1B , PTPTVTVT 代人上式得 111 21 21 pp VV 证毕。 5 16 汽油机可近似地看成如图所示的理想循环，这个循环也叫做奥托（ Otto）循环，其中 DE 和 BC 是绝热过程。证明此热机的效率为 1)(1 BCVV 证： （ 1）该循环仅在 CD 一过程中吸热， EB 过程中放热。则热机效率为 CDBECDmV,BEmV,CDEB 111 TTTTTTCMmT
21、TCMmQQ （ 2）在过程 BC 和 DE 中，分别应用绝热方程CTV 1 ，有 1CC1BB VTVT 1CD1BE VTVT 由上述两式可得 习题 5 15 图 习题 5 16 图 9 1BCCDBEVVTTTT将此结果代人（ 1）中。即可得 1BC1 VV 5 17 在夏季，假定室外温度恒定为 37 ，启动空调使室内温度始终保持在 17、如果每天有 2.51108 J 的热量通过热传导等方式自室外流人室内，则空调一天耗电多少？（设该空调致冷机的致冷系数为同条件下的卡诺致冷机致冷系数的 60） 分析： 耗电量的单位为 kWh， 1kWh = 3.6106 J。因为卡诺致冷机的致冷系数为
22、212k TTTe ，其中 T1 为高温热源温度（室外环境温度）， T2 为低温热源温度（室内温度）。所以，空调的致冷系数为 212k 6.0%60 TTTee 另一方面，由致冷系数的定义，有 212 QQQe 其中 Q1 为空调传递给高温热源的热量，即空调向室外排放的总热量； Q2 是空调从房间内吸取的 总热量。若 Q为室外传进室内的热量，则在热平衡时 QQ 2 。由此，就可以求出空调的耗电作功总值 21 QQW 。 解： 根据上述分析、空调的致冷系数为 7.86.0 212 TTTe 在室内温度恒定时，有 QQ 2 。由 212 QQQe 可得空调运行一天所耗电功 hkW0.8J1089.
23、2 7221 eQeQQQW 5 18 设一质量为 m克的物体具有恒定的比热 c。 (1) 当此物体由温度 T1 加热到 T2 时，其熵的变化为多少？（ 2）当温度下降却时这物体的熵是否减小？如果减小，那么在这样的过程中宇宙的总熵是否减小？ 解： （ 1） Tmc d TTdQds 则 212121TT TTSS TdTmcTm cd Tds 1212 ln TTmcSS （ 2）冷却时 T2T1， S2S1 0，即 S2 S1 熵减小 (3) 物体冷却时，周围环境的熵增加，宇宙的总熵不会减小 5 19 一黄铜棒的一端与 127的热库接触，而另一端与 27的热库接触。试问： 10 （ 1） 当
24、有 1200 卡的热量通过这棒时，在这传导过程中所发生的熵的总变化为多大？ （ 2） 在这传导过程中棒的熵是否改变？ 解： （ 1） K.J2.4k/c a l0.1)3141(123 0 01 2 0 04 0 01 2 0 0S （ 2）在这传导过程中棒的熵不改变。 5 20 让一摩尔的单原子理想气体由压强为 P 与体积为 V 的初态，经历两个不同过程改变到压强为 2P 与体积为 2V 的终态。（ 1）先让此理想气体等温地膨胀到体积加倍为止，然后在恒定体积下将压强增大到终态。（ 2）先让此理想气体等温地压缩到压强加倍为止，然后在恒定压强下将体积增大到终态。试分别对此两个过程计算理想气体熵的
25、变化。 解： 熵是态函数 S=Sf Si 与路线无关 由 dRTdTCT pdvdETdQds V 有 2ln42ln4ln232lnln232lnln23 lnln112212 RRRRVPVPRVVRTTVVRTTCdRTdTCSSififTTVViffifi 5 21 如本题图所示， 一长为 0.8m 的圆柱形容器被一薄的活塞分隔成两部分。开始时活塞固定在距左端 0.3m 处。活塞左边充有 1mol， 5105Nm-2 的氦气，右边充有 1105Nm-2的氖气。它们都是理想气体。将气缸浸入 1 升水中，开始时整个物体系的温度均匀地处于25C。气缸及活塞的热容可不考虑。放松以后振动的活塞最
26、后将位于一新的平衡位置，试问（ 1）水温升高多少？（ 2）活塞将静止在距气缸左边多大距离位置？ （ 3）物体系的总熵增加多少？ 解： （ 1）系统处于新的平衡位置后： 11 QWuA 11 QWuB 0 BA uuu TT 温度不变 （ 2）设新平衡后，活塞位于距 A 处 x ，（活塞截面为 S） A 端： 11010 TPVTVP PxSS 3.0105 5 B 端： 22020 PVVP SxPS 8.05.0101 5 两式相除： xx 8.03 mx 6.0 （ 3）整个气体的熵变等于氦气的熵变和氖气的熵变之和。注意温度始终不变。利用理想气体熵变公式，则 VV RVV RSSS SeSSe dd Ne25.0 5.0H6.0 3.0NHe 习题 5 21 图
