1、普遍定理 部分测验 班级 : 学号 : 姓名 : 一 是非判断题 （ 10 分） 1. 质点系动量的方向不一定是外力系主矢的方向。（ ） 2. 从高度 h 处以相同的初速 0v ，但以不同的角速度发射物体，当物体落到地面时，其动能不同。 （） 3. 如果质点系的质心速度为零，则质点系对任一固定点的动量矩都一样 。（ ） 4. 力 22( ) / ( )F xi yj x y 是有势力（ 保守力）。 （ ） 积分与路径无关的条件： 0F dr ()F dr F dS （斯托克斯公式） ()000 xy x yxyi j ky z x yr o t F F i j kxzx y z FF F FF
2、F ()yxxz FFFF i j kz z x y ()y xF F kxy 保守力的条件： y xF Fxy （格林公式，二维斯托克斯公式） 本例：2 2 22()y xF F xyx y x y 5. 摩擦力 可以作正功。 ( ) 二 选择题 （ 15 分） 1 图示一质点无初速地从位于铅垂面内的圆的顶点 O 出发，在重力作用下沿通过 O 点的弦OA， OB， OC 运动。设摩擦不计。对比质点走完任一条弦所需要的时间， （ D ）。 A沿 OA弦用时越少； B. 沿 OB 弦用时越少； C. 沿 OC 弦用时最少； D. 沿所有的弦用时相同。 2. 质量为 m 的小球沿铅垂方向运动，受介
3、质阻力 FvR k ，在图示情况下，质点的运动微分方程为（ A ）。 A my mg ky； B my mg ky； C my mg ky ； D my mg ky 3. 如图所示，在铅垂面内，杆 OA 可绕 O 轴自由转动，均质圆盘可绕其质心轴 A 自由转动。如杆 OA 水平时系统为静止，则自由释放后圆盘作（ C ）运动。 A平面运动； B定轴转时； C平动； D圆周运动 4. 杆 AB 在光滑的水平面上由竖直位置无初速的倒下，其质心的轨迹为（ D ）。 A. 圆； B.椭圆； C.抛物线； D. 竖直线 5. 无重细绳 OA 一端固定于 O 点，另一端系一质量为 m 的小球（小球尺寸不计）
4、，在光滑的水平面内绕 O 点运动。该平面上另一点 1O 是一销钉，当绳碰到 1O 后， A 球即绕 1O 转动，如图所示。在绳碰到 1O 点瞬间前后下述说法正确的是（ B ）。 A球 A 对 O 点的动量矩守恒； B球 A 对 1O 点的动量矩守恒； C绳索张力不变； D 球 A 的加速度不变 A B C O OvyO1OAvm第 二（ 1）题图 第 二（ 2）题图 第 二（ 3）题图 第 二（ 4）题图 三 填空题 （ 40 分） 1.机构某瞬时位置如图所示，各物体为均质且质量为 m ，设 2OA r ，圆柱半径为 r ， OA的角速度为 ，圆柱作纯滚动，则系统的动量为（ 5mr ），方向为
5、（ ）；动能为（ ）；对轴 O 的动量矩为（ ）。 2.如图所示，质量分别为 1mm ， 2 2mm 的两个小球 1M ， 2M 用长为 l 的无重刚杆相连，现将 1M 置于光滑水平面上，使 12MM 连线与水平面成 060 角。则当无初速释放 2M 落地时，1M 球移动的水平距离为（ 3l ） 。 3. 均质杆 AB 质量为 m， D 处 是 光滑支座， B 端用细绳悬挂，水平位置平衡。当 B 端细绳突然剪断，杆角加速度大小为（ 127gl ）。 DDJM 22211 2 4DC lJ J m d m l m 2 2 21 1 71 2 1 6 4 8m l m l m l 4D lM mg
6、 24 8 1 2/ 4 7 7DD m g l gMJ m l l 4. 图示均质杆 AB 质量为 m， 长为 l ，放在铅直平面内，杆的一端 A 靠在光滑铅直墙上，另一端 B 放光滑的水平地板上，并与铅直墙面成 0 角。杆由静止状态倒下。杆在任意位置时的角加速度为（ 3 sin2gl ）。 sin2O lJP ， 4l 34lA BD C222111 2 2 3O lJ m l m m l ， 213s in / s in2 3 2lgP m l l 5. 一均质圆盘在光滑水平面内以角速度 绕它边缘上一点 A 在自身平面内转动。若点 A 突然被解脱，同时圆盘边缘上的另一点 B 突然被固定。
7、已知 AB 弧所对的圆心角为 ，则圆盘绕点 B 转动的角速度（ ）。 第三（ 5）题 对 B 点动量矩守恒 碰撞前： s i n ( )2BCL J m R R 221 c o s2 m R m R 21( cos )2 mR 碰撞后： / 2 2 / 2 /13()22BBL J m R m R m R / 1 2 cos3 第 四 题 图示系统， A 处光滑，绳 BD 铅垂，杆长为 L， 质量为 m， 045 。求剪断 BD 绳瞬时，均质杆 AB 的角加速度及地面约束力。 分析：剪断后，杆的自由度大于，不能用动能法求加速度。因此本题采用刚体平面运动微分方程求解。 解： 1研究对象： AB
8、杆， 2受力分析： BD 绳剪断后，其受力如图所示， FANgm3列方程求解： 动力学方程： 0cxma cy ANma mg F 21 c os12 2AB AN lm l F cxa 、 cxa 、 AB 、 ANF 四个未知力三 个方程。 运动学补充方程， 以 A 点为基点，分析 C 点加速度 a a a a nC A CA CA 方向 ？ AB CA 大小 ？ ？ 2ABl0 其中：运动初始时， AB 杆角速度为零，因此 2 02nCA la 。 将加速度矢量式向 y 轴投影 cos2Cy ABla 将 式代入 式 ，得： c os2A N A BmlF m g 将 式代入式： 21
9、c o s( ) c o s1 2 2 2A B A Bm l lm l m g 21 c osc os62A B A Bllg 2(1 3 c o s ) 6 c o sABlg 26 cos(1 3 cos )AB gl 将 AB 代入 式 2c o s 6 c o s2 (1 3 c o s )AN m l gF m g l 223 c o s1 (1 3 c o s ) mg 当 045 时， 625AB gl 35cag 25ANF mg 第 四 题 * 匀质杆 AB 长为 l，重为 P，用两条相互平行的铅垂线吊起，突然将 BE 绳剪断；求：剪断瞬时，绳 AD 内张力及 AB 杆的角
10、加速度 。 解： 1、研究对象： AB 杆； ABaCyaAaCACaCxxy2、受力分析； 3、求 、 T： 0CxagP PTagP Cy cos 302C lJT 运动学补充方程： nCACAAC aaaa 方向 ？ AB CA 大小 ？ ？ 2l 0 将上式向 y 轴投影： 00 c o s 3 0 02Cy la 34Cyal 将式代入式，得： 34PlTP g 将 式代入 式，得 223 3 3 3()1 2 4 4 4 1 6P l P l l P l P lPg g g 213 348 4Pl Plg 12 313 gl将 代入 式： 3 12 34 13Pl gTP gl 9
11、413 13P P P PT 134 第 五 题 滚子 A 质量为 1m ，沿倾角为 的斜面向下只滚不滑，如图所示。滚子借一跨过滑轮xy30A T C P D E CAaAaB B 的绳提升质量为 2m 的物体 C，同时滑轮 B 绕 O 轴转动。滚子 A 与滑轮 B 的质量相等，半径相等，且都为均质圆盘。求滚子重心的加速度和系在滚子上绳的张力。 第 五 题 * 在图示机构中，沿斜面纯滚动的圆柱体 /O 和鼓轮 O 为均质物体，质量均为 m ，半径均为 R。绳子不能伸缩，其质量略去不计。粗糙斜面的倾角为 ，不计滚阻力偶。如在鼓轮上作用一常力偶 M 。求（ 1）鼓轮的角加速度；（ 2）轴承 O 的
12、水平约束力。 分析：本题中系统的自由度为，因此可先用能量法（动能定 理）求加速度，再用矢量法（动量和动量矩定理）求力 解：一 用动能定理求滚子加速度 1 研究对象：系统整体 该系统为单自由度、理想约束系统。 2 受力分析：做功的力有：力偶 M、 滚子 /O 的重力 mg 。 3 列方程求加速度 dT Pdt 2 2 2111 1 12 2 2OT J m v J 式中： 221111, , ,22O vJ m R J m R v R R 代入动能表达式，得 ： 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 12 2 2 2 2T m R m R m R m R s i n ( s i n )P M m g v M m g R 将 T 与 P 代入功率方程： 22() ( s i n )d m R M m g Rdt 22 ( s i n )m R M m g R 2sin2M mgRmR 二 计算轴承 O 处的水平约束力 1 研究对象：轮 O 2 受力分析如图（ c）所示。 3 列方程求解 由刚体定轴转动微分方程 OTJ M F R 解之得： 11( ) ( 3 s i n )4TOF M J M m g RRR 由动量定理 cos 0Ox TFF 1 (6 c o s s i n 2 )8OxF M m g RR
