1、 - 1 - 1. 一个人自原点出发， 25s 内向东走 30m，又 10s 内向南走 10m，再 15s 内向正西北走 18m。求在这 50s内， (1) 平均速度的大小和方向 ; (2) 平均速率的大小。 （图 1 2） 解： 建立如图坐标系。 （ 1） 50 s 内人的位移为 BCABOAr ji jiji 73.227.17 45c os181030 则 50 s 内平均速度的大小为： )sm(35.050 73.227.17 122 trv 方向为与 x 轴的正向夹角： )98.8(98.827.17 73.2tgtg 11 东偏北 xy （ 2） 50 s 内人走的路程为 S=30
2、+10+18=58 (m)，所以平均速率为 )sm(16.15058 1 tSv2. 如图 1 3 所示，在离水面高为 h 的岸上，有人用绳拉船靠岸，船在离岸边 x 处。当人以 v0的 速率收绳时，试问船的速度、加速度的大小是多少 ?并说明小船作什么运动。 O )(东x)(北y)(南（西） 4CBA- 2 - （图 1 3） 解：略 1. 一根直杆在 S系中，其静止长度为 0l ，与 x轴的夹角为，试求它在 S 系 中的长度和它与 x 轴的夹角 (设 S 和 S 系沿 x 方向发生相对运动的速度为 v)。 解： 参见大学物理学习指导 2. 观察者甲和乙分别静止于两个惯性参考系 K 和 K 中，
3、甲测得在同一地点发生的 两个事件的时间间隔为 4s ，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s，求： (1) K 相对于 K 的运动速度 ; (2) 乙测得这两个事件发生的地点的距离。 解： （ 1）甲测得同一地点发生的两个事件的时间间隔为固有时间： s4t 乙测得两事件的时间间隔为观测时间： s5t 由钟慢效应 tt 1 ，即： 54)(1 2 ttcu 可得 K 相对于 K 的速度： cu 53 （ 2）由洛仑兹变换 )( tuxx ，乙测得两事件的坐标差为 )( tuxx 由题意 0x 有： - 3 - )m(1093)53(146.0)(1822cccutux即两事件的距离为 )m(109
4、 8 xL 3. 一电子以 0.99 c (c 为真空中光速 )的速率运动。试求： (1) 电子的总能量是多少？ (2) 电子的经典力学动能与相对论动能之比是多少？ (电子静止质量 kg101.9 31em ) 解： (1) 由相对论质能公式，电子的总能量为 )J(1080.5)99.0(1)103(101.9)/(113228312222cvcmcmmcE ee(2) 电子的经典力学动能为 221 vmE eK ，相对论动能为 22 cmmcE eK ，二者之比为 2131428311328311004.81099.41001.4)103(101.9108.5)10399.0(101.921
5、KKEE4. 设快 速运 动介 子的 能量约 为 MeV3000E ， 而这 种介子 在静 止时 的能 量为VeM1000 E 。若这种介子的固有寿命是 s102 60 ，求它运动的距离 (真空中光速度-18 sm109 9 7 9.2 c )。 解 ：先求出快速运动介子的运动速度，这个寿命乘以 0 即可。 - 4 - 三 计算题 1.飞机降落时的着地速度大小 10 hkm90 v ，方向与地面平行，飞机与地面间的摩擦系数10.0 ，迎面空气阻力为 2vCx ，升力为 2vCy (v 是飞机在跑道上的滑行速度， xC 和 yC 均为常数 )。已知飞机的升阻比 K = yC / xC =5，求飞
6、机从着地到停止这段时间所滑行的距离。 (设飞机刚着地时对地 面无压力 ) 解： 以飞机着地处为坐标原点，飞机滑行方向为 x 轴，竖直向上为 y 轴，建立直角坐标系。飞机在任一时刻（滑行过程中）受力如图所示，其中 Nf 为摩擦力， 2vCF x阻 为空气阻力，2vCF y升 为升力。由牛顿运动定律列方程： xvmvtxxvmtvmNvCF xx dddddddd2 （ 1） 02 mgNvCF yy （ 2） 由以上两式可得 xvmvvCvCmgxy dd22 分离变量积分： vv yxxvCCmg vmx 0 220 2dd 得飞机坐标 x 与速度 v 的关系 220ln2 vCCmg vCC
7、mgMCC mx yx yxyx 令 v=0，得飞机从着地到静止滑行距离为 mg vCCmgCC mx yxyx 20m a x ln2 根据题设条件，飞机刚着地时对地面无压力，即 5,020 xyy CCkvCmgN 又阻F fmN v升Fyxmg- 5 - 得 2020 55, vmgCCvmgC yxy 所以有 51ln512 520m ax g vx m2 1 71.05 1ln1.051102 3 6 0 0/10905 23 2.一颗子弹由枪口射出时的速率为 v 0 ，子弹在枪筒内被加速时，它所受到的合力btaF (a,b为常量 )。 解：参见大学物理学习指导。 三 计算题 一 半
8、径为 R 的圆形平板放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为 u，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度 0 开始旋转，它 将在旋转几圈后停止？ 解： 设圆板面密度为 2Rm，则转动时受到的摩擦阻力矩大小为 R gRrrgMM 0 32 32d2d 由转动定律 JM 可得角加速度大小 RMgmRgRMJM34213223 设圆板转过 n 转后停止，则转过的角度为 n 2 。由运动学关系 0,02202 可得旋转圈数 gRRMgn 16323422020 2 如图所示，两物体的质量分别为 1m 和 2m ，滑轮的转动惯量为 J，半径为 r。 (1)若 2m 与桌面的摩擦系数为 ，求系统的
9、加速度 a 及绳子中的张力 (绳子与滑轮间无相对滑动 )； - 6 - (2)若 2m 与桌面为光滑接触，求系统的加速度 a 及绳子中的张力。解：参见大学物理学习指导 3半径为 R 具有光滑轴的定滑轮边缘绕一细绳，绳的下端挂一质量为 m 的物体，绳的质量可以忽略，绳与定滑轮之间无相对滑动，若物体下落的加速度为 a，求定滑轮对轴的转动惯量。 解： 分别以定滑轮和物体为研究对象，对物体应用牛顿运动定律，对定滑轮 应用转动定律列方程： maTmg （ 1） JRT （ 2） 由牛顿第三定律有 TT （ 3） 由角量和线量的关系有 Ra （ 4） 由以上四式联解可得 aRagmJ /2 三 计算题 1
10、 一长为 l，质量为 m 的匀质链条，放在光滑的桌面上，若其长度的 1/5 悬挂于桌边下，将其慢慢拉回桌面，外力需做功为多少 ? mgamTTJRl54l51ox- 7 - 解： 设桌面为重力势能零势面，以向下为坐标轴正向。在下垂的链条上坐标为 x 处取质量元xlmm dd ，将它提上桌面，外力反抗重力作功 xgxlmgxmA ddd ，将悬挂部分全部拉到桌面上，外力作功为： 50d5/0 m g lxgxlmA l 2一质量为 m 的质点，仅受到力3rrkF 的作用，式中 k 为常数， r 为从某一定点到质点的矢径。该质点在 0rr 处由静止开始运动，则当它到达无穷远时的速率为多少 ?。 解
11、： 因质点受力3rrkF 是有心力，作功与路径无关，故由动能定理 202 2121d mvmvrF 有： 质点到达无穷远时的速率：03 2d2 0mrkmrrrkv r 3一人从 10m 深的井中提水，起始时桶中装有 10kg 的水，桶的质量为 1kg，由于水桶漏水，每升高 1m 要漏去 0.2kg 的水。求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功 。 解： 如图所示，以井中水面为坐标原点，以竖直向上为 y 轴正方向。因为匀速提水，所以人的拉力大小等于水桶和水的重量，它随升高的位置变化而变化，在高为 y 处，拉力为 kgymgF 式中 kg11)110( m ， 1mkg2.0 k 。人作功为 )
12、J(980d)8.92.08.911(d)(d1000 yyyk gymgyFA hohy- 8 - 三 计算题 1. 一超声波源发射声波的功率为 10 W。假设它工作 10 s，并且全部波动能量都 被 1 mol 氧气吸收而用于增加其内能，问氧气的温度升高了多少？ （氧气分子视为刚性分子，摩尔气体常量 R 8.31 (Jmol1 K1 )） 解： TRiMPtE 2，式中 P 为功率，则 ( K )81.431.8251101025 RM PtT2. 计算下列一组粒子的平均速率和方均根速率 : 粒子数 N i 2 4 6 8 2 速率 vi (ms-1) 10.0 20.0 30.0 40.
13、0 50.0 解： 平均速率为 )s(m8.318642 502408306204102 1 i iiN vNv最概然速率 )s(m0.40 1pv 方均根速率为 28642 5024083062041022222222 i iiNvNv )s(m7.33 1 3储有氧气的容器以 100m s1 的速度运动。假设该容器突然停止，全部定向运动的动能都变为气体分子热运动的动能，问容器中氧气的温度将会上升多少 ? 解 ：参见大学物理学习指导。 - 9 - 三 计算题 1一定量的理想气体，经如图所示的过程由状态 a变为状态 c(ac 为一直线 )，求此过程中 (1) (2) (3)气体吸收的热量。 解
14、 ：参见大学物理学习指导 0.02 kg 的氦气 (视为理想气 体 )，温度由 17升为 27若在升温过程中， (1) 体积保持不变； (2) 压强保持不变； (3) 不与外界交换热量；试分别求出气体内能的改变、吸收的热量、外界对气体所作的功 (普适气体常量 R =8.31 11KmolJ ) 解： 氦气为单原子分子理想气体， 3i (1) 等体过程， V常量， W =0 据 Q E+W 可知 )(12 TTCMMEQ Vm o l 623 J 3 分 (2) 定压过程， p = 常量， )(12 TTCMMQ pm o l =1.04 103 J E 与 (1) 相同 W = Q E 417
15、 J 4 分 (3) Q =0， E 与 (1) 同 W = E=623 J (负号表示外界作功 ) 3 分 - 10 - 三 计算题（循环过程，选做） 一致冷机用理想气体为工作物质进行如图所示的循环过程，其中 ab、 cd 分别是温度为 T2、T1 的等温过程， bc、 da 为等压过程试求该致冷机的致冷系数 解： 在 ab 过程中，外界作功为 1221 ln| ppRTMMAm o l 在 bc 过程中，外界作功 )(|121 TTRMMA m o l 在 cd 过程中 从低温热源 T1 吸取的热量 2Q 等于气体对外界作的功 2A ，其值为 22 AQ122 ln ppRTMMm ol在 da 过程中气体对外界作的功为 )(122 TTRMMA m o l 致冷系数为 22112| AAAA Qw )(ln)(lnln1212112122121TTppTTTppTppT 121TTT 2.已知一定量的理想气体经历如图所示的循环过程。其中 ab 和 cd 是等压过程， bc 和 da 是绝热过程。已知 b 点温度 1TTb ， c 点温度 2TTC 。证明该热机的 效率为211 TT 证： 等压过程吸热 T 1 T 2pVOabcd p 1p 2
