1、 习题 1291 求下列各微分方程的通解 (1)2yyy2ex 解 微分方程的特征方程为2r2r10 其根为 r21 故对应的齐次方程的通解为 xeCY因为 f(x)2ex 1 不是特征方程的根 故原方程的特解设为y*Aex 代入原方程得2AexAexAex2ex 解得 A1 从而 y*ex 因此 原方程的通解为xC21(2)ya2yex 解 微分方程的特征方程为r2a20 其根为 rai 故对应的齐次方程的通解为YC1cos axC2sin ax 因为 f(x)ex 1 不是特征方程的根 故原方程的特解设为y*Aex 代入原方程得Aexa2Aexex 解得 从而 1A21ay因此 原方程的通
2、解为22sincoexC(3)2y5y5x22x1 解 微分方程的特征方程为2r25r0 其根为 r10 故对应的齐次方程的通解为25 xeCY因为 f(x)5x22x1 0 是特征方程的单根 故原方程的特解设为y*x(Ax2BxC)代入原方程并整理得15Ax2(12A10B)x(4B5C)5x22x1 比较系数得 从而 317xy2573*因此 原方程的通解为xxeCy253251(4)y3y2y3xex 解 微分方程的特征方程为r23r20 其根为 r11 r22 故对应的齐次方程的通解为YC1exC2e2x 因为 f(x)3xex 1 是特征方程的单根 故原方程的特解设为y*x(AxB)
3、ex 代入原方程并整理得2Ax(2AB)3x 比较系数得 B3 从而 )32(*xeyx因此 原方程的通解为)(21eCyxx(5)y2y5yexsin2x 解 微分方程的特征方程为r22r50 其根为 r1 212i 故对应的齐次方程的通解为Yex(C1cos2xC2sin2x) 因为 f(x)exsin2x i12i 是特征方程的根 故原方程的特解设为y*xex(Acos2xBsin2x) 代入原方程得ex4Bcos2x4Asin2xexsin2x 比较系数得 B0 从而 1y2cos41*因此 原方程的通解为xexCeyx)2sinco(1(6)y6y9y(x1)e3x 解 微分方程的特
4、征方程为r26r90 其根为 r1r23 故对应的齐次方程的通解为Ye3x(C1C2x) 因为 f(x)(x1)e3x 3 是特征方程的重根 故原方程的特解设为y*x2e3x(AxB) 代入原方程得e3x(6Ax2B)e3x(x1) 比较系数得 从而 61A)216(*3xeyx因此 原方程的通解为)1()(3213xCeyx(7)y5y4y32x 解 微分方程的特征方程为r25r40 其根为 r11 r24 故对应的齐次方程的通解为YC1exC2e4x 因为 f(x)32x(32x)e0x 0 不是特征方程的根 故原方程的特解设为y*AxB 代入原方程得4Ax(5A4B)2x3 比较系数得
5、从而 18812*xy因此 原方程的通解为1241xeCyx(8)y4yxcos x 解 微分方程的特征方程为r240 其根为 r2i 故对应的齐次方程的通解为YC1cos2xC2sin2x 因为 f(x) xcos xe0x(xcos x0sin x) ii 不是特征方程的根 故原方程的特解设为y*(AxB)cos x(CxD)sin x 代入原方程得(3Ax3B2C)cos x(3Cx2A3D)sin xxcos x 比较系数得 B0 C0 从而 1A9ysin92co1*因此 原方程的通解为xxxysinco31sin2co1(9)yyexcos x 解 微分方程的特征方程为r210 其
6、根为 ri 故对应的齐次方程的通解为YC1cos xC2sin x 因为 f(x)f1(x)f2(x) 其中 f1(x)ex f2(x)cos x 而方程 yyex 具有 Aex 形式的特解 方程 yycos x 具有 x(Bcos xCsin x)形式的特解 故原方程的特解设为y*Aexx(Bcos xCsin x) 代入原方程得2Aex2Ccos x2Bsin xexcos x 比较系数得 B0 从而 1Axysin21*因此 原方程的通解为xexysi2sinco1(10)yysin2x 解 微分方程的特征方程为r210 其根为 r11 r21 故对应的齐次方程的通解为YC1exC2ex
7、 因为 而xfcossin)(方程 的特解为常数 A 21y方程 具有 Bcos2xCsin2x 形式的特解 xcos故原方程的特解设为y*A+Bcos2xCsin2x代入原方程得 x2cos1sin52co比较系数得 C0 从而 1ys0*因此 原方程的通解为21cos21xeyx2 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解 (1)yysin x0 y|x1 y|x1 解 微分方程的特征方程为r210 其根为 ri 故对应的齐次方程的通解为YC1cos xC2sin x 因为 f(x)sin2xe0x(0cos2xsin2x) ii 是特征方程的根 故原方程的特解设为y*Acos2xBsin2
8、x 代入原方程得3Acos 2x3Bsin2xsin2x 解得 A0 从而 1y2sin1*因此 原方程的通解为xCxyi3icos21由 y|x1 y|x1 得 C11 2故满足初始条件的特解为 xsin3icos(2)y3y2y5 y|x01 y|x02解 微分方程的特征方程为r23r+2=0 其根为 r11 r22 故对应的齐次方程的通解为YC1exC2e2x 容易看出 为非齐次方程的一个特解 5*y故原方程的通解为21xe由 y|x01 y|x02 得 521C解之得 C15 因此满足初始条件的特解为7 2xey(3)y10y9ye2x 76|03|0xy解 微分方程的特征方程为r21
9、0r90 其根为 r11 r29 故对应的齐次方程的通解为YC1exC2e9x 因为 f(x)e2x 2 不是特征方程的根 故原方程的特解设为y*Ae2x 代入原方程得(4A20A9A)e2xe2x 解得 从而 7171因此 原方程的通解为xxeCey291由 得 76|03|0 1因此满足初始条件的特解为 xxeey2912(4)yy4xex y|x00 y|x01解 微分方程的特征方程为r210 其根为 r11 r21 故对应的齐次方程的通解为YC1exC2ex 因为 f(x)4xex 1 是特征方程的单根 故原方程的特解设为y*xex(AxB) 代入原方程得(4Ax2A2B)ex4xex
10、 比较系数得 A1 B1 从而 y*xex(x1) 因此 原方程的通解为y*C1exC2exxex(x1)由 y|x00 y|x01 得 21解之得 C11 C21 因此满足初始条件的特解为yexexxex(x1)(5)y4y5 y|x01 y|x00 解 微分方程的特征方程为r24r0 其根为 r10 r24 故对应的齐次方程的通解为YC1C2e4x 因为 f(x)55e0x 0 是特征方程的单根 故原方程的特解设为y*Ax 代入原方程得4A5 从而 xy*因此 原方程的通解为xeC4521由 y|x01 y|x00 得 1652C因此满足初始条件的特解为 xey45163 大炮以仰角 、初
11、速度 v0 发射炮弹 若不计空气阻力 求弹道曲线 解 取炮口为原点 炮弹前进的水平方向为 x 轴 铅直向上为 y 轴 弹道运动的微分方程为 02dtxgy且满足初始条件 cos| ,| in00vxytt易得满足方程和初始条件的解(弹道曲线)为 201singtvy4 在 R、L、C 含源串联电路中 电动势为 E 的电源对电容器 C 充电 已知 E20V C02F(微法) L01H(亨) R1000 试求合上开关 K 后电流 i(t)及电压 uc(t) 解 (1)列方程 由回路定律可知Eucc 即 LCRu1且当 t0 时 u c0 uc0 已知 R1000 L0.1H C02F 故 41.
12、76520C 97105EL因此微分方程为 741ccuu(2)解方程 微分方程的特征方程为 r2104r51070 其根为 r 1 251035103i 因此对应的齐次方程的通解为 )105sin()105cos( 3231053 tCteutc 由观察法易知 y*20 为非齐次方程的一个特解 因此非齐次方程的通解为 )si()cs( 3231053 ttetc由 t0 时 u c0 uc0 得 C120 C220 因此(V) )105in()o(23353 ttt (A) s4.)( 26eti tcc 5 一链条悬挂在一钉子上 起动时一端离开钉子 8m 另一端离开钉子12m 分别在以下两
13、种情况下求链条滑下来所需的时间 (1)若不计钉子对链条所产生的摩擦力 解 设在时刻 t 时 链条上较长的一段垂下 xm 且设链条的密度为 则向下拉链条下滑的作用力Fxg(20x)g2g(x10) 由牛顿第二定律 有20x2g(x10) 即 10微分方程的特征方程为 01r其根为 故对应的齐次方程的通解为g2 tgteCx101由观察法易知 x*10 为非齐次方程的一个特解 故通解为 1021tgt由 x(0)12 及 x(0)0 得 C1C21 因此特解为.0tgte当 x=20 即链条完全滑下来时有 1010tgte解之得所需时间s.)625ln(10gt(2)若摩擦力为 1m 长的链条的重
14、量 解 此时向下拉链条的作用力变为Fxg(20x)g1g2gx21g 由牛顿第二定律 有20x2gx21g 即 x05.1微分方程的通解为 .1021tteC由 x(0)12 及 x(0)0 得 因此特解为432 5.1)(431tgte当 x=20 即链条完全滑下来时有 5.9)(4310tgte解之得所需时间s.)32419ln(0gt6 设函数 (x)连续 且满足 xdtte00)(求 (x) 解 等式两边对 x 求导得 te0)(再求导得微分方程(x)ex(x) 即 (x)(x)ex 微分方程的特征方程为r210 其根为 r1 2i 故对应的齐次方程的通解为C1cos xC2sin x
