1、习题 9 9.1 选择题 (1) 正方形的两对角线处各放置电荷 Q，另两对角线各放置电荷 q，若 Q 所受到合力为零，则 Q 与 q 的关系为：（） （ A） Q=-23/2q (B) Q=23/2q (C) Q=-2q (D) Q=2q 答案： A (2) 下面说法正确的是：（） （ A）若高斯面上的电场强度处处为零，则该面内必定没有电荷； （ B）若高斯面内没有电荷，则该面上的电场强度必定处处为零； （ C）若高斯面上的电场强度处处不为零，则该面内必定有电荷； （ D）若高斯面内有电荷，则该面上的电场强度必定处处不为零。 答案 ： D (3) 一半径为 R 的导体球表面的面点荷密度为 ，则
2、在距球面 R 处的电场强度（） （ A） /0 （ B） /20 （ C） /40 （ D） /80 答案： C (4) 在电场中的导体内部的（） （ A）电场和电势均为零； （ B）电场不为零，电势均为零； （ C）电势和表面电势相等； （ D）电势低于表面电势。 答案： C 9.2 填空题 (1) 在静电场中，电势不变的区域，场强必定为 。 答案：相同 (2) 一个点电荷 q 放在立方体中心，则穿过某一表面的电通量为 ，若 将点电荷由中心向外移动至无限远，则总通量将 。 答案： q/60, 将为零 (3) 电介质在电容器中作用（ a） （ b） 。 答案： (a)提高电容器的容量 ;(b)
3、 延长电容器的使用寿命 (4) 电量 Q 均匀分布在半径为 R 的球体内，则球内球外的静电能之比 。 答案： 5： 6 9.3 电量都是 q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点试问： (1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡 (即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零 )?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系 ? 解 : 如题 9.3 图示 (1) 以 A 处点电荷为研究对象，由力平衡知： q 为负电荷 20220 )33(4130c o s412aqqaq 解得 qq 33 (2)与三角形边长无关 题 9.3 图 题 9.4 图 9.4 两小球的质量都是
4、 m ，都用长为 l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为 2 ,如题 9.4图所示设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的解 : 如题 9.4 图示 220 )s in2(41s inc o slqFTmgTe解得 ta n4s in2 0 mglq 9.5 根据点电荷场强公式204 rqE ，当被考察的场点距源点电荷很近 (r 0)时，则场强，这是没有物 理意义的，对此应如何理解 ? 解 : 0204 rrqE 仅对点电荷成立，当 0r 时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大
5、 9.6 在真空中有 A ， B 两平行板，相对距离为 d ，板面积为 S ， 其带电量分别为 +q 和 -q 则这两板之间有相互作用力 f ，有人说 f =2024 dq,又有人说，因为 f =qE ,SqE 0，所以 f =Sq02试问这两种说法对吗 ?为什么 ? f 到底应等于多少 ? 解 : 题中的两种说法均不对第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强SqE 0看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的正确解答应为一个板的电场为SqE 02，另一板受它的作用力SqSqqf 020 22 ，这是两板间相互作用的电场力 9.7 长 l =15.0cm AB上均匀地分
6、布着线密度 =5.0x10-9C m-1(1)在导线的延长线上与导线 B端相距 1a =5.0cm处 P 点的场强； (2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距 2d =5.0cm 处 Q 点的场强 解： 如题 9.7 图所示 (1) 在带电直线上取线元 xd ，其上电量 qd 在 P 点产生场强为20 )( d4 1d xa xE P 2220 )( d4d xa xEEllPP 题 9.7 图 212140 lala )4( 220 lal 用 15l cm， 9100.5 1mC , 5.12a cm 代入得 21074.6 PE 1CN 方向水平向右 (2) 2220 dd4 1d x
7、xE Q 方向如题 9.7 图所示 由于对称性 l QxE 0d，即 QE 只有 y 分量， 22222220 dddd4 1d xxxE Qy 224dd l QyQy EE 22 23222 )d(dll xx 2220 d42 ll 以 9100.5 1cmC , 15l cm, 5d2 cm 代入得 21096.14 QyQ EE 1CN ，方向沿 y 轴正向 9.8 一个半径为 R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为 ,求环心处 O 点的场强 解 : 如 9.8 图在圆上取 Rddl 题 9.8 图 ddd Rlq ，它在 O 点产生场强大小为 204 dd RRE 方向沿半径向外 则
8、ds in4s indd 0 REE x dc o s4)c o s (dd 0 REE y 积分RRE x 000 2ds in4 0dc o s4 00 RE y REE x 02 ，方向沿 x 轴正向 9.9 均匀带电的细线弯成正方形，边长为 l ，总电量为 q (1)求这正方形轴线上离中心为 r处的场强 E ； (2)证明：在 lr 处，它相当于点电荷 q 产生的场强 E 解 : 如 9.9 图示，正方形一条边上电荷 4q 在 P 点产生物强 PEd 方向如图，大小为 44c o sc o sd22021lrE P 22co s221 lrl 12 coscos 244d 22220
9、lrllrE P PEd 在垂直于平面上的分量 cosdd PEE 4244d 2222220 lrrlrlrlE 题 9.9 图 由于对称性， P 点场强沿 OP 方向，大小为 2)4(44d422220lrlrlrEEP lq4 2)4(422220lrlrqrEP方向沿 OP 9.10 (1)点电荷 q 位于一边长为 a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量； (2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少 ? 解 : (1)由高斯定理0d qSEs 立方体六个面，当 q 在立方体中心时，每个面上电通量相等 各面电通量06qe (
10、2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长 a2 的立方体，使 q 处于边长 a2 的立方体中心，则边长 a2 的正方形上电通量06qe 对于边长 a 的正方形，如果它不包含 q 所在的顶点，则024qe ， 如果它包含 q 所在顶点则 0e 如题 9.10 图所示 题 9.10 图 9.11 均匀带电球壳内半径 6cm，外半径 10cm，电荷体密度为 2 510 C m-3求距球心 5cm，8cm ,12cm 各点的场强 解 : 高斯定理0d qSEs ,024 qrE 当 5r cm时， 0q , 0E 8r cm时， q 34p 3(r )3内r 2023434rrrE 内 41048.3 1
11、CN ， 方向沿半径向外 12r cm 时 , 34 q 3(外r ）内 3r 420331010.4434 r rrE 内外 1CN 沿半径向外 . 9.12 半径为 1R 和 2R ( 2R 1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量 和- ,试求 :(1)r 1R ； (2) 1R r 2R ； (3) r 2R 处各点的场强 解 : 高斯定理0d qSEs 取同轴圆柱形高斯面，侧面积 rlS 2 则 rlESES 2d 对 (1) 1Rr 0,0 Eq (2) 21 RrR lq rE 02 沿径向向外 (3) 2Rr 0q 0E 题 9.13 图 9.13 两个无限大的平行
12、平面都均匀带电，电荷的面密度分别为 1 和 2 ，试求空间各处场解 : 如题 9.13 图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为 1 与 2 ， 两面间， nE )(21 210 1 面外， nE )(21 210 2 面外， nE )(21 210 n ：垂直于两平面由 1 面指为 2 面 9.14 半径为 R 的均匀带电球体内的电荷体密度为 ,若在球内挖去一块半径为 r R 的小球体，如题 9.14图所示试求：两球心 O 与 O 点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的 解 : 将此带电体看作带正电 的均匀球与带电 的均匀小球的组合，见题 9.14 图 (a) (1) 球在 O 点产生电
13、场 010E ， 球在 O 点产生电场 d4 3430320 OOrE O 点电场 d3 3030 OOrE ； (2) 在 O 产生电场 d4d3430301 OOE 球在 O 产生电场 002 E O 点电场 00 3E OO 题 9.14 图 (a) 题 9.14 图 (b) (3)设空腔任一点 P 相对 O 的位矢为 r ，相对 O 点位矢为 r (如题 8-13(b)图 ) 则 03rEPO ， 03rE OP , 000 33)(3 dOOrrEEE OPPOP 腔内场强是均匀的 9.15 一电偶极子由 q =1.0 10-6C d=0.2cm，把这电偶极子放在 1.0 105N
14、C-1 解 : 电偶极子 p 在外场 E 中受力矩 EpM qlEpEM m ax 代入数字 4536m a x 100.2100.1102100.1 M mN 9.16 两点电荷 1q =1.5 10-8C， 2q =3.0 10-8C，相距 1r =42cm，要把它们之间的距离变为2r =25cm，需作多少功 ? 解 : 2221 0212021 44 dd rrrr qqrrqqrFA )11(21 rr 61055.6 J 外力需作的功 61055.6 AA J 题 9.17 图 9.17 如题 9.17图所示，在 A ， B 两点处放有电量分别为 +q ,-q 的点电荷， AB 间距
15、离为2R ，现将另一正试验点电荷 0q 从 O 点经过半圆弧移到 C 点，求移动过程中电场力作的解 : 如题 9.17 图示 041OU 0)( RqRq 041OU )3( RqRq Rq06 RqqUUqA oCO 00 6)( 9.18 如题 9.18图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为 的正电荷 ,两直导线的长度和半圆环的半径都等于 R 试求环中心 O 解 : (1)由于电荷均匀分布与对称性， AB 和 CD 段电荷在 O 点产生的场强互相抵消，取dd Rl 则 dd Rq 产生 O 点 Ed 如图，由于对称性， O 点场强沿 y 轴负方向 题 9.18 图 c o s4 dd 22 20 RREE y R04 )2sin( 2sin R02 (2) AB 电荷在 O 点产生电势，以 0U AB 2 0001 2ln44 d4 d RR xxxxU 同理 CD 产生 2ln4 02 U半圆环产生 003 44 RRU 00321 42ln2 UUUU O 9.19 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以 2 104m s-1的匀速率作圆周运动求带电直线上的线电荷密度 (电子质量 0m =9.1 10-31kg，电子电量 e =1.60 10-19C) 解 : 设均匀带电直线电荷密度为 ，在电子轨道处场强 rE 02 电子受力大小 reeEFe 02
