1、 2.41 离散型随机变量的均值与方差【学习目标】1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均 值 或 期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均 值 或 期望，并能解决一些实际问题；2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望1.定 义 ：一 般 地 ， 若 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 为1x2 ixP p ip则称 E1x2 nx 为 的 均 值 或 数 学 期 望 ， 简 称 期 望 要点诠释：（ 1） 均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反
2、映或刻画的是随机变量取值的平均水平（ 2） 一 般 地 ， 在 有 限 取 值 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 中 ， 令 1p2 np，则有 1p np1， E1(x2 nx)，所以 的 数 学 期 望 又 称 为 平 均 数 、 均 值 。（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位2 性 质 ： ()E； 若 ba(a、 b 是 常 数 )， 是 随 机 变 量 ， 则 也 是 随 机 变 量 ， 有 baE)(；)(的推导过程如下：的 分 布 列 为 1x2x ixbaba iabP 12P iP于是 E1)(px2)(px ()iixp a i) 1b2 i) b
3、aE baE)(。要点二：离散型随机变量的方差与标准差1.一组数据的方差的概念：已知一组数据 1x， 2， ， nx，它们的平均值为 x，那么各数据与 x的差的平方的平均数2nS)( 2)( )(2n叫做这组数据的方差。2.离 散 型 随机变量的方差：一 般 地 ， 若 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 为1x2 ixP 1p2 ip则称 D 21)(Ex )(pEx 2()nixE称为随机变量 的方差，式中的E是随机变量 的期望的算术平方根 叫做随机变量 的标准差，记作 要点诠释：随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特
4、征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值） 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。3.期望和方差的关系： 22()DE4.方差的性质：若 ba(a、 b 是 常 数 )， 是 随 机 变 量 ， 则 也 是 随 机 变 量 ， 2()DabD；要点三：常见分布的期望与方差1、二点分布：若离散型随机变量 服从参数为 p的二点分布，则期望 Ep方差 (1).D证明： (0)Pq, (1)p,01, pq 1Ep22()()().D2、二项分布：若离散型随机变量 服从参数为 ,np的二项分布，即 (
5、),BnP， 则期望 EnP方差 (1-)Dp期望公式证明： knknknqpCP)()(， 012 0.knnnnECpqCpqCpq，又 1)!()!(1)!( knkn kk， p01nq 21np )1(1knqp )01qpn)(3、几何分布：独立重复试验中，若事件 A在每一次试验中发生的概率都为 p，事件 A第一次发生时所做的试验次数 是随机变量，且 1()(kPp， 0,23,n ，称离散型随机变量 服从几何分布，记作：kg，。若离散型随机变量 服从几何分布，且 ()()PkPg， ， 则期望 1.Ep方差 2-D要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率
6、两个角度去验证。4、超几何分布：若离散型随机变量 服从参数为 ,NMn的超几何分布，则期望 ()nMEN要点四：离 散 型 随 机 变 量 的 期望与方差的求法及应用1、求离散型随机变量 的期望、方差、标准差的基本步骤：理解 的 意 义 ， 写 出 可 能 取 的 全 部 值 ；求 取 各 个 值 的 概 率 ， 写 出 分 布 列 ；1x2 ixP 1p2 ip根据分布列，由期望、方差的定义求出 E、 D、 ：12nExpxp 221 nnDxp .注 意 ： 常 见 分 布 列 的 期 望 和 方 差 ， 不 必 写 出 分 布 列 ， 直 接 用 公 式 计 算 即 可 2.离散型随机变
7、量的期望与方差的实际意义及应用 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。对于两个随机变量 1和 2，当需要了解他们的平均水平时，可比较 1E和 2的大小。 1E和 2相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较 1D和 2，方差值大时，则表明 比较离散，反之，则表明 比较集中品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关【典型例题】类型一、离散型随机变量的期望例 1某射手射击所得环数 的分布列如下： 7 8 9 10
8、P x 0.1 0.3 y已知 的期望 E8.9，则 y 的值为_【思路点拨】分布列中含有字母 x、y,应先根据分布列的性质，求出 x、y 的值，再利用期望的定义求解；【解析】x0.10.3y1，即 xy0.6.又 7x0.82.710y8.9，化简得 7x10y5.4.由联立解得 x0.2，y0.4.【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，举一反三：【变式 1】 （2015 春 金台区期末）设 B（18，p） ，又 E（）=9，则 p 的值为（ ）A B C D1231423【答案】AB（18， p） ，E（）=9，18p=9， ，故选：A。
9、【变式 2】随机变量 的分布列为 0 2 4P 0.4 0.3 0.3，则 E(54)等于( )A13 B11 C2.2 D2.3【答案】A由已知得：E()00.420.340.31.8，E(54)5E()451.8413.【变式 3】节日期间，某种鲜花进货价是每束 2.5 元，销售价每束 5 元；节后卖不出去的鲜花以每束 1.6 元价格处理根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花 500 束，则期望利润是 200 300 400 500P 0.20 0.35 0.30 0.15A.706 元 B690 元C754 元 D720 元【答案】A节日期间预
10、售的量：E2000.23000.354000.35000.154010512075340(束)，则期望的利润：51.6(500)5002.53.4450，E3.4E4503.4340450706.期望利润为 706 元【变式 4】设离 散 型 随 机 变 量 的 可 能 取 值 为 1， 2， 3， 4， 且 ()Pkab（ 1,234k） ， 3E，则 ab ；【答案】 0.1；由分布列的概率和为 1，有 ()2)(3)(4)1abab，又 3E，即 3，解得 0.1a， b， 故 0.1a。例 2. 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得 100 分，回答不正
11、确得100 分假设这名同学回答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响（1）求这名同学回答这三个问题的总得分 X 的概率分布和数学期望；（2）求这名同学总得分不为负分（即 X0）的概率【思路点拨】本题显然为独立重复试验的问题，因此求各个情况的概率直接用公式即可。（1）求 X 的可能取值，即求得分，答对 0 道题得300 分，答对 1 道题得 100200=100 分，答对 2 道题得2100100=100 分，答对 3 道题得 300 分；（2）总分不为负分包括 100 分和 300 分两种情况【解析】（1）X 的可能取值为300，100，100，300P（X=300）=0.
12、2 3=0.008。P（X=100）= 1C0.220.8=0.096，P（X=100）= 230.20.82=0.384，P（X=300）=0.8 3=0.512所以 X 的概率分布为X 300 100 100 300P 0.008 0.096 0.384 0.512E（X）=(300)0.008+(100)0.096+1000.384+3000.512=180（2）这名同学总得分不为负分的概率为P（X0）=P（X=100）+P（X=300）=0.384+0.512=0.896【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表举一反三：【变式 1】 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1
13、 分，罚不中得 0 分，已知他命中的概率为 0.7，求他罚球一次得分 的期望 奎 屯王 新 敞新 疆【答案】因为 3.0)(,7.0)1(P，所以 3.E 奎 屯王 新 敞新 疆【变式 2】一盒中装有零件 12 个，其中有 9 个正品，3 个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品数的期望【答案】设取得正品之前已取出的次品数为 ，显然 所有可能取的值为 0，1，2，3当 0时，即第一次取得正品，试验停止，则93(0)124p当 时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则()当 2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，
14、试验停止，则()p20913当 时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则(3)92 分布列为 0 1 2 3p 34901 3910124020E【变式 3】某 城 市 出 租 汽 车 的 起 步 价 为 10 元 ， 行 驶 路 程 不 超 出 4km 时 租 车 费 为 10 元 ， 若 行 驶 路 程 超 出 4km， 则按 每 超 出 lkm 加 收 2 元 计 费 (超 出 不 足 lkm 的 部 分 按 lkm 计 ) 从 这 个 城 市 的 民 航 机 场 到 某 宾 馆 的 路 程 为15km 某 司 机 经 常 驾 车 在 机 场 与 此 宾 馆 之 间 接
15、 送 旅 客 ， 由 于 行 车 路 线 的 不 同 以 及 途 中 停 车 时 间 要 转 换 成 行 车路 程 (这 个 城 市 规 定 ， 每 停 车 5 分 钟 按 lkm 路 程 计 费 )， 这 个 司 机 一 次 接 送 旅 客 的 行 车 路 程 是 一 个 随 机变 量 设 他 所 收 租 车 费 为 奎 屯王 新 敞新 疆( )求 租 车 费 关 于 行 车 路 程 的 关 系 式 ；( )若 随 机 变 量 的 分 布 列 为 15 16 17 18P 0.1 0.5 0.3 0.1求所收租车费 的数学期望( )已 知 某 旅 客 实 付 租 车 费 38 元 ， 而 出
16、 租 汽 车 实 际 行 驶 了 15km， 问 出 租 车 在 途 中 因 故 停 车 累 计 最 多几 分 钟 ?【 答 案 】( )依 题 意 得 =2( -4)十 10， 即 =2 +2；( ) E4.1683.75.61.05 =2 +2 2E +2=34.8 （ 元 ）故 所收租车费 的数学期望为 34.8 元( )由 38=2 +2， 得 =18， 5(18-15)=15所 以 出 租 车 在 途 中 因 故 停 车 累 计 最 多 15 分 钟 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆例 3(2014 辽宁)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直
17、方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立()求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率；()用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望 E(X)及方差 D(X)【答案】() 0.108，( ) E(X)30.61.8，方差 D(X)30.6(10.6) 0.72【解析】() 设 A1 表示事件“ 日销售量不低于 100 个” ，A 2 表示事件“日销售量低于 50 个”B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天的日销售量都不低于 100
18、个且另 1 天的日销售量低于 50 个” ，因此 P(A1)(0.0060.0040.002) 500.6，P(A2)0.00350 0.15，P(B)0.60.60.15 20.108 ，()X 可能取的值为 0，1，2 ，3，相应的概率为：= ,)Xp64.).(3C,8(21,3.0)(.0)23，216(Xp随机变量 X 的分布列为因为 XB(3，0.6)，所以期望 E(X)3 0.61.8，方差 D(X)3 0.6(10.6) 0.72【总结升华】 在确定随机变量服从特殊分布以后，可直接运用公式求其均值举一反三：【变式 1】 英语考试有 100 道选择题，每个题有 4 个选项，选对得
19、 1 分，否则得 0 分，学生甲会其中的 20 道，学生乙会其中的 80 道，不会的均随机选择，求甲、乙在这次测验中得分的数学期望【答案】设甲、乙不会的题的得分分别为随机变量 X 和 Y，由题意知 XB（80，0.25） ，YB（20，0.25） ，E（X）=800.25=20，E（Y）=200.25=5故甲、乙的数学期望成绩分别为 40 分和 85 分【变式 2】 甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为 12，乙每次击中目标的概率为 23，记甲击中目标的次数为 X，乙击中目标的次数为 Y，（1）求 X 的概率分布；（2）求 X 和 Y 的数学期望【答案】 甲、乙击中目标的次数均
20、服从二项分布（1）301()28PC，31()X，32()8PC，31()X。所以 X 的概率分布如下表：X 0 1 2 3P 8381（2）由（1）知 () .5E，或由题意 13,2XB:， 23,Y:。 ().5， ()。【变式 3】 一次单元测验由 20 个选择题构成，每个选择题有 4 个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得 5 分，不作出选择或选错不得分，满分 100 分 奎 屯王 新 敞新 疆 学生甲选对任一题的概率为 0.9，学生乙则在测验中对每题都从 4 个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 奎 屯王 新 敞新 疆【答案】设学
21、生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是 ,，则 ,(20.9)B:)25.0,(B, 52.0189EE奎 屯王 新 敞新 疆由于答对每题得 5 分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是 5和 5 奎 屯王 新 敞新 疆 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是： 25)(5(,90185)(5( EE奎 屯王 新 敞新 疆类型二、离散型随机变量的方差例 4. 设 X 是一个离散型随机变量，其概率分布如下表，试求 E（X）和 D（X） X 1 0 1P 212q q2【思路点拨】 由概率分布的性质求出 q 的值后，再计算 E（X） ，D（X） 【解析】 由概率分布的性质，得： 221
22、()10q，得 2q。 13()0(2)121EX，2223()()()(21D。【总结升华】求随机变量的方差，应先明确随机变量的概率分布。然后利用均值与方差的定义列式计算举一反三：【变式 1】 设随机变量 X 的概率分布为X 1 2 nP n1n 1求 D(X） 。【答案】 本题考查方差的求法可由分布列先求出 X 的期望 E（X） ，再利用方差的定义求之也可直接利用公式 D（X）=E（X 2）E（X） 2来解解法一： 111() ()Ennn 2，D222111()VXnn 2221 ()()()4n 。解法二：由解法一可求得 1()2nEX。又 221()EXn) ()6，D2221()(
23、1()(4nnVEX。【变式 2】1已知随机变量 的分布列如下表： 1 0 1P 2136（1）求 E（） ，D（） ，；（2）设 =2+3，求 E（） ，D（） 【答案】 （1） 12311()()0236xpx；2112 5()9pxEp， 5()3D。（2） 7()3E， 0()4()9D。例 5. 设某运动员投篮投中的概率为 p=0.6（1）求一次投篮时，投中次数 X 的数学期望和方差；（2）求重复 5 次投篮时，投中次数 Y 的数学期望和方差【思路点拨】 （1）投篮一次可能中，也可能不中，投中次数 X 服从两点分布；（2）重复投篮 5 次的投中次数 Y 服从二项分布【解析】 （1）X
24、 服从两点分布，其分布列如下：X 0 1P 0.4 0.6所以 E（X）=p=0.6，D（X）=p（1p）=0.24（2）由题设，YB（5，0.6） 所以 E（Y）=np=50.6=3，D（Y）=np（1p）=50.60.4=1.2【总结升华】对于两点分布、二项分布，可直接运用公式计算举一反三：【变式 1】篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，罚不中得 0 分，已知他命中的概率为 0.7，求他罚球三次得分 的期望和方差。【答案】罚球三次可以看作 3 次独立重复试验，即罚球三次得分 (3,0.7)B，所以 0.721Enp()(0.7)63D.【变式 2】有 10 件产品,其中 3 件是次品
25、.从中任取 2 件,若抽到的次品数为 X,求 X 的分布列,期望和方差.【答案】类型三、离散型随机变量的期望和方差的应用例 6. 甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分别记为 X1和 X2，它们的概率分布分别为X1 0 1 2 X2 0 1 2P 0.1 a 0.4 p 0.2 0.2 b（1）求 a，b 的值；（2）计算 X1和 X2的数学期望和方差，并以此分析甲、乙两射手的技术状况【思路点拨】本题考查分布列的性质、期望与方差的求法及对期望与方差的理解 （1）可直接由分布列的性质列式求解 （2）利用定义求期望与方差【解析】 （1）由分布列的性质知，0.1+a+0.4=1，0.2+
26、0.2+b=1，即 a=0.5，b=0.6。（2）E（X 1）=00.1+10.5+20.4=1.3，E（X 2）=00.2+10.2+20.6=1.4，D（X 1）=(01.3) 20.1+(11.3) 20.5+(21.3) 20.4=0.41，D（X 2）=(01.4) 20.2+(11.4) 20.2+(21.4) 20.6=0.64。由上述计算的结果可知，乙的平均水平较甲好一点，但乙的稳定性不如甲【总结升华】离散型随机变量的期望与方差分别反映了随机变量的取值的平均水平和波动大小（或离散程度） 举一反三：【变式 1】A、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率
27、如下表所示：问哪一台机床加工质量较好.A 机床 B 机床次品数 1 0 1 2 3 次品数 1 0 1 2 3概率 P 0.7 0.2 0.06 0.04 概率 P 0.8 0.06 0.04 0.10【答案】 E 1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44,E 2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差.D 1=（0-0.44） 20.7+（1-0.44） 20.2+（2-0.44） 20.06+（3-0 .44） 20.04=0.6064,D 2=（0-0.44） 20.8+（1-0.44） 20.06+（2-0.44） 20
28、.04+（3-0.44） 20.10=0.9264.D 1D 2说明甲机包装重量的差别大，不稳定乙机质量好11 【答案】1.11 0.12【解析】随机变量 X 服从超几何分布，根据公式：期望 1.EXp方差 21-pD可求。12. 【答案】【解析】设要求投保人交 x 元，公司的收益额 作为随机变量，则 P( x)1 p， P( x a) p， E x(1 p)( x a)p x ap. x ap0.1 a， x(0.1 p)a.答案：(0.1 p)a13. 解： 的取值为 3，4，5，6， P( =k)=21C， k=3，4，5，6因此， 的分布列为 3 4 5 6P 120201E =3 4
29、 5 6+6 1= 4=5.2514解：（1）设抽得的正品件数为 X，由于是有放回地随机抽样，故变量 X 服从二项分布，即 XB（100，0.98） ，E（X）=1000.98=98，即平均有 98 件正品。（2）V（X）=1000.98(10.98)=1.96，()1.96.4。15解： (07189105)8.4E甲 ，()8.1乙，2 2224(.)(.4)2()(7)(6.)(58.4)30.V甲，2()09838.8.4乙， ()E乙甲 ， ()V乙甲 。这说明甲的子弹着点比乙的分散，即甲的技术没有乙稳定，因此乙的射击技术比甲好。16. 解析：(1)X 可能取值有 200，10，20，100则 P(X200) ，8121C303P(X10) 213P(X20) ，83C13P(X100) ，812C3故分布列为：X 200 10 20 100 P 81838381（2）由(1)知，每盘游戏出现音乐的概率是 ，71p则至少有一盘出现音乐的概率 5287C13203（3）由(1)知，每盘游戏或得的分数为 X 的数学期望是 E(X)(200) 10 20 100 81381045这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少
