1、海笔数学 初一讲义1第五讲 有理数的混合运算一、 有理数的加法知识点解读知识点一：有理数的加法法则1同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加2绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值3互为相反数的两个数相加得 04一个数同 0 相加仍得这个数方法技巧：在进行有理数的加法运算时，运算步骤可归纳为“一看、二定、三求和” 一看：即观察两个数的符号是同号还是异号，算式中有没有零；二定：即用哪条法则及和的符号；三求和：根据法则求出结果知识点二：有理数加法的运算律1加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变即：a+b=b+a2加法结合律：三个数相加，先把
2、前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变即(a+b)+c=a+(b+c)方法技巧： (1)有些加数相加后可以得到整数时，可以先行相加(2)分母相同或易于通分的分数，可以先行相加；(3) 有相反数可以互相消去 0 时，可以先行相加(4) 有许多正数和负数相加时，可以把符号相同的数相加，即正数与正数相加，负数与负数相加，最后再把一个正数和一个负数相加例 1：计算下列各式(1)(-45.3)+9.5+(-4.7)+(-0.5)；(2) 217428分析：(1)观察四个加数的符号以及它们的小数部分的特点，发现调整加数的顺序，使可以得到整数的先相加，使运算变得比较简便(2)做带分数加法时，可将整数部分
3、与分数海笔数学 初一讲义2部分分别相加，然后再把结果相加；解题时要注意：分开的整数部分与分数部分必须保持原带分数的符号；运算符号和数的性质符号要用括号分开解： (1) 原式 =(-45.3)+(-4.7)+9.5+(-0.5)=-50+9=-(50-9)=-41(2) 原式= .43102141728 二、 有理数的减法知识点解读知识点一：有理数减法法则1有理数减法的意义：就是已知两个数的和与其中一个加数求另一个加数的运算2有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即：a-b=a+(-b)三、有理数加减运算中的结合技巧有理数的加减混合运算是七年级数学的重点，也是同学们难以掌握，常常出错
4、的地方，如能根据题目特征选择适当的方法，则可简化运算过程，提高解题速度与准确度。现举例如下，供同学们学习参考。、把符号相同的加数相结合例 1 计算：（+5）+ （-6）+ （+4）+（+9）+（-7）+（-8）.解：原式=（+5）+ （+4）+（+9）+（-6）+（-7）+（-8） =（+18 ） +（-21）=-3.、把和为零的加数结合例 2 计算：（-15.43）+（-4.15）+（+15.20）+（+4.15）+（+0.23）+（-5 ）.解：原式=（-15.43）+（+15.20 ）+（+0.23）+（-4.15） +（+4.15）+（-5）海笔数学 初一讲义3=0+0+（-5）=-5
5、.、把和为整数的加数相结合例 3 计算：（+6.4）+（-5.1）-（-3.9）+（-2.4）-（+4.9）.解：原式=（+6.4）+ （-5.1 ）+（+3.9）+（-2.4 ）+（-4.9）=6.4-5.1+3.9-2.4-4.9=（6.4-2.4 ）+（-5.1-4.9 ）+3.9=4-10+3.9=-2.1.、把整数与整数，分数与分数分别相结合例 4 计算：-4 -3 +6 -2 .2314解：原式=（-4-3+6-2）+（- - + - ）231=-3- 14=-3 .3点评：在分拆带分数时，要注意符号。如：-4 =-4- ，而不是-4+ .2323、统一形式后再结合例 5 计算：（
6、-0.125）+（-0.75）+（ ）+ +1.418解：原式=（- ）+ （- ）+（- ）+ +11834=（ - ）+ +（- ）+（- ）+14海笔数学 初一讲义4=0+（- ）+164=- .12点评：当同一个算式中既有分数，又有小数时，一般要先统一形式，具体统一成分数还是统一成小数要看哪一种计算简便。、把分母相同或便于通分的加数相结合例 6 计算：（+ ）+（- ）+（+ ）+（+ ）+（- ）+（+3）.37514715267解：原式=（+ ）+（+ ）+（- ）+ （- ）+ （+ ）+（+3）3= + +36752= .318、分组后再结合例 7 计算：2-3-4+5+6-7
7、-8+9+66-67-68+69.解：原式=（2-3-4+5）+ （6-7-8+9）+ （66-67-68+69）=0+0+0=0.、巧添辅助数后再结合例 8 计算： + + + + + .124861324解：原式= + + + + + + - 6= + + + + + -124861324= + + + + -海笔数学 初一讲义5= + - =1- =126413、先拆项后结合例 9 计算： + + + .12341967解：原式=（1- ）+（ - ）+（ - ）+（ - ）39617=1+（- + ）+ （- + ）+（- + ）-121=1- = .976四、有理数的加减在实际问题中
8、的应用举例有理数的加减运算在生活中应用非常广泛,现举几例说明如下,供大家参考.一、检验钢材质量例 1 有一批钢材标准质量为每捆 1500 千克，现抽取 5 捆样品进行检测，结果如下（单位：千克）：1502，1497，1512，1491，1489这 5 捆钢材的总质量是多少？与标准质量相比是多还是少？分析：题中给出了 5 捆样品钢材的质量，可直接将它们相加，求出样品的总质量。再用标准总质量与样品总质量作差，即可得样品质量与标准质量的差别。解：1502+1497+1512+1491+1489=7491（千克） ，=7500 （千克）74915109答：这 5 捆钢材的总质量是 7491 千克，比标
9、准质量少 9 千克。说明：本题是有理数加减的简单运用，认真审题，直接按照题意计算即可二、计算路程和油耗海笔数学 初一讲义6例 2 一电路检修小组，在南北路上检修线路，先向北行了 5 千米，又向北行了 2 千米，接着向南行了 4 千米，又向北行了 6 千米，这时他们在出发点什么位置，如果每千米耗油0.08 升, 他们今天耗油多少升 ?分析：“向南” 和 “向北”意义相反，可规定向北为 “+”，向南为 “”，则可用正负数表示每次行驶的路程运,再求出这些数据的和，根据结果可判断出检修小组在出发点什么位置。用检修小组行走的总路程乘以每千米耗油量,可求出总油耗.解: 规定向北为正,向南为负,这几次行驶的
10、路程分别记为: 千米, 千米, 千米, 524千米, 则65246425(千米)139(升)36.108.7.)6425( 答: 检修小组离出发点北 9 千米,他们今天耗油 1.36 升.说明:正确理解题意, 会用正负数表示题中相反意义的量,是本题解题的关键.三、确定时间例 3 下表是几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数） ；城市 时差巴黎 7东京 1纽约 4（1 ）如果现在北京时间是晚上 8 点，那么现在巴黎时间是多少？（2 ）小明现在给在纽约的朋友打电话，你认为合适吗？分析：题目给出了其他城市与北京的时差，直接用北京当时的时间加上两城市的时差，海笔数学 初一讲义7
11、即可得到当地的时间。解：（1） 1)7(8答：当北京时间是晚上 8 点时，巴黎时间是中午 1 点。（2 ）答我认为不合适.理由: ,也就是说:当北京时间是晚上 8 点时,纽约是早上 6 点,小明纽约的6)14(8朋友很可能还在睡觉,此时打电话会惊扰他的朋友.说明:本题是一道与计算时差题,也可看作是一道跨学科题,体现了数学知识应用的广泛性.四、股市操盘例 4 一股民在上星期五买进某公司股票 1000 股，每股 27 元，下表为本星期内每日该股票的涨跌情况（单位：元）星期 一 二 三 四 五每股涨跌 +4 +4.5 15.26（1 ）星期三收盘时,每股多少元?（2 ）本星期内每股最低价多少元?（3
12、 ）本周星期几抛售,获利最大,最大是多少? 分析:只要将上表中的相关有理数相加,根据结果的正负, 来判断股票的涨跌.再加上股票原来的价格,即得所求的价格.解:（1）27+(+4+4.5 )=34.5(元)1答: 星期三收盘时,每股 34.5 元 .（2 ） 27+(+4+4.5 )=26(元)15.26海笔数学 初一讲义8答: 本星期内每股最低价是 26 元.（3 ）因为星期一和星期二股票上升,而星期三股票开始下跌 ,所以星期三抛售时,股票获利最大, 最大为 :(+4+4.5 ) (元)1750说明:了解与炒股相关的常识,知道表格中正负数表示的意义是解答本题的关键.由以上可知,用有理数的加减法
13、解决简单的实际问题时, 掌握一些基本的生活常识,了解问题涉及的实际背景,正确的将实际问题转化为数学问题,是解答这类问题的关键.从问题中体会所学知识与现实世界的联系,从而提高分析问题解决问题的能力.五、有理数的乘除混合运算技巧进行有理数的乘除混合运算时，一般都是先确定符号，再定积的绝对值，下面介绍一些有关技巧，望同学们把握好，减少错误.一、先确定积的符号，再把乘除混合运算转化成乘法例 1 计算 43)21(分析：三个或三个以上的有理数相乘除时，首先确定积的符号，然后再把乘除混合运算统一转化成乘法计算求值.解：原式= 43)25(1= 43521= 203541.说明：1.要把带分数转化为假分数；
14、2.几个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数来确定.当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正.二、利用运算律进行简便计算-、结1、互为倒数的两数结合海笔数学 初一讲义9例 1、-3（- ）（- ） ww*w.zz#st%573174解：原式=【-3（- ） 】 【（ - ） 】=1（- ）=-5542、 能互相约分的两数结合例 2、- （- ） （- ）37841528915解：原式=（- ）【（- ）（- ） 】（ ）7415=- =- =-25379410213、 能凑成整数、十、百等两数结合例 3、-125（-25）（-5）2（-4）（-8）解：原式=-（12
15、58 ）（254）（5 2）www.zz%st*ep.co&m=-100010010=-1000000、提逆用乘法的分配律把公因数提出中* 国教育 出版网#例 4、3.59（- ）+2.41（- ）-6（- ）774=- （3.59+2.41-6）=- 0=0、分（1 ） 一个和或差与一个数相乘，且和或差中的分母是这个数的约数。（2 ） 这个数的分母是和或差中每个数的约数。这两种情况直接应用分配律较简便海笔数学 初一讲义10例 5、-36（ + - ）来源:#zzste&p.%co*m9465127解：原式=-36 （- ）+ （-36）- （-36）127=16-30+21=7、拆1、 把一个整数拆成两个数的和或差，再利用乘法的分配律。来&源:%中国教育 出版网#例 6、57 +275287解：原式=（56+1 ） +（28-1 ）6287=82+ = 中国教育%出版&#网*51822、 把一个接近 1 的分数拆成 1 与另一个分数的差例 7、57 +2756287解：原式=57（1- ）+27（1- ）1281=57 +27- =84-1 =82567563、 把 拆成 - 的形式)1(nn1例 8、计算 + +232014解：原式=1- + - + -1=1- =2043六、有理数乘除运算中的错误记录
