概率论习题二解答.doc

1、1 习题二 1一枚 骰 子 连掷两次，以 X 表示两次所得点数之和，求 X 的分布列 ， 解 X 所有可能取值为 2， 3， 4， 12 。设对应的分布列为 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 kp 361 362 363 364 365 366 365 364 363 362 361 其中： X =2 表示点数和为 2，只有一种可能， X = 3 有两种可能：第一只取 1，第二只取 2；或第一只取 2 第二只取 1。 X = 4 有三种可能：第一只取 2，第二只取 2；第一只取 3，第二只取 1； 第一只取 1 第二只取 3。 X 的其它值类似可得。点数之和的总可能情况数为

2、 3666 。 2 有 同类产品 100 件（其中有 5 件次品），每次从中任取 1 件，连续抽取 20 件。 （ 1）有放回抽取时，求抽得次品数 X 的分布列。 （ 2）无放回抽取时，求 20 件中所含次品数 X 的分布列。 解 （ 1） 20,2,1,0,10095100 5)(2020 kCkXP kkk (2) 5,4,3,2,1,0,)(2010020955 kCCCkXPkk 3已知离散型随即变量分布列为： （ 1） )10,2,1(,)(1 kAkkXP （ 2） )3,2,1(,)32()( 2 kAkXP k试求常数 1A , 2A 。 解 （ 1） 由 1 0 1 0111

3、 1 11 1 0 (1 1 0 ) 12kkk kA A A 解出 551A 。 （ 2）由 332 2 2 2112 2 2 2 4 3 8( 1 ) 13 3 3 3 9 2 7kkkkA A A A 解出 38272 A 。 4 某 射手每发 击中目标的概率为 0.8，今对靶独立重复射击 20 次（每次 1 发）。 （ 1）求恰好击中 2 发的概率； （ 2）求中靶发数不超过 2 的概率； （ 3）求至少击中 2发的概率。 解 设 20 次射击中靶次数为 X, (20,0.8)XB . 2 (1) 射击 20 次恰有两次中靶的概率为： 02.08.0)2( 182220 CXP (2)

4、 )2()1()0()2( XPXPXPXP 2 0 1 1 9 2 2 1 82 0 2 00 . 2 0 . 8 0 . 2 0 . 8 0 . 2 0CC (3) 1)1()0(1)2( XPXPXP 5 某 个大楼有 5 台同类型供水设备，已知在任何时刻每台设备被使用的概率均为0.1，求在同一时刻以下问题的概率： （ 1）恰有 2 台设备被使用的概率； （ 2）至多有 3 台设备被使用的概率； （ 3）至少有 1 台设备被使用的概率。 解 设被使用的设备数为 X，则 )1.0,5( BX ， （ 1） 0729.09.01.0)2( 3225 CXP （ 2） 9 9 9 5 4.0)

5、5()4(1)3( XPXPXP （ 3） 4 0 9 5 1.09.01)0(1)0( 5 XPXP 6、 某车间内有 12 台车床，每台车床由 于装卸加工件等原因，时常要停车，设各台车床停车或开车是相互独立的，每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为 0.3，求： （ 1）任一时刻车间内停车台数 X 分布列； (2）任一时刻车间内车床全部工作的概率。 解 )3.0,12( BX ，（ 1） 12,1,0,7.03.0)( 1212 kCkXP kkk 。 （ 2） 12( 0 ) 0 . 7 0 . 0 1 3 8PX 7. 随机变量 ( )X ，已知 ( 1) ( 2 )P X P X ,

6、求 （ 0) 的值，并写出X 的分布律。 解 由题目可知 22ee ，解得 222 , ( ) , 0 , 1 , 2 ,!k eP X k kk 。 8已知在一定工序下，生产某种产品的次品率为 0.001。今在同一工序下，独立生产 5000 件这种产品，求至少有 2 件次品的概率。 解 设 5000 件产品中的次品数为 X， (5000, 0.001)XB ，此题可以用泊松分布计3 算。 . 5001.05 0 0 0 np 525( 2 ) 0 . 9 5 9 6!kkePX k 9从发芽率为 99%的种子里，任取 100 粒，求发芽粒数 X 不小于 97 的概率。 解 用 Y 表示不发芽

7、的种子数，则 (100, 0.01).YB 此题可以用泊松分布计算， 100 0.01 1 ， 141( 3 ) 1 ( 4 ) 1 1 0 . 0 1 9 0 . 9 8 1!kkeP Y P Y k 10、 某城市 110 报警台，在一般情况下， 1 小时内平均接到电话呼唤 60 次，已知电话呼唤次数 X 服从泊松分布（由已知，参数 = 60），求在一般情况下 ， 30 秒内接到电话呼唤次数不超过 1 次的概率。（提示：第三章将说明 是单位时间内电话交换台接到呼叫次数的平均值，所以 = 5.030360060 ） 解 ( )X 60 3 0 0 .53600 0 . 520 . 5( 1

8、) 1 ( 2 ) 1 1 0 . 0 9 0 2 0 4 0 . 9 0 9 8!kkeP X P X k 11、设 10 件产品中恰好有 2 件次品，现在接连进行不放回抽样，直到取到正品为止。 （ 1）求抽样次数 X 的分布列及其分布函数； （ 2）求 ( 3 . 5 ) , ( 2 ) , (1 3 )P X P X P X . 解 4 1 8 8 1 1 1( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 )5 5 9 4 5 5 9 4 5P X P X P X 014 5 1 2()4 4 4 5 2 313xxFxxx （ 2） 8( 3 . 5 ) 0 , ( 2 ) 1 , ( 1 3

9、 ) ( 2 ) ( 1 ) 45P X P X P X F F 12、设离散型随机变量 X 的分布函数为0111() 2 1232xaxFx axa b x 且 31()22F ，试求常数 ,.ab的值和 X 的分布列。 4 解 因为 31()22F ，即 2 1 1,3 2 6aa ； 51, 6a b b 。 011 6 1 1()1 2 1 212xxFxxx , ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 6 ,P X F F ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 2 1 6 1 3 ,P X F F ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 1 1 2 1 2P X F F 13. 设随机

10、变量 X 的密度函数为 01( ) 2 1 20xxf x x x 其 他，求分布函数 ()Fx。 20210100012()( 2 ) 2 1 1 2212xxxxtd t xFxxx d x t d t x xx 14设随即变量 X 的分布函数为0,0 0,)1(1)( xxexxFx， （ 1）求 ( 1)PX ，（ 2）求 X 的概率密度函数。 解 （ 1） 2 6 4 2.0)11(1)1()1( 1 eFXP （ 2） ,0( ) ( )0 , 0xx e xp x F xx 。 15设 X 的密度函数为 2 , 0( ) 1 4 , 0 20 , 2xexf x xx ,求 X

11、的分布函数 ()Fx及( 1)PX 。 5 解 2,120,42141210,2121)(00xxxdxdxexedxexFxxxx x41431)1(1)1(1)1( FXPXP 16设 X 的密度函数为 : ,0()0 , 0xexfxx ,（常数 0） （ 1）求 )1( XP ； （ 2） 求常数 C，使 P (X C )=21。 解 （ 1） 632.01101)1( 10 eexdeXP xx （ 2） xC e d x 12xe C ； 12Ce 得 2ln1C 。 17设 X 在 ),( aa 上服从均匀分布，其中 0a ，试分别确定满足下列关系的常数 a 。（ 1）31)1(

12、 XP， （ 2） )1()1( XPXP 。 解 由题意可得 （ 1） axaxaaxp,0,21)( 当 10 a 时 ,0)1( XP 则当 1a 时 ,312 121)1( 1 aadxaXP a 3 a （ 2） 当 1a 时 , 21( 1) 2PX aa aXPXP 11)1(1)1( )1()1( XPXP ， 2111 aaa 6 18设 X 在（ 0， 5）上服从均匀分布，求 )4( XP . 解 1 5 , 0 5()0, xfx 其 它， 5 4 1( 4 ) 55PX 19.设随机变量 (2, )X B p ， (3, )Y B p ，若 5( 1) 9PX,求 (

13、1)PY 。 解 因为 2 5( 1 ) 1 ( 0 ) 1 (1 ) 9P X P X p ， 21 3p。 所以 3 8 1 9( 1 ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 ) 1 2 7 2 7P Y P Y p . 20. 设一个人在一年内感冒的次数服从参数 5 的泊松分布，现有一种预防感冒的药，它对 30%的人来讲可将上述参数 降为 1 （疗效显著）；对 45% 的人来讲可将上述参数 降为 4 （疗效一般）；而对其余 25% 的人来讲则是无效的。现某人服用此药一年，在这一年中他 3 次感冒，求此药对他“疗效显著”的概率。 解 设事件 B=”此人在一年中得了 3 次感冒 ”； 1A = “该

14、药疗效显著 ”； 2A =”该药疗效一般 ”； 3A =”该药疗效显著 ”。 1( ) 0.30PA ； 2( ) 0.45PA ； 3( ) 0.25PA ； 311 1( / ) 3!eP B A ； 342 4( / ) 3!eP B A ； 353 5( / ) 3!eP B A ；由逆概公式 1111 1 2 2 3 3( ) ( / )( / ) 0.13 01( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )P A P B AP A B P A P B A P A P B A P A P B A 21、 设随机变量 )2,3( 2NX 。（ 1）求 )52( XP ， )

15、104( XP ，)3( XP ， )2( XP 。（ 2）确定常数 C，使 )()( CXPCXP ，并用图形说明其意义；（ 3）求 a ，使 1.0)( aaXP 。 解 （ 1） )2 32()2 35()52( XP ( 1 ) ( 0 . 5 ) ( 1 ) (0 . 5 ) 1 0 . 8 4 1 3 0 . 6 9 1 5 1 0 . 5 3 2 8 11121)5.3(2)2 34()2 310()104( XP5.0)0(1)3(1)3( XPXP 7 )2 32()2 32(1)22(1)2(1)2( XPXPXP 6969.09946.06915.01)5.2()5.0(

16、1)5.2()5.0(1 (2) 由 )(1)()( CXPCXPCXP ，则 21)( XP 即 5.0)23( C ， 得 3 032C C 。 (3) 由 )(1)( aaXPaaXP )2 30()2 32(1)20(1 aaXP 1.00 6 6 8.0)2 32(1 a ， 得 96680)2 32( a ， 故 335.3,835.12 32 aa 。 22、某地抽样调查考生的英语成绩为了 随机变量 ),72( 2NX ，且 96 分以上 的占考生总数的 2.3%。试求考生的英语成绩在 60 分到 84 分之间的概率。 解 由题意可知： %3.2)96( XP 则977.0)24

17、(,023.0)7296(1)96( XP ， 查表得 12,224 , 即 )12,72( 2NX 所求概率为 6 8 2 6.01)1(2)12 7260()12 7284()8460( XP 23、 某加工过程，如果采用甲种工艺条件，则完成时间 )8,40( 2NX ；若采用乙种工艺条件，则完成时间 )4,50( 2NY （单位： h） 。（ 1）若允许在 60h 内完成，应选何种工艺条件？（ 2）若只允许在 50h 内完成，应选何种工艺条件？ 解 （ 1） 需计算两种工艺条件下， )600( XP 与 )600( yP 的值， 哪个大就选那种工艺。 当 840 时： 6 0 4 0 0

18、 4 0(0 6 0 ) ( ) ( ) 0 . 9 9 3 888PX 8 当 450 时： 6 0 5 0 0 5 0( 0 6 0 ) ( ) ( ) 0 . 9 9 3 844PY 所以，若允许在 60 小时内完成两种工艺条件选哪种都可以。 （ 2） 同法可计算， 当 840 时： 8944.0)8 400()8 4050()500( XP 当 450 时： 5.0)4 500()4 5050()500( YP 所以，若允许在 50 小时内完成应选第一种工艺条件。 24、 设某批零件的长度 ),( 2NX ,今从这批零件中任取 5 个 ,求正好有 2 个零件长度大于 的概率。 解 设取

19、得长度大于 的个数为 Y，由题意知 ),5( pBY ，设在这批零件中任取一个长度大于 的概率为 p ，则 5.0)0(1)(1)(1)( XPXPp 故 3125.0)21()21(!2 45)1()2( 323225 ppCYP25、某电子元件的寿命 X 服从正态分布， 2 (300,35 )XN ,求 （ 1）电子元件的寿命在 250 个小时以上的概率；（ 2）求常数 k，使得电子元件寿命在 300 k 之间的概率为 0.9. 解 (1) 2 5 0 3 0 0( 2 5 0 ) 1 ( 2 5 0 ) 1 ( ) ( 1 . 4 2 9 ) 0 . 9 2 3 635P X P X (

20、2) ( 3 0 0 3 0 0 ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 0 . 93 5 3 5 3 5k k kP k X k ， ( ) 0.9535k， 1 .6 4 5 , 5 7 .5 8 5 835k k 。 26.设某学校一专业有 100 名学生 ,在周末每个学生去某阅览室自修的概率是 0.1，且设每个学生去阅览 室自修与否相互独立。试问该阅览室至少应设多少个座位才能以不低于 0.95 的概率保证每个来阅览室自修的学生均有座。（ 95.0)65.1( ） 解 设 去阅览室自修的学生数为 X，则 (100,0.1)XB ， 10 , 9 ,np npq 又设阅览室至少应设 n 个座位

21、 则 10 ( ) 0 . 9 5 (1 . 6 5 )3nP X n ，9 10 1 .6 5 , 1 4 .9 53n n ，故至少应设 15 个座位 。 27、某地区的月降水量为 X， 2 (40,4 )XN (单位： mm)，求从某月起连续 10 个月的月降水量都不超过 50mm 的概率。 解 5 0 4 0( 5 0 ) ( ) ( 2 . 5 ) 0 . 9 9 3 84PX , 所以连续 10 个月的月降水量都不超过 50mm 的概率 100 .9 9 3 8 0 .9 3 9 6p 。 28、 已知 )1,0( NX ， 求 baXY 的概率密度函数。 解 221( ) ,2x

22、f x e x ， baxy 是单调函数，其反函数是： ya byyhx ,)( ， 1()dx hydy a故 Y 的密度函数为：( ) ( ) ( )f y f h y h y yae a by ,121 2)(21 29、已知离散型随机变量 X 的分布列为： X 0 2 kp 4121 41求下列函数的分布列：（ 1） XY 2 ； （ 2） XY sin 。 解 (1) YX ,0 ; 0,2 YX ; YX , 41)0()( XPYP , 21)2()0( XPYP , 41)()( XPYP . 0Y 412141kp （ 2) 同理得： 0, 0,XY , 1,2XY ,0XY

23、。 10 10Y 214141 kp 30设 )1,1( UX ，求 2YX 的分布函数与概率密度 ()Yfy。 解 1 2 1 1()0 xpx 其 它2)( xxgy ，2( ) ( )XxyF y p x d x 当 0y 时 , ( ) 0Fy , 当 1y 时 ( ) 1Fy 当 10 y 时 , 1() 2 yyF y d x y， . 。 31. 设随机变量 X 的密度函数为 2( 1 ) , 0 1()0,X xxfx 其 他求随机变量 Y 的密度函数 ()py ：（ 1） 3;YX (2) 3;YX (3) 2.YX 解 （ 1）因为 3 0 1,y x x 所以 10 3 , .33yx y x 12( 1 ) , 0 3() 330,y yfy 其 他，即 2 ( 3 ) , 0 3( ) .90,yyfy 其 他（ 2）因为 3 0 1,y x x 所以 3 2 3 , 1 .x y y x 2 1 ( 3 ) 1 , 2 3() 0, yypy 其 他，即 2( 2) , 2 3( ) .0,yypy 其 他（ 3）因为 2 0 1,y x x 所以 10 1 , .2x y y x y 1 , 0 12( ) ( )0,yyf y F y 其 它