1、实验八 固定均匀弦振动的研究XY 弦音计是研究固定金属弦振动的实验仪器，带有驱动和接收线圈装置，提供数种不同的弦，改变 弦的张力，长度和粗细，调整驱动频率，使弦发生振动，用示波器显示驱动波形及传感器接收的波形，观 察拨动的弦在节点处的效应，进行定量实验以验证弦上波的振动。它是传统的电子音叉的升级换代产品。 它的优点是无燥声污染，通过函数信号发生器可以方便的调节频率，而这两点正好是电子音叉所不及的。 实验目的 实验目的 1. 了解均匀弦振动的传播规律。 2. 观察行波与反射波互相干涉形成的驻波。 3. 测量弦上横波的传播速度。 4. 通过驻波测量，求出弦的线密度。 实验仪器 实验仪器 XY 型弦
2、音计、函数信号发生器、示波器、驱动线圈和接收线圈等。 实验原理 实验原理 设有一均匀金属弦线，一端由弦码 A 支撑，另一端由 弦码 B 支撑。对均匀弦线扰动，引起弦线上质点的振动， 假设波动是由 A 端朝 B 端方向传播，称为行波，再由 B 端 反射沿弦线朝 A 端传播，称为反射波。行波与反射波在同 一条弦线上沿相反方向传播时将互相干涉，移动弦码 B 到 适当位置。弦线上的波就形成驻波。这时，弦线就被分成 几段，且每段波两端的点始终静止不动，而中间的点振幅 最大。这些始终静止的点称为波节，振幅最大的点称为波 腹。驻波的形成如图 4-8-1 所示。 图 4-8-1 O /2 O t=T/4 X
3、t=T/2 X A O B t=0 X设图 4-8-1 中的两列波是沿 x 轴相反方向传播的振幅相等、频率相同的简谐波。向右传播的用细实线 表示，向左传播的用细虚线表示，它们的合成驻波用粗实线表示。由图 4-8-1 可见，两个波腹间的距离都 是等于半个波长，这可以从波动方程推导出来。 下面用简谐表达式对驻波进行定量描述。设沿 x 轴正方向传播的波为行波，沿 x 轴负方向传播的波为 反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点，且在 x=0 处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程为：x y1 = A cos 2 ( ft )x y 2 = A cos 2 ( ft + )式中 A
4、 为简谐波的振幅，f 为频率， 为波长，x 为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻 波，其方程为：x y = y1 + y 2 = 2 A cos 2 ( ) cos 2ft4-8-1由此 可见，入 射波与反射波 合成后， 弦上各点都在 以同一频 率作简谐振动 ，它们的 振动幅 为2 A cos 2 ( x / ) ，即驻波的振幅只与质点的位置 x 有关，与时间 t 无关。由于波节处振幅为零，即 cos 2 ( x / ) = 02x可得波节位置：= (2k + 1)2（k=0, 1, 2, 3, ）x = (2k + 1)4（4-8-2）而相邻两波节之间的距离为：x k +1 x k
5、 = 2(k + 1) + 14(2k + 1)4=2（4-8-3）又因为波腹处的质点振幅为最大，即 cos 2 ( x / ) = 12x= k x=k（k=0, 1, 2, 3, ）可得波腹的位置为：2= 2k4（4-8-4）这 样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻波节（或相邻两波腹） 间的距离，就能确定该波的波长。 在本实验中，由于固定弦的两端是由弦码支撑的，故两端点成为波节，所以，只有当弦线的两个固定 端之间的距离 L（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其 数学表达式为： L= k2（k=0, 1, 2, 3, ）
6、。由此可得沿弦线传播的横波波长为：=2L k（4-8-5）式中 k 为弦线上驻波的波腹数，即半波数。 根据波动理论，弦线横波的传播速度为：v=T（4-8-6）则：T = v 2（4-8-7）式中 T 为弦线中张力， 为弦线单位长度的质量，即线密度。 根据波速、频率及波长的普遍关系式 v = f ，将 4-8-5 式代入可得：v=2 Lf k（4-8-8）再由(4-8-6)、(4-8-7)式可得：k = T 2 fL 2 fL T = k 2（k=0, 1, 2, 3, ）（4-8-9）2则：（k=0, 1, 2, 3, ）（4-8-10）由上式可知，当给定 T、L 时，频率 f 只有满足该式时
7、，才能产生驻波。为此，调节信号发生器的 频率，使之与这些频率一致时，弦线产生共振，弦上便形成驻波。吉它弦 驱动线圈 接收线圈 弦码 槽型杠杆(改变弦的张力)60cm音箱砝码信号发生器示波器 图 4-8-21kg 2kg 3kg 4kg 5kg实 验内容 实验内容 用示波器观察弦振动现象和张紧弦线振动的简振模式。一、 用示波器观察弦振动现象和张紧弦线振动的简振模式。 1. 设置两个弦码之间的距离为 60cm，在张力杠杆挂 1kg 的砝码 (将砝码置于张力杠杆上不同的槽内可改变弦线的张力，如图 4-8-3 所 示)，调整张力杠杆水平调节旋钮，使杠杆水平(张力杠杆水平是根据悬挂物质量精确确定弦的张力
8、的必要 条件，每改变一次砝码位置，都要调节张力杠杆水平调节旋钮，使张力杠杆保持水平)。2. 在距弦码 5cm 处放置驱动线圈，置探测线圈于弦线中央(初始位置)。 3. 驱动线圈和接收线圈分别与函数信号发生器、示波器连接，如图 4-8-2 所示。 4. 设置示波器通道增益为 5mV/cm，并由函数信号发生器的信号触发示波器。1 2 3 4 5悬挂砝码图 4-8-3 确定张力5. 令函数信号发生器输出频率在 100Hz200Hz 之间，非常缓慢地调整函数信号发生器的输出频率， 当达到共振频率时，应当看到弦的振动及听到弦的振动引发的声音最大，示波器显示波形应当是清晰的正 弦波，如果看不到振动或听不到
9、声音，稍稍增大函数发生器的输出振幅或改变一下接收线圈的位置重新试 验(注意：驱动线圈与接收线圈至少保持 10cm 的距离)。 6. 用示波器观察弦波现象，并验证张紧弦线振动的简正模式(L = k/2)。 二、测定金属弦线的线密度 和张紧弦线上横波的传播速度 v 1. 选取一个固定的频率 f，张力 T 由砝码的质量得，调节弦码以改变弦线长度 L，使弦线上依次出现 一个、两个、三个稳定且明显的驻波段，记录相应的 f、k、L 的值，由公式(4-8-9)计算弦线的线密度 。 2. 选取一个固定的频率 f， 改变张力的大小(通过改变砝码在张力杠杆上的位置改变张力)， 分别为 1kg、 2kg、3kg、4
10、kg、5kg，在各张力的作用下调节弦长 L，使弦线上出现稳定明显的驻波段。记录相应的 f、k、 L 的值，由公式(4-8-8)计算弦线上横波的传播速度 v。 3. 在张力一定的条件下，改变频率 f 分别为 100Hz、120Hz、140Hz、160Hz、180Hz，移动弦码，调 节弦长 L，使弦线上出现 2 个稳定且明显的驻波段。记录相应的 f、k、L 的值，由公式(4-8-8)可间接测量 出弦线上横波的传播速度。 注意事项 注意事项 1. 改变挂在弦线一端的砝码后，要使砝码稳定后再测量。 2. 在移动弦码调整驻波时，驱动线圈应在两弦码之间，且接收线圈不能处于波节位置，要等波形稳定 后，再记录数据。 预习思考题 预习思考题 1. 固定弦线的两端形成波节还是波腹？ 2. 用示波器观察驻波时，接收线圈放任何位置都可以吗？ 思考题 思考题 1. 张紧弦线上形驻波的条件是什么？ 2. 线密度与弦线横波的传播速度有什么关系？
