1、 第 1 页（共 9 页） 圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数 a 、 b 、 c 、 e 、 p 等等； 2 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。 要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、
2、坐标问题； 基本思想： 1“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2“是否存在”问题 当作存在 去求，若不存在则计算时自然会无解； 3证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再 说明与此变量 无关； 4证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5有些题思路易成，但难以实施。这就要 优化方法 ，才能使计算具有 可行性 ，关键是积累“转化”的经验； 6大多数问题只要 真 实、准确 地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例
3、1、 已知 F1， F2 为椭圆 2100x + 264y =1 的两个焦点， P 在椭圆上，且 F1 PF2=60，则 F1 PF2的面积为多少？ 点评： 常规求值问题的方法 ： 待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 变式 1、 已知 12,FF分别是双曲线 223 5 75xy的左右焦点， P 是双曲线右支上的一点，且 12FPF =120 ，求 12FPF 的面积 。 变式 2、 已知 F1， F2为椭圆 222 1100xyb(0 b 10)的左、右焦点， P是椭圆上一点 （ 1）求 |PF1|PF2|的最大值； （ 2）若 F1PF2=60且 F1PF2的面积为 6433 ，求 b
4、的值 第 2 页（共 9 页） 题型二 过定点、定值问题 例 2 （ 淄博市 2017 届高三 3 月模拟考试 ） 已知椭圆 C ： 22 1( 0 )xy abab 经过点 3(1, )2，离心率为 32，点 A 为椭圆 C 的右顶点，直线 l 与椭圆相交于不同于点 A 的两个点 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y. （）求椭圆 C 的标准方程； （）当 0AP AQ时，求 OPQ 面积的最大值； （）若直线 l 的斜率为 2，求证： OPQ 的外接圆恒过一个异于点 A 的定点 . 处理定点问题的方法 ：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；
5、也可先取参数的特殊值探求定 点，然后给出证明。 例 3、 （ 聊城市 2017 届高三高考模拟（一） ） 已知椭圆 22: 1 0xyC a bab 的离心率为 32，一个顶点在抛物线2 4xy 的准线上 . （）求椭圆 C 的方程； （）设 O 为坐标原点， ,MN为椭圆上的两个不同的动点，直线 ,OMON 的斜率分别为 1k 和 2k ，是否存在常数 p ，当 12kk p 时 MON 的面积为定值？若存在，求出 p 的值；若不存在，说明理由 . 变式 1、 已知椭圆 22: 1 0xyC a bab 的焦距为 122 3 ,AA， 点 为椭 圆的左右顶点，点 M 为椭圆上不同于12,AA
6、的任意一点，且满足 12 14A M A Mkk (I)求椭圆 C 的方程： 第 3 页（共 9 页） (2)已知直线 l 与椭圆 C 相交于 P， Q(非顶点 )两点，且有 11AP AQ (i)直线 l 是否恒过一定点 ?若过，求出该定点；若不过，请说明理由 (ii)求 2PAQ 面积 S 的最大值 点评： 证明定值问题的方法 ： 常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明 变式 2、 已知椭圆 221xyab (a b 0)的离心率为 焦距为 2 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）过椭圆右焦点且垂直于 x轴的直线交椭圆于 P， Q
7、两点， C， D 为椭圆上位于直线 PQ 异侧的两个动点，满足 CPQ= DPQ，求证：直线 CD的斜率为定值，并求出此定值 变式 3、 （ 临沂市 2017 届高三 2 月份教学质量检测（一模） ） 如图，椭圆 C： 22 10xy abab 的离心率为 32 ，以椭圆 C 的上顶点 T 为圆心作圆 T: 22210x y r r ，圆 T 与椭圆 C 在第一象限交于点 A，在第二象限交于点 B. (I)求椭圆 C 的方程； (II)求 TATBuur uur 的最小值，并求出此时圆 T 的方程； (III)设点 P 是椭圆 C 上异于 A， B 的一点，且直线 PA， PB 分别与 Y 轴
8、交于点 M， N， O 为坐标原点，求证： OM ON为定值 例 4、 设椭圆 C： 221xyab（ a b 0）的 一个顶点与抛物线 C： x2=4 3 y 的焦点重合， F1， F2分别是椭圆的第 4 页（共 9 页） 左、右焦点，且离心率 e=12且过椭圆右焦点 F2的直线 l与椭圆 C交于 M、 N 两点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）是否存在直线 l，使得 若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由 （ 3）若 AB是椭圆 C 经过原点 O的弦， MN AB，求证： 为定值 变式 1、 （烟台市 2017 届高三 3 月高考诊断性测试（一模） 如图，已知椭圆 22: 1
9、 ( 0 )xyC a bab 的左焦点 F为抛物线 2 4yx 的焦点，过点 F 做 x 轴的垂线交椭圆于 ,AB两点，且 3AB . （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若 ,MN为椭圆上异于点 A 的两点，且满足| | | |AM AF AN AFAM AN，问直线 MN 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 . 题型三 “是否存在”问题 例 5、 （ 泰安市 2017 届高三第一轮复习质量检测（ 一模） ） 已知椭圆 22 10xyC a bab ： 经过点 2,1 ，过点 A(0， 1)的动直线 l 与椭圆 C 交于 M、 N 两点，当直线 l 过椭圆 C
10、的左焦点时，直线 l 的斜率为 22 . 第 5 页（共 9 页） (I)求椭圆 C 的方程； ( )是否存在与点 A 不同的定点 B，使得 ABM ABN 恒成立 ?若存在，求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由 变式 1、 在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（ -1， 1）关于原点 O 对称， P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 13（）求动点 P 的轨迹方程； （）设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M， N，问：是否存在点 P使得 PAB与 PMN 的面积相等？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由 题型四 最值问题 例 6.【 20
11、16 高考山东理数】 平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 2222 10xy abab 的 离心率是 32 ，抛物线 E：2 2xy 的焦点 F 是 C 的一个顶点 . （ I）求椭圆 C 的方程； （ II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 l 与 C 交与不同的两点 A， B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. （ i）求证：点 M 在定直线上 ; （ ii）直线 l 与 y 轴交于点 G，记 PFG 的面积为 1S ， PDM 的面积为 2S ，求 12SS的最大值及取得最大值时点 P的坐标 . 第 6
12、 页（共 9 页） 例 7、（ 滨州市 2017 届高三下学期一模考试 ） 如图，已知 DPy 轴，点 D 为垂足，点 M 在线段 DP 的延长线上，且满足 DP PM ，当点 P 在圆 223xy上运动时 . （ 1）当点 M 的轨迹的方程； （ 2）直 线 : 3( 0)l x my m 交曲线 C 于 ,AB两点，设点 B 关于 x 轴的对称点为 1B （点 1B 与点 A 不重合），且直线 A 与 x 轴交于点 E . 证明：点 E 是定点； EAB 的面积是否存在的最大值？若存在，求出最大值； 若不存在，请说明理由 . 例 8、 （ 潍坊市 2017 届高三下学期第一次模拟 ） 已知
13、椭圆 C 与双曲线 221yx有共同焦点，且 离心率为 63 (I)求椭圆 C 的标准方程； ( )设 A 为椭圆 C 的下顶点， M、 N 为椭圆上异于 A 的不同两点，且直线 AM 与 AN 的斜率之积为 3 (i)试问 M、 N 所在直线是否过定点 ?若是，求出该定点；若不是，请说明理由； 第 7 页（共 9 页） (ii)若 P 为椭圆 C 上异于 M、 N 的一点，且 MP NP ，求 MNP 的面积的最小值 点评： 最值问题的方法 ：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方 法、利用均值不等式的方法等。 变式 1、 （ 2015高安市
14、校级一模）已知方向向量为 （ 1， 3 ） 的直线 l 过点（ 0， -2 3 ）和椭圆 C： 221xyab（ a b 0）的右焦点，且椭圆的离心率为 12 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若过点 P（ -8， 0）的直线与椭圆相交于不同两点 A、 B， F 为椭圆 C的左焦点，求三角形 ABF 面积 的最大值 变式 2 、 （ 青岛市 2017 年高三统一质量检测 ） 已知 椭圆 : 2 22 1x ya ( 1)a的左焦点为 1F ， 右顶点为 1A ， 上顶点为 1B ， 过 1F 、 1A 、 1B 三点 的圆 P 的圆心 坐标为 3 2 1 6( , )22 （） 求椭圆的方
15、程 ； （） 若直线 :l y kx m（ ,km为常数， 0k ）与椭圆 交于不同的两点 M 和 N （）当直线 l 过 (1,0)E ，且 20EM EN时，求直线 l 的方程； （）当坐标原点 O 到直线 l 的距离为 32 时，求 MON 面积的最大值 第 8 页（共 9 页） 题型五 求参数的取值范围 例 9、 （济宁市 2017 届高三第一次模拟（ 3 月） 如图，已知线段 AE， BF 为抛物线 2: 2 0C x py p的两条弦，点 E、 F 不重合函数 01xy a a a 且 的图象所恒过的定点为抛物线 C 的焦点 (I)求抛物线 C 的方程； ( )已知 12,1 14
16、AB、 ，直线 AE 与 BF 的斜率互为相反数，且 A， B 两点在直线 EF 的两侧 问直线 EF 的斜率是否为定值 ?若是，求出该定值；若不是，请说明理由 求 OEOF 的取值范围 变式 1、（德州市 2017 届高三第一次模拟考试） 在直角坐标系中，椭圆 1C ： 22 1( 0 )xy abab 的左 、 右焦点分别为 1F ， 2F ， 其中 2F 也是抛物线 2C ： 2 4yx 的焦点 ， 点 P 为 1C 与 2C 在第一象限的交点 ， 且2 5|3PF （）求椭圆的方程； （）过 2F 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于 M 、 N 两点 ， 若线段 2OF 上存在定点 (,0
17、)Tt 使得以 TM 、 TN 为邻边的四边形是菱形 ， 求 t 的取值范围 小结 解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤： 第 9 页（共 9 页） 一设直线与方 程；（ 提醒 ： 设直线时分斜率存在与不存在； 设为 y=kx+b 与 x=mmy+n 的区别）二设交点坐标；（ 提醒 :之所以要设是因为不去求出它 ,即“设而不求 ” ） 三则联立方程组；四则消元韦达定理；（ 提醒： 抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五根
18、据条件重转化；常有以下类型： “以弦 AB 为直径的圆过点 0” OA OB 121KK （ 提醒： 需讨论 K是否存在） 0OA OB 1 2 1 2 0x x y y “点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于 0问题” 1 2 1 2x x y y 0； “等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（ 120KK或 12KK ）； “共线问 题”（如： AQ QB 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如： A、 O、 B 三点共线 直线 OA 与 OB 斜率相等）； “点、线对称问题” 坐标与斜率关系； “弦长、面积问题” 转化为坐标 与弦长公式问题（ 提醒 ：注意两个面积公式的合理选择）；六则化简与计算； 七则细节问题不忽略； 判别式是否已经考虑； 抛物线问题中二次项系数是否会出现 0.
