1、第四节 基本不等式 1 基本不等式 (1)了解基本不等式的证明过程 (2)会用基本不等式解决简单的最大 (小 )值问题 2 不等式的综合应用 会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题 知识点 基本不等式 1 基本不等式 ab a b2 (1)基本不等式成立的条件： a 0， b 0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a b时等号成立 (3)其中 a b2 称为正数 a， b的 算术平均数 ， ab称为正数 a， b的 几何平均数 2 利用基 本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x， y (0， )，且 xy P(定值 ) 那么当 x y时， x y有最小值 2 P.(简记： “ 积
2、定和最小 ” ) (2)如果 x， y (0， )，且 x y S(定值 ) 那么当 x y时， xy有最大值 S24 .(简记： “ 和定积最大 ” ) 易误提醒 (1)求 最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件 (2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性 必记结论 活用几个重要的不等式 ： (1)a2 b2 2ab(a， b R) (2)ba ab 2(a， b同号 ) (3)ab a b2 2(a， b R) (4) a b2 2 a2 b22 (a， b R) (5) a2 b22 a b2 ab21a1b(a0， b0， 当且仅当 a b时取
3、等号 ) 自测练习 1 下列不等式中正确的是 ( ) A若 a R，则 a2 96a B若 a， b R，则 a bab 2 C若 a， b0，则 2lga b2 lg a lg b D若 x R，则 x2 1x2 11 解析： a0， b0， a b2 ab. 2lga b2 2lg ab lg (ab) lg a lg B. 答案： C 2已知 f(x) x 1x 2(x0， x 1x 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 4，当且仅当 x 1x，即 x 1时等号成立 答案： C 3下列函数中，最小值为 4 的是 ( ) A y x 4x B y sin x 4sin x(02 sin
4、x 4sin x 4， 其最小值大于 4；由于 ex0， y ex 4e x 2 ex4e x 4， 当且仅当 ex 2时取等号， 其最小值为 4； x2 1 1， y x2 1 2x2 1 2 2，当且仅当 x 1 时取等号， 其最小值为 2 2，故选 C. 答案： C 4已知 x1，则 x 4x 1的最小值为 _ 解析： x1， x 10， x 4x 1 (x 1) 4x 1 1 4 1 5， 当且 仅当 x 1 4x 1即 x 3时等号成立 答案： 5 考点一 利用基本不等式证明简单不等式 | (1)已知 a0， b0， a b 1， 求证： 1 1a 1 1b 9. (2)设 a， b
5、均为正实数，求证： 1a2 1b2 ab 2 2. 证明 (1)法一： a0， b0， a b 1， 1 1a 1 a ba 2 ba.同理， 1 1b 2 ab. 1 1a 1 1b 2 ba 2 ab 5 2 ba ab 5 4 9.当且仅当 ba ab，即 a b 12时取“ ” 1 1a 1 1b 9，当且仅当 a b 12时等号成立 法二： 1 1a 1 1b 1 1a 1b 1ab 1 a bab 1ab 1 2ab， a， b为正数， a b 1， ab a b2 2 14，当且仅当 a b 12时取 “ ” 于是 1ab 4， 2ab 8，当且仅当 a b 12时取 “ ” 1
6、 1a 1 1b 1 8 9， 当且仅当 a b 12时等号成立 (2)由于 a， b均为正实数， 所以 1a2 1b2 2 1a21b2 2ab， 当且仅当 1a2 1b2，即 a b时等号成立， 又因为 2ab ab 2 2abab 2 2， 当且仅当 2ab ab时等号成立， 所以 1a2 1b2 ab 2ab ab 2 2， 当且仅当 1a2 1b2，2ab ab，即 a b 4 2时取等号 考点二 利用基本不等式求最值 | (1)已知 x0， y0， lg 2x lg 8y lg 2，则 1x 13y的最小值是 ( ) A 2 B 2 3 C 2 2 D 4 (2)(2015高考重庆
7、卷 )设 a， b0， a b 5，则 a 1 b 3的最大值为 _ 解析 (1)由 lg 2x lg 8y lg 2得， 2x 23y 2x 3y 2，即 x 3y 1， 1x 13y 1x 13y (x 3y) 2 3yx x3y 2 2 3yx x3y 4，当且仅当 3yx x3y，x 3y 1，x0， y0，即最小值为 4.故选 D. (2)( a 1 b 3)2 a b 4 2 a 1 b 3 9 2 a 12 b 322 9 a b 4 18，所以 a 1 b 3 3 2，当且仅当 a 1 b 3 且 a b 5，即 a 72， b 32时等号成立所以 a 1 b 3的最大值为 3
8、 2. 答案 (1)D (2)3 2 1若两个正实数 x， y 满足 2x 1y 1，并且 x 2ym2 2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ( ， 2) 4， ) B ( ， 4 2， ) C ( 2,4) D ( 4,2) 解析： x 2y (x 2y) 2x 1y 2 4yx xy 2 8，当且仅当 4yx xy，即 4y2 x2 时等号成立由 x 2ym2 2m恒成立，可知 m2 2m0，则 1x 12y 1z t 12t2 12(当且仅当 t 1时等号成立 )故选 D. 答案： D 考点三 基本不等式的实际应用 | 某化工企业 2015 年年底投入 100 万元，购入
9、一套污水处理设备该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元设该企业使用该设备 x年的年 平均污水处理费用为 y(单位：万元 ) (1)用 x表示 y； (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备 解 (1)由题意得， y 100 0.5x 2 4 6 2xx ， 即 y x 100x 1.5(x N*) (2)由基本不等式得： y x 100x 1.5 2 x100x 1.5 21.5， 当且仅当 x 100x ，即
10、 x 10时取等号 故该企业 10年后需要重新更换新的污水处理设备 3.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形 ABCD的周长为 4，沿 AC 将 ABC 翻折，使点 B 落到点 B 的位置， AB 交DC 于点 P.研究发现当 ADP 的面积最大时最节能，则最节能时 ADP的面积为 ( ) A 2 2 2 B 3 2 2 C 2 2 D 2 解析： 设 AB x， DP y，则 BC 2 x， PC x y.因为 x2 x，故 10， y0，且 1x 2y 1，则 x y的最小值是 _ (2)函数 y 1 2x 3x(x0， y0， x y (x y) 1x 2y 3 yx 2
11、xy 3 2 2(当且仅当 y 2x时取等号 ) 当 x 2 1， y 2 2时 ， (x y)min 3 2 2. (2) x0， b0.若 a b 1，则 1a 1b的最小值是 ( ) A 2 B.14 C 4 D 8 解析： 由题意 1a 1b a ba a bb 2 ba ab 2 2 ba ab 4.当且仅当 ba ab，即 a b 12时取等号，所以最小值为 4. 答案： C 3 若 a0， b0 且 a b 7，则 4a 1b 2的最小值为 ( ) A.89 B 1 C.98 D.10277 解析： 本题考查利用基本不等式求最值因为 b 7 a，所以 4a 1b 2 4a 19
12、a 19(a 9 a) 4a 19 a 19 4 1 49 aa a9 a 19(4 1 4) 1，当且仅当 49 aa a9 a时取得等号，故选 B. 答案： B 4设 x， y R， a1， b1.若 ax by 2， a2 b 4，则 2x 1y的最大值为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析： 由 ax by 2得 x loga 2 1log2 a， y logb 2 1log2 b， 2x 1y 2log2 a log2 b log2 (a2b) log2 a2 b22 2(当且仅当 a2 b 2时取等号 ) 答案： B 5若直线 ax by 1 0(a0， b0)过曲线 y
13、 1 sin x(00， b0，由条件得 a2 b2 2(a b)， (a b)2 a2 b2 2ab 2(a2 b2)，当且仅当 a b时取等号， (a b)2 4(a b)， a b 4，又 (a b)22(a b) 2ab0. a b2， 20 且 a 1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 xm yn 40(m0， n0)上，则 m n 的最小值为 _ 解析： 由题意可知函数 y loga x 1的图象恒过定点 A(1,1)， 点 A在直线 xm yn 4 0上， 1m 1n 4， m0， n0， m n 14(m n) 1m 1n 14 2 nm mn 14 2 2 nmmn 1，
14、当且仅当 m n 12时等号成立， m n的最小值为 1. 答案： 1 9已知 x， y， z 是互不相等的正数，且 x y z 1，求证： 1x 1 1y 1 1z 1 8. 证明： 因为 x， y， z是互不相等的正数，且 x y z 1，所以 1x 1 1 xx y zx 2 yzx ， 1y 11 yy x zy 2 xzy ， 1z 11 zz x yz 2 xyz ， 又 x， y， z为正数，由 ，得 1x 1 1y 1 1z 1 8. 10某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形 A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道 (阴影部分 )组成已知
15、休闲区 A1B1C1D1的面积为 4 000 平方米，人行道的宽分别为 4 米和 10 米 (如图所示 ) (1)若设休闲区的长和宽的比 |A1B1|B1C1| x(x1)，求公园 ABCD所占面积 S 关于 x的函数 S(x)的解析式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区 A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ 解： (1)设休闲区的宽为 a米，则长为 ax米，由 a2x 4 000，得 a 20 10x . 则 S(x) (a 8)(ax 20) a2x (8x 20)a 160 4 000 (8x 20)20 10x 160 80 10 2 x 5x 4 160(x1) (2)80 10
16、 2 x 5x 4 160 80 10 2 2 x 5x 4 160 1 600 4 160 5 760，当且仅当 2 x 5x，即 x 2.5时，等号成立，此时 a 40， ax 100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1应设计为长 100米，宽 40米 B 组 高考题型专练 1若实数 a， b满足 1a 2b ab，则 ab的最小值为 ( ) A. 2 B 2 C 2 2 D 4 解析： 由已知得 1a 2b b 2aab ab，且 a0， b0， ab ab b 2a 2 2 ab， ab 2 2. 答案： C 2若 log4(3a 4b) log2 ab，则 a b的
17、最小值是 ( ) A 6 2 3 B 7 2 3 C 6 4 3 D 7 4 3 解析： 由 log4(3a 4b) log2 ab，得 12log2(3a 4b) 12log2(ab)，所以 3a 4b ab，即 3b4a 1. 所以 a b (a b) 3b 4a 3ab 4ba 7 4 3 7，当且仅当 3ab 4ba，即 a 2 3 4， b 3 2 3时取等号，故选 D. 答案： D 3设 f(x) ln x,0p D p rp 解析： 0 ab，又 f(x) ln x在 (0， )上单调递增，故 f( ab)p， r 12(f(a) f(b) 12(ln a ln b) ln ab f( ab) p， p r0， y0 时， xy (2y)x的最小值为 _
