1、 1 第一章 事件与概率 1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件 A表示被选学生是男生，事件 B表示被选学生是三年级学生，事件 C表示该生是运动员。 (1) 叙述 CAB 的意义。 (2)在什么条件下 CABC 成立？ (3)什么时候关系式 BC 是正确的？ (4) 什么时候 BA 成立？ 解 (1)事件 CAB 表示该是三年级男生， 但不是运动员。 (2) CABC 等价于 ABC ，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。 (4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时 。 1.3 一个工人生产了 n 个零件，以事件 iA 表示他生产的第 i 个零
2、件是合格品（ ni1 ）。用 iA 表示下列事件： (1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。 解 (1) ni iA1; (2) ni ini i AA 11 ; (3) ninijjji AA1 1 )(; (4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 nji jijiAA1,； 1.5 在分别写有 2、 4、 6、 7、 8、 11、 12、 13 的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。 解 样本点总数为 7828 A 。所得分数为既约分数必须分子
3、分母或为 7、 11、 13中的两个，或为 2、4、 6、 8、 12 中的一个和 7、 11、 13 中的一个组合，所以事件 A “所得分数为既约分数”包含6322 151323 AAA 个样本点。于是 14978 632)( AP 。 1.8 在中国象棋的棋盘上任 意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。 解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于 891109 个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的 1789 个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为 8917)( AP 1.9 一幢 10 层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上 7 位乘客。电梯在每一层都停，
4、乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离 开的概率。 解 每位乘客可在除底层外的 9层中任意一层离开电梯，现有 7位乘客，所以样本点总数为 79 。事件2 A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从 9 层中任取 7 层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含 79A 个样本点，于是7799)( AAP 。 1.10 某城市共有 10000 辆自行车，其牌照编号从 00001 到 10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中 有数字 8”的概率为多大？ 解 用 A 表示“牌照号码中有数字 8”，显然 44109100009)
5、( AP，所以 1)( AP - 44 10911 0 0 0 091)( AP 1.11 任取一个正数，求下列事件的概率： (2)该数的四次方的末位数字是 1； (3)该数的立方的最后两位数字都是 1； 解 (2)当该数的末位数是 1、 3、 7、 9之一时，其四次方的末位数是 1，所以答案为 52104 (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含 210 个样本点。用事件 A 表示“该数的立方的最后两位数字都是 1”，则该数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数字为 a ，则该数的立方的最后两位数字为 1 和 3a 的个位数，要使 3a 的个位数是 1
6、，必须 7a ，因此 A 所包含的样本点只有 71 这一点，于是 1.12 一个人把 6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把 6 个头两两相接， 6个尾也两两相接。求放开手以后 6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到 n2 根草的情形。 解 (1)6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的 5 个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的 3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有 135 种接法，同样对尾也有 135 种接法，所以样本点总数为 2)135( 。用 A 表示“ 6 根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有 135 种连接法，而对尾而言，任
7、取一尾，它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为 24 。所以 A 包含的样本点数为 )24)(135( ，于是158)135( )24)(135()( 2 AP(2) n2 根草的情形和 (1)类似得 1.15 在 ABC 中任取一点 P ，证明 ABCABP 与 的面积之比大于 nn1 的概率为21n。 解 截取 CDnDC 1 ，当且仅当点 P 落入 BAC 之内时 ABCABP 与 的面积之比大于nn1 ，因此所求概率为 22)(CDDCA B CCBAAP 的面积有面积 2221C
8、DDCn 21n。 1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到 达。设两船停靠泊位的时间分别为 1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。 3 解 分别用 yx, 表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当10,20 xyyx 。因此所求概率为 1 2 1.024 2221232124)( 2222AP 1.17 在线段 AB 上任取三点 321 , xxx ，求： (1) 2x 位于 31 xx与 之间的概率。 (2) 321 , AxAxAx 能构成一个三角形的概率。 解 (1) 31)( AP (2) 211 213131)
9、( BP 1.20 甲、乙两人从装有 a 个白球与 b 个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间 ，并求甲或乙先取到白球的概率。 解 1 表示白， 2 表示黑白， 3 表示黑黑白， 白黑黑表示 个 bb 1 ， 则样本空间 1 ， 2 ， 1b ，并且 ba aP )(1， 1)( 2 ba aba bP ， 211)( 3 ba aba bba bP ， )1()2( )2(11)( iba aiba ibba bba bP i ababa abP b )1)( !)( 1 甲取胜的概率为 )(1P + )(
10、 3P + )( 5P + 乙取胜的概率为 )( 2P + )( 4P + )( 6P + 1.21 设事件 BA, 及 BA 的概率分别为 p 、 q 及 r ，求 )( ABP ， )( BAP ， )( BAP ， )( BAP 解 由 )()()()( ABPBPAPBAP 得 rqpBAPBPAPABP )()()()( qrABPAPABAPBAP )()()()( ， prBAP )( rBAPBAPBAP 1)(1)()( 1.22 设 1A 、 2A 为两个随机事件，证明： 4 (1) )()()(1)( 212121 AAPAPAPAAP ; (2) )()()()()()
11、(1 21212121 APAPAAPAAPAPAP . 证明 (1) 1)()( 2121 AAPAAP )( 21 AAP = )()()(1 2121 AAPAPAP (2) 由 (1)和 0)( 21 AAP 得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。 1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有 45%，订乙报的有 35%，订丙报的有 30%，同时订甲、乙两报的有 10%，同时订甲、丙两报的有 8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有 3%，求下述百分比： (1)只订甲报的； (2)只订甲、乙 两报的； (3)只订一种
12、报纸的； (4)正好订两种报纸的； (5)至少订一种报纸的； (6)不订任何报纸的。 解 事件 A 表示订甲报，事件 B 表示订乙报，事件 C 表示订丙报。 (1) )()( ACABAPCBAP = )()( ACABPAP =30% (2) %7)()( A BCABPCABP (3) %23)()()()()( A BCPBCPABPBPCABP %20)()()()()( A BCPBCPACPCPBACP CBAP( + CAB + )BAC = )( CBAP + )( CABP + )( BACP =73% (4) )( ABCBACCABP %14)()()( ABCPBACP
13、CABP (5) %90)( CBAP (6) %10%901)(1)( CBAPCBAP 1.26 某班有 n 个学生参加口试，考签共 N 张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？ 解 用 iA 表示“第 i 张考签没有被抽到”， Ni ,2,1 。要求 )(1Ni iAP 。 ni NNAP 1)(， nji NNAAP 2)(， 0)(1 nN N NNAAP nNi i NNNAP 11)(1nNNN 11)1( 115 nNi ji NNNAAP 22)(1nNN 22)1( 12， 所以 nNiiNi i NiNAP 111 )1()(1.
14、29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。 解 用 gb, 分别表示男孩和女孩。则样本空间为： ),)(,(,),(),)(,(),(),( gggbgggbgggbbbgbgbgbbbbb 其中样本点依年龄大小的性别排列。 A 表示“有女孩”， B 表示“有男孩”，则 768/7 8/6)( )()|( AP ABPABP1.30 设 M 件产品中有 m 件是不合格品，从中任取两件， (1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 (2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是 不合格
15、品的概率。 解（ 1）设 A 表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， B 表示“所取产品都是不合格品”，则 2112)(MmMmmAP 22)(MBP )( )()( )()|( AP BPAP ABPABP 12 1mMm (2)设 C 表示“所取产品中至少有一件合格品”， D 表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则 2211)(MmMmMmCP 211)(MMmDP )( )()( )()|( CP DPCP CDPCDP 12 mM m 1.31 n 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求： (1)已知前 1k )( nk 个人都没摸到 ，求第 k 个人摸到的概
16、率； (2)第 k )( nk 个人摸到的概率。 解 设 iA 表示“第 i 个人摸到”， ni ,2,1 。 6 (1) 11)1( 1)|( 11 knknAAAP kk (2) )( kAP )( 11 kk AAAP nknnnnn 111121 1.32 已知一个母鸡生 k 个蛋的概率为 )0(! ekk ，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为 p ，证明：一个母鸡恰有 r 个下一代（即小鸡）的概率为 pr erp !)( 。 解 用 kA 表示“母鸡生 k 个蛋 ”， B 表示“母鸡恰有 r 个下一代”，则 )|()()( krk k ABPAPBP rkrrk k pprkke )1(
17、! rk rkr rk perp )!( )1(! )( )1(! )( pr eerp pr erp !)( 1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为 9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为 1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这 台机床是车床的概率是多少？ 解 则 159)(1 AP， 153)(2 AP， 152)(3 AP， 151)(4 AP71)|( 1 ABP ， 72)|( 2 ABP ， 73)|( 3 ABP ， 71)|( 4 ABP 由贝时叶斯公式得 229)|()( )|()()|( 41111 k kkABPAPABPAPBAP 1.
18、36 有朋友自远 方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是 0.3、 0.2、 0.1、 0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是 41 、 31 、 121 ，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？ 解 用 1A 表示“朋友乘火车来”， 2A 表示“朋友乘轮船来”， 3A 表示“朋友乘汽车来”， 4A 表示“朋友乘飞机来”， B 表示“朋友迟到了”。 则 21)|()( )|()()|( 41111 k kkABPAPABPAPBAP 1.41 一个人的血型为 ABBAO , 型的概率分别为 0.46、 0.40、 0.11、 0.03，现在任
19、意挑选五个人，求下列事件的概率 7 (1)两个人为 O 型，其它三个人分别为其它三种血型； (2)三个人为 O 型，两个人为 A 型； (3)没有一人为 AB 。 解 (1)从 5 个人任选 2人为 O 型，共有 25种可能，在其余 3人中任选一人为 A 型，共有三种可能，在余下的 2 人中 任选一人为 B 型，共有 2 种可能，另 一人为 AB 型，顺此所求 概率为：0168.013.011.040.046.02325 2 (2) 1557.040.046.035 22 (3) 8587.0)03.01( 5 1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为 p ，求在成功 n 次之前已
20、失败了 m 次的概率。 解 用 A 表示“在成功 n 次之前已失败了 m 次”， B 表示“在前 1mn 次试验中失败了 m 次”， C 表示“第 mn 次试验成功” 则 pppmmnCPBPBCPAP mn )1(1)()()()( 1mn ppmmn )1(1 1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有 n 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有 r 根火柴（ nr1 ）的概率。 解 用 iA 表示“甲盒中尚余 i 根火柴”， 用 jB 表示“乙盒中尚余 j 根火柴”， DC, 分别表示“第rn2 次在甲盒取”，“第 rn2 次在乙盒取”， CBA r
21、0 表示取了 rn2 次火柴，且第 rn2 次是从 甲 盒 中 取 的 ， 即 在 前 12 rn 在甲盒中取了 1n ， 其 余 在 乙 盒 中 取 。 所 以 2121211 12)(10 rnnr n rnCBAP由对称性知 )()( 00 DBAPCBAP rr ，所求概率为： )( 00 DBACBAP rr 120 211 12)(2 rnr n rnCBAP 第二章 离散型随机变量 2.3 解 设随机变量 的分布列为 3,2,1,32)( iCiPi 。求 C 的值。 8 解 1323232 32 C，所以3827C。 2.4 随机变量 只取正整数 N ，且 )( NP 与 2N
22、 成反比，求 的分布列。 解 根据题意知2)( NCNP ，其中常数 C 待定。由于 1621 2 CNCN，所以26C，即 的分布列为226)( NNP ， N 取正整数。 2.5 一个口袋中装有 m 个白球、 mn 个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了 个白球，求 的分布列。 解 设“ k ”表示前 k 次取出白球，第 1k 次取出黑球，则 的分布列为： .,1,0,)()1( )(1()1()( mkknnn mnkmmmkP 2.6 设某批电子管的合格品率为 43 ，不合格品率为 41 ，现在对该批电子管进行测试，设第 次为首次测到合格品，求 的分布列。 解
23、 .,2,1,4341)(1 kkP k 2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为 0.4,第二名队员投中的概率为 0.6，求每名队员投篮次数的分布列。 解 设 ， 表示第二名队员的投篮次数，则 4.04.06.0)( 11 kkkP + 6.04.6.0 1kk ,2,1,24.076.0 1 kk ； 6.04.06.0)( 1 kkkP 4.04.06. kk ,2,1,4.06.076.0 1 kkk 。 2.10 设随机变量 服从普哇松分布，且 )1(P )2( P ，求 )4( P 。 解 ,2,1,0)0(!)( kekkP k 。由于 ,22
24、 ee 得 ,21 02 （不合要求）。所以 224 32!42)4( eeP 。 2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为 7 的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为 0.999。 解 设 为该种商品当月销售数， x 为该种商品每月进货数，则 999.0)( xP 。查普哇松分布9 的数值表，得 16x 。 2.12 如果在时间 t （分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与 t 成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为 0.2，求在 2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。 解 设 为时间 t 内通过交叉路口的汽车数，则 ,2,1
25、,0),0(!)()( kektkP tk 1t 时， 2.0)0( eP ， 所以 5ln ； 2t 时， 5ln2t ，因而 )1(P )0(1 P )1(P 83.025/)25ln24( 。 2.13 一本 500 页的书共有 500 个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。 解 在指定的一页上出 现某一个错误的概率 5001p ，因而，至少出现三个错误的概率为 kkk k 5005003 5 0 04 9 95 0 015 0 0 kkk k 50020 5 0 04 9 95 0 015 0 01 利用普哇松定理
26、求近似值，取 15001500 np ，于是上式右端等于 0 8 0 3 0 1.0251!11 12 0 eekk 2 14 某厂产品的不合格品率为 0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于 0.9 的概率保证每箱中至少有 100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？ 解 设每箱至少装 x100 个产品，其中有 k 个次品，则要求 x ,使 kxkxk kx 1 0 00 97.003.01009.0 ， 利用普哇松分布定理求近似值，取 303.0)100( x ，于是上式相当于 30 !39.0 ekxkk ，查普哇松分布数值表，得 5x 。 2.15 设二维随机变量 ),( 的联合分布列
27、为： )10,0()!(! )1(),( pemnm ppmnP mnmn ,2,1,0,1,0 nnm 求边际分布列。 解 nm mnPnP 0 ),()( mnmnmn ppmnm nne )1()!(! !0 ,2,1,0! nnen 10 0 ),()( n mnPmP mnmmnm ppmnm nmep )1()!(! ! ,2,1,0!)( mm ep pm 。 2.17 在一批产品中一等品占 50%，二等品占 30%，三等品占 20%。从中任取 4 件，设一、二、三等品的件数分别为 、 、 ，求 ),( 的联合分布列与各自的边际分布列。 解 knmknmknmP 2.03.05.
28、0! !4),( ， .4,3,2,1,0, knmknm mmmmP 45.05.04)( ， 4,3,2,1,0m ； nnnnP 47.03.04)( ， 4,3,2,1,0n ； kkkkP 48.02.04)( ， 4,3,2,1,0k 。 2.18 抛掷三次均匀的硬币，以 表示出现正面的次数，以 表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求 ),( 的联合分布列及边际分布列。 2.21 设随机变量 与 独立，且 )1( P 0)1( pP ， 又 )0( P 01)0( pP ，定义 为奇数若 为偶数若 01，问 p 取什么值时 与 独立？ 解 )1()1()0()0()1( PPPPP = 22)1( pp )1()0()1()0()0( PPPPP )1(2 pp 而 )1,1( P 2)1,1( pP ，由 )1,1( P )1()1( PP 得21p2.22 设随机变量 与 独立，且 )1( P 21)1( P ，定义 ，证明 , 两两独立，但不相互独立。 证明 21)1()1()1()1()1( PPPPP 21)1()1()1()1()1( PPPPP 因为 41)1,1()1,1( PP )1)1( PP
