1、 三角函数的应用教案 罗湖外语学校初中实验部 徐爱华 教学目标 （ 一 ） 教学知识点 1经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用 2 能够把实际问题转化为数学问题 ， 能够借助于计算器进行有关三角函数的计算 ， 并能对结果的意义进行说明 （ 二 ） 能力训练要求 发展学生的数学应用意识和解决问题的能力 （ 三 ） 情感与价值观要求 1 在经历弄清实际问题题意的过程中 ， 画出示意图 ， 培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气 2 选择生活中学生感兴趣的题材 ， 使学生能积极参与数学活动 ， 提高学 习数学、学好数学的欲望 教学重点 1 经历探索船是否有触礁危险
2、的过程 ， 进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用 2 发展学生数学应用意识和解决问题的能力 教学难点 根据题意 ， 了解有关术语 ， 准确地画出示意图 教学过程 （一）复习旧知 ， 引入新课 1 一物体沿坡度为 1 8 的山坡向上移动 65m ， 则物体升高了 m 答案： 1 2 在地面上一点 ， 测得一电视塔尖的仰角为 45， 沿水平方向 ， 再向塔底前进 a m， 又测得塔尖的仰角为 60， 那么电视塔的高为 m www.21-cn- 2 m30 答案 ： 1(3 3)2 a3 如图所示 ， 在高 2 m， 坡角为 30的楼梯 表面铺地毯 ， 地毯的长度至少需要 m 答案 ： 2 2
3、3 4创设问题 ， 引入新课 海中有一个小岛 A， 该岛四周 10 海里内有暗 礁 今有货轮由西向东航行 ， 开始在 A 岛南偏西 55 的 B 处 ， 往东行驶 20 海里后 ， 到达该岛的南偏西 25 的 C 处 ， 之后 ， 货轮继续往东航 行 ， 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 ？ 你是如何想的 ？ 与同伴进行交流 21*cnjy*com （二）讲授新课 1思路点拔 （ 1）我们注意到题中有很多方位 ， 在平面图形中 ， 方位是如何规定的 ？ 应该是 “ 上北下南 ， 左西右东 ” （ 2）请同学们根据题意在练习本上画出示意图 ， 然后说明你是怎样画出来的 首先我们可将小岛
4、 A 确定 ， 货轮 B 在小岛 A 的南偏西 55 的 B 处 ， C 在 B 的正东方 ，且在 A 南偏东 25 处 示意图如下 21 世纪教育网版权所有 （ 3）货轮要向正东方向继续行驶 ， 有没有触礁的危险 ， 由谁来决定 ？ 根据题意 ， 小岛四周 10 海里内有 暗礁 ， 那么货 轮继续向东航行的方向如果到 A 的最短距离大于 10 海里 ， 则无触礁的危险 ， 如果小于 10 海里则有触礁的危险 A 到 BC 所在直线的最短距离为过 A 作 AD BC， D 为垂足 ， 即 AD 的长度 我们需根据题意 ， 计算出 AD 的长度 ， 然后与 10 海里比较 www-2-1-cnj
5、y-com （ 4）下面我们就来看 AD 如何求 根据题意 ， 有哪些已知条件呢 ？ 20 2 0 .7 9ta n 5 5 ta n 2 5AD 已知 BC=20 海里 ， BAD=55， CAD=25 （ 5）在示意图中 ，有两个直角三角形 Rt ABD 和 Rt ACD你能在哪一个三角形中求出 AD 呢？ 在 Rt ACD 中，只知道 CAD=25，不能求 AD 在 Rt ABD 中，知道 BAD=55，虽然知道 BC=20 海里，但它不是 Rt ABD 的边，也不能求出 AD 21*cnjy*com （ 6）那该如何是好？是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑？ 这两个三角形
6、有联系， AD 是它们 的公共直角边 而且 BC 是这两个直角三角形 BD 与CD 的差，即 BC=BD-CD BD、 CD 的对角是已知的， BD、 CD 和边 AD 都有联系 （ 7）有何联系呢？ 在 Rt ABD 中，tan55 BDAD， tan 55BD AD；在 Rt ACD 中， tan25 CDAD ， tan 25CD AD 利用 BC=BD-CD 就可以列出关于 AD 的一元一次方程，即 ADtan55 -ADtan25 =20 总结：其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一 解：过 A 作 BC 的垂线，交 BC 于
7、点 D 得到 Rt ABD 和 Rt ACD，从而 BD=ADtan55， CD=ADtan25，由 BD-CD=BC，又 BC=20 海里得 ADtan55 -ADtan25 =20 AD（ tan55 -tan25） =20， （海里） 这样 AD 20.79 海里 10 海里，所以货轮没有触礁的 危险 2小组合作，探索问题 （ 1）想一想你会更聪明： 接下来，我们再来研究一个问题还记得本章开头小明要测塔的高度吗？现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度 21cnjy 如图，小明想测 量塔 CD 的高 度他在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30，再往塔的方向前进 50m至
8、 B 处测得仰角为 60那么该塔有多高？（小明 的身高忽略不计，结果精确到 1 m） （ 2）思路点拔： 我想请一位同学告诉我什么是仰角？在这个图中， 30的仰角、 60的仰角分别指哪两个角？ 当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角 30的仰角指 DAC， 60的仰角指 DBC 很好！请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答 首先，我们可以注意到 CD 是两个直角三角形 Rt ADC 和 Rt BDC 的公共边，在 Rt ADC 中， tan30 CDAC ， 即 tan30CDAC ， 在 Rt BDC 中， tan60 CDBC ， 即 tan60CDBC ，又 AB
9、=AC-BC=50 m，得 50tan 3 0 tan 6 0C D C D 解得 CD 43（ m）， 即塔 CD 的高度约为 43 m 提出质疑，再探新知： 小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量 CD 的高度时是否应考虑小明的身高？ 在实际测量时，的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离 如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为 1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？ 21 教育网 示意图如图所示，由前面的 解答过程可知 CC 43 m，则 CD=43+1.6=44.6 m即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m 3巩固新知、解
10、决问题： 现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下 某商场准备改善原来楼梯的安 全性能，把倾 角由 40减至 35，已知原楼梯长为 4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到 0.0l m） 请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，（先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法） 21世纪 *教育网 （ 1）思路点拔 要注意调整前后梯楼的高 度是一个不变 量根据题意可画示意图（如右图）其中 AB表示楼梯的高度 AC 是原楼梯的长， BC 是原楼梯的占地长度； AD 是调整后的楼梯的长度，DB 是调整后的楼梯的占地长度 ACB 是原楼梯的倾
11、角， ADB 是调整后的楼梯的倾角转化为数学问题即为： 21cnjycom 如图， AB DB， ACB=40， ADB=35， AC=4m求 AD-AC 及 DC 的长度 （ 2）解决问题 解：由条件可知，在 Rt ABC 中， sin40 ABAC ，即 AB=4sin40 m，原楼梯占地 长 BC=4cos40 m 调整后，在 Rt ADB 中， sin35 ABAD ， 则 4 s in 4 0s in 3 5 s in 3 5ABAD m楼梯占地长 4sin 40tan 35DB m 调整后楼梯加长 4 s i n 4 0 4 0 .4 8s i n 3 5A D A C （ m），
12、 楼梯比原来多占 4 s i n 4 0 4 c o s 4 0 0 . 6 1t a n 3 5D C D B B C （ m） （三）随堂练习 1如图，一灯柱 AB 被 一钢缆 CD 固 定， CD 与地面成 40夹角，且 DB=5 m，现再在C 点上方 2m 处加固另一条钢缆 ED，那么钢缆 ED 的长度为多少？ 【来源： 21世纪教育网】 解：在 Rt CBD 中， CDB=40， DB=5 m， sin40 BCDB ， BC=DBsin40 =5sin40（ m） 2-1-c-n-j-y 在 Rt EDB 中， DB=5 m， BE=BC+EC=2+5sin40（ m） 根据勾股定
13、理，得 22 2 25 2 5 s i n 4 0 7 . 9 6D E D B B E （ m） 所以钢缆 ED 的长度为 7.96 m 2如图，水库大坝的截面是梯形 ABCD，坝顶 AD=6 m，坡长 CD=8 m坡底 BC=30 m， ADC=135 【来源： 21cnj*y.co*m】 （ 1）求 ABC 的大小； （ 2）如果坝长 100 m那么建筑这个大坝共需多少土石料？（结果精确到 0.01 m3） 解：过 A、 D 分别作 AE BC， DF BC， E、 F 为垂足 （ 1）在梯形 ABCD 中 ADC=135， FDC=45， EF=AD=6 m在 Rt FDC 中， DC
14、=8 m DF=FC=CD sin45 4 2 （ m） 3 0 4 2 6 2 4 4 2B E B C C F E F （ m） 在 Rt AEB 中， 42AE DF （ m） 4 2 2ta n 0 .3 0 82 4 4 2 6 2AEABC BE ABC 17821 （ 2）梯形 ABCD 的面积： 11 6 3 0 4 2 7 2 222S A D B C A E （ m2） 坝长为 100 m，那么建筑这个大坝共需土石料 1 0 0 7 2 2 1 0 1 8 2 .3 4 （ m3） 综上所述， ABC=17821，建筑大坝共需 10182.34 m3土石料 （四）活动与探究
15、，拓展知识 例题：如图，某货船以 20 海里 /时 的速度将一批 重要物资由 A 处运往正西方向的 B 处，经 16 小时的航行到达，到达后必须立即卸货 此时接到气象部门通知，一台风中心正以 40海里 /时的速度由 A 向北偏西 60方向移动，距台风中心 200 海里的圆形区域（包括边界）均受到影响 【出处： 21 教育名师】 （ 1）问： B 处是否会受到台风的影响？请说明理由 （ 2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？ 过程 这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征在转化、抽象成数学问题上下功夫 【版权所有： 21 教育】 结果 （ 1）过点 B 作 BD
16、 AC垂 足为 D 依题意，得 BAC=30，在 Rt ABD 中， 11 2 0 1 6 1 6 0 1 2 022B D A B ， B 处会受到台风影响 （ 2）以点 B 为圆心， 200 海里为半径画圆交 AC 于 E、 F，由勾股定理可求得 DE=120， 160 3AD 1 6 0 3 1 2 0A E A D D E 160 3 120 3.840 （小时） 因此，该船应在 3.8 小时内卸完货物 （五）课时小结 本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际 问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力 其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴请同学们阅读“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣 21 教育名师原创作品 习题 1.6 第 1、 2、 3 题
