1、 高 二 期 末 考试 数学参考答案 第 1 页 共 6 页 高 二 年级 理科数学卷 20161225 一、选择题 .（ 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1、 若命题 p : 0x , 2 3 2 0xx ,则命题 p 为 A. 0x , 2 3 2 0xx B. 0x , 2 3 2 0xx C. 0x, 2 3 2 0xx D. 0x , 2 3 2 0xx 2、 公比为 2 的等比数列 na 的各项都是正数，且 4 1016aa，则 6a= A 1 B 2 C 4 D 8 3、 在 ABC 中，如果 bcacb
2、cba 3)( ，那么角 A 等于 A 30 B 60 C 120 D 150 4、 已知变量 ,xy满足约束条件 1101xyxxy，则 23z x y的取值范围是 A. 8,4 B. 8,2 C. 4,2 D. 4,8 5、已知双曲线 2219 16xy上一点 M 到 A（ 5,0）的距离为 3，则 M 到左焦点的距离等于 A 6 B 7 C 8 D 9 6、已知 na 为等差数列，其前 n 项和为 nS ，若 3 6a ， 3 12S ，则 821111 SSS A. 87 B. 98 C. 89 D. 910 7、设平 面 内两个向量的坐标分别为（ 1， 2， 1）、（ -1， 1，
3、2），则下列向量中是平面 的法 向量的是 A.（ -1， -2， 5） B.（ -1,1,-1） C.（ 1, 1,1） D.（ 1， -1， -1） 8、空间四点 A,B,C,M 互不重合且无三点共线 ,O 为空间任意一点 ，则使向量 MA 、 MB 、 MC可能 成为空间一组基底的关系是 A 1 1 13 3 3O M O A O B O C B MA MB MC C O M O A O B O C D 32MA MB MC 高 二 期 末 考试 数学参考答案 第 2 页 共 6 页 9、已知直线 m 、 n 和平面 ，则 nm/ 的一个必要不充分条件是 A / nm 且 B /m 且 n
4、 C m 、 n 与 成等角 D m 且 n 10、如果满足 ABC= 060 ， AC=12， BC=k 三角形恰有一个，那么 k 的取值范围是 A 38k B 120 k C 12k D 120 k 或 38k 11、 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的 221yxab（ 0ab ）焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为 A 13 B 12 C 33 D 22 12如果满足方程 ytxtyx 322222 的实数对 ),( yx 一定满足不等式 |xy ，则常数 t 的取值范围是 A 2 23,2 23 B 2 23,2 23 C 2 23,2
5、 23 D 2 23,2 23 二、填空题 .（ 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ） 13、已知向量 (5,3,1)a ， 2( 2, , )5bt ，若向量 a 与 b 的夹角为锐角，则 t 的取值范围是 14、 等差数 列 na 前 9 项的和等于前 4 项的和 .若 141, 0ka a a ，则 k . 15、 抛物线 2 2 ( 0)x py p的焦点为 F,其准线与双曲线 22133xy相交于 ,AB两点 ,若ABF 为等边三角形 ,则 p 的值为 _ 16、 已知命题 p： ABC中， BA 是 BA sinsin 的充要条件； 命题 q： 0ba 是abba
6、2 的充分不必要条件。 则 下列 命题 ： pq； ； pq； 中 是真 命题 的有 . （填序号 ,漏填或错填都不得分 ） 三、解答题 .（ 本大题共 5 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .） 17 （本小题满分 14 分） 在锐角 ABC 中， a 、 b 、 c 分别为角 A、 B、 C 所对的边，且32sin cAa . (1) 求 角 C 的大小； (2)若 c 7 ,且 ABC 的面积为 233 ， 求 ba 的值 . 高 二 期 末 考试 数学参考答案 第 3 页 共 6 页 18.（本小题满分 14 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 122
7、nnS ，数列 nb 是首项为 1a ，公差为 ( 0)dd 的等差数列，且 1 3 11,b b b 成等比数列 （ 1） 求数列 na 与 nb 的通项公式； （ 2）设 nn nbc a，求 数列 nc 的前 n 项和 nT 19.（本小题满分 14 分） 已知直线 2y 上有一个动点 Q ,过点 Q 作直线 1l 垂直于 x 轴 ,动点 P 在 1l 上 ,且满足OP OQ (O 为坐标原点 ),记点 P 的轨迹为 C . (1) 求曲线 C 的方程； (2) 若 曲线 上 C 有两个点 AB, 满足 0OBOA ，求 AOB 面积的最小值。 高 二 期 末 考试 数学参考答案 第 4
8、 页 共 6 页 20（本小题满分 14 分） 如图 ，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PCD 底面 ABCD , PD CD , E 为 PC 中点，底面 ABCD 是直角梯形， /AB CD , ADC90 ，1A B A D P D , 2CD (1) 求证： /BE 平面 PAD ； (2) 求证：平面 PBC 平面 PBD ； (3) 设 Q 为棱 PC 上一点， PQ PC ,试确定 的值 ,使得二面角 Q BD P为 45 21.（本小题满分 14 分） 若 椭圆 C ： 22 1( 0 )xy abab 的离心率为 22 ，焦距为 2 （）求 椭圆 C 的方程 ; （）设 (
9、 2,0)M ，过点 M 且 斜率 为 k 的直线 l 与 椭圆 C 相交于 ,EF两点，当线段 EF的 中点落在由四点 1 2 1 2( 1 , 0 ) , (1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 0 , 1 )C C B B构成的四边形内（包括边界）时，求直线 l 斜率 k 的取值范围 A C B D P E 高 二 期 末 考试 数学参考答案 第 5 页 共 6 页 高 二 年级 理科 数学 参考答案 一 选择题 :本大题共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中 二 .填空题 :本大题共 4 个小题，共 20 分，将答案填写在答题卡中相 应题号
10、的横线上 . 13. 52( , )15 14. 10 15. 6 16 三 .解答题 : 17、 (本小题满分 14分 ) 解： （ 1）解： 由正弦定理得 CcAa sinsin ， 32sin cAa , 32sin cCc , 2 分 23sin C . 4 分 ABC 是锐角三角形， 3C . 7 分 （ 2）解 : 7c , 3C , 由面积公式得 2333sin21 ab , 8 分 6ab . 10 分 由余弦定理得 73c o s222 abba 1 2 分 73)( 2 abba 5ba 1 4 分 18、 (本小题满分 14分 ) 解： （ 1）当 2n ，时 11 2
11、2 2n n nn n na S S ， -2 分 又 1 1 111 2 2 2 2aS ，也满足上式， 所以 数列 na 的通项公式为 2nna -4 分 112ba，设公差为 d ，则由 1 3 11,b b b 成等比数列， 得 2( 2 2 ) 2 ( 2 1 0 )dd ， -5 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B A D B B C C D D A 高 二 期 末 考试 数学参考答案 第 6 页 共 6 页 解得 0d （舍去）或 3d ， -6 分 所以数列 nb 的通项公式为 31nbn -7 分 （ 2）由（ 1）可得 3121 2 3nn
12、nbbbbT a a a a 1 2 32 5 8 3 12 2 2 2 nn ， -9 分 1 2 15 8 3 122 2 2 2n nnT ， 两式式相减得 1 2 13 3 3 3 12 2 2 2 2n nnnT ， -11 分 131(1 )3 1 3 522251 2212nn nnnnT ， -14 分 19、 (本小题满分 13分 ) 解 :（ 1） 设点 P 的坐标为 ,xy ,则点 Q 的坐标为 ,2x . OP OQ , 1OP OQkk . 当 0x 时 ,得 2 1yxx ,化简得 2 2xy . 4 分 当 0x 时 , P 、 O 、 Q 三点共线，不符合题意，
13、故 0x . 曲线 C 的方程为 2 2xy 0x 6 分 （ 2）设直线 OA的斜率为 k , 0k ,由 0OBOA 知 OA OB ， 故 直线 OB 的斜率为 k1 由 )2,2(2 22 kkAyx kxy , 将 k 换成 k1 ，得 )2,2(2kkB 10 分 AOB 面积 )2()2()2()2(21|21 22222 kkkkOBOAS 412221222222 kkkk等号成立时当且仅当22 1kk ,即 1k 所以 AOB 面积的最小值为 4 14 分 高 二 期 末 考试 数学参考答案 第 7 页 共 6 页 HFEPD CBA注：（ 2）也可以设 点 )21,(),
14、21,( 222211 xxBxxA20、 (本小题满分 14分 ) .解：令 PD 中点为 F ，连接 EF ， 分 点 ,EF分别是 PCD 的中点， EF / 12CD , EF / AB . 四边形 FABE 为平行四边形 .分 /BE AF , AF 平面 PAD , EF 平面 PAD 分 PADBE 面/ 分 （ 2）在梯形 ABCD 中 ,过点 B 作 BH CD 于 H , 在 BCH 中， 1BH CH, 045BCH . 又在 DAB 中， 1AD AB, 045ADB , 045BDC , 090DBC BDBC . 分 面 PCD 面 ABCD ,面 PCD 面 AB
15、CD CD , PD CD , PD 面 PCD , PD面 ABCD , 分 PD BC, 7 分 BD PD D, BD 平面 PBD , PD 平面 PBD BC 平面 PBD , 8 分 BC 平面 PBC , 平面 PBC 平面 PBD 9 分 ( )以 D 为原点， ,DA DC DP 所在直线为 ,xyz 轴建立空间直角坐标系 分 则 0 , 0 , 1 0 , 2 , 0 1 , 0 , 0 1 , 1 , 0P C A B， ， ，. 令 0 0 0,Q x y z ， PQ PC ， 0, 2 ,1Q 。 BC 平面 PBD ， BC 即平面 PBD 的法向量 1,1,0n
16、 分 设面 QBD的 法向量为 ,m x y z QABCDPx y z 高 二 期 末 考试 数学参考答案 第 8 页 共 6 页 则 00m DBm DQ ,即 21xyzy 令 1y ，得 21,1,1m 分 二面角 Q BD P为 045 ， 222c o s ,22221mnmnmn ，解得 =-1 2 分 Q 在 PC 上， 01 ， = 2 1为所求 分 21、 (本小题满分 14分 ) 解 :（） 依 题意 有 ， 2222222baccac 2 分 解得 12ba ，所以 椭圆 C 的方程为 2 2 12x y 4 分 （）设直线 l 的方程为 ( 2)y k x. 设点 ,
17、EF的坐标分别为 1 1 2 2( , ), ( , ),x y x y 线段 EF 的中点为G 00( , )xy ，由 22( 2)12y k xx y 得 2 2 2 2(1 2 ) 8 8 2 0k x k x k 由 2 2 2 2( 8 ) 4 (1 2 ) ( 8 2 ) 0k k k 解得 22k (1) 7 分 由韦达定理得 212 2812kxx k， 于是 120 2xxx = 22412kk ，00 22( 2 ) 12ky k x k 10 分 因为 20 24 012kx k ，所以点 G 不可能在 y 轴的右边，又直线 1 2 1 1,CB CB ,方程分别为高 二 期 末 考试 数学参考答案 第 9 页 共 6 页 1, 1y x y x 所以点 G 在正方形内（包括边界）的充要 条件为 0011yx 即22222224 11 2 1 224 11 2 1 2kkkkkkkk 亦即 222 2 1 0,2 2 1 0.kkkk 12 分 解得 3 1 3 122k ， (2) 由（ 1）（ 2）知，直线 l 斜率的取值范围是 3 1 3 1 , .22 14 分 注： 点 G 在正方形内（包括边界）也可等价于： 1| 00 yx
