1、第 1 页 共 11 页 选修 2-3： 排列组合常见题型 可重复的排列 （ 求幂法 ） 重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复 。 在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数 。 【 例 1】 （ 1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （ 2）有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （ 3）将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【 解析 】 ： （ 1） 43 （ 2） 34 （ 3） 34 相邻问题 （ 捆绑法 ） 相邻的几个元素捆绑成一个组
2、，当作一个大元素参与排列 .高考资源网 【 例 1】 , , , ,A B C D E 五人 站成一排，如果 ,AB必须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同的排法种数有 【 解析 】 ： 把 ,AB视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列， 44 24A 种 练习： （ 2012 辽宁） 一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 (A)3 3！ (B) 3 (3！ )3 (C)(3！ )4 (D) 9！ 【 解析 】 ： C 相离问题 （ 插空法 ） 元素相离（即 不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元
3、素插入上述几个元素的空位和两端 . 【 例 1】 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【 解析 】 ： 除甲乙外，其余 5 个排列数为 55A 种，再用甲乙去插 6 个空位有 26A 种，不同的排法种数是5256 3600AA 【 例 2】 书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的顺序，有 种不同的插法 【 解析 】 ： 1 1 17 8 9A A A =504 【 例 3】 .马路上有编号为 1， 2， 3， 9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 【 解析 】
4、： 把此问题当作一个排队模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 35C = 10 种方法。 第 2 页 共 11 页 说明 ：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒 模型可使问题容易解决 . 【 例 4】 3 个人坐在一排 8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？ 【 解析 】： 先拿出 5 个椅子排成一排，在 5 个椅子中间出现 4 个空， * * * * *再让 3 个人每人带一把椅子去插空，于是有 A34 =24 种 . 练习 1： (2014 辽宁 )6把椅子摆成一排 ,3 人随机就座 ,任何两人不相邻的坐法种数
5、为 ( ) A.144 B.120 C.72 D.24 【 解析 】 ： D 练习 2： 停车场划出一排 12 个停车位置，今有 8 辆车需要停放 .要求空车位置连在一起，不同的 停车方法有多少种？ 【 解析 】 ：先排好 8辆车有 A88 种方法，要求空车位置连在一起，则在每 2 辆之间及其两端的 9 个空档中任选一个，将空车位置插入有 C19 种方法，所以共有 C19 A88 种方法 . 练习 3: 某工程队有 6 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工 程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排 这 6 项工程的不同排法种数是 【
6、解析 】 ： 依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的 5个空中，可得有 25A 20 种不同排法。 元素分析法（位置分析法） 某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。 【 例 1】 1 名老师和 4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 【解析】： 老师在中间三个位置上选一个有 13A 种， 4 名同学在其余 4 个位置上有 44A 种方法；所以共有143472AA 种。 . 练习 1： 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？ 【解析】 法一： （从元素分析） 1656A 3600A 法二：
7、（从位置分析） 2565 3600AA 法三： 3600666677 AAA 第 3 页 共 11 页 练习 2： （ 2010 山东理） 某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在 最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 （ ） （ A） 36 种 （ B） 42 种 (C)48 种 （ D） 54 种 【 解析 】 ： B 多排问题 （ 单排法 ） 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 高考资源网 【 例 1】 （ 1） 6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是（ ） A、
8、36 种 B、 120 种 C、 720 种 D、 1440 种 （ 2） 8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排 ，某 1 个元素排在后排，有多少种不同排法？ 【解析】 ： （ 1） 前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排，共 66 720A 种 （ 2） 看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个，有 24A 种，某 1 个元素排在后半段的四个位置中选一个有 14A 种，其余 5 个元素任排 5 个位置上有 55A 种，故共有 1 2 54 4 5 5760A A A 种排法 . 定序问题 （ 缩倍法 ） 在排列
9、问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法 . 【 例 1】 . , , , ,A B C D E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边（ ,AB可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ） 高考资源网 【解析】 ：602255 AA种 【 例 2】 书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的顺序，有多少种不同的插法？【解析】 ： 法一：6699AA法二： 39A 练习： 从 1， 2， 3， 9 九个数字中选出三个不同的数字 a， b， c，且 a b c，作抛物线 y ax2 bx c，则不同的抛物线共有 条 （用数字作答） 【解析】 ：843
10、93339 CAA种 第 4 页 共 11 页 标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去， 依次即可完成 .（常用树状图） 【 例 1】 将数字 1， 2， 3， 4 填入标号为 1， 2， 3， 4 的四个方格里，每格填一个数，则每个 方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A、 6 种 B、 9 种 C、 11 种 D、 23 种 高考 【解析】 B 练习： 同室 4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡， 则 4 张贺年卡不同的分配方式共有 ( ) （ A） 6 种 （ B） 9 种 （
11、C） 11 种 （ D） 23 种 【解析】 B 【 例 2】 编号为 1、 2、 3、 4、 5 的五个人分别去坐编号为 1、 2、 3、 4、 5 的五个座位，其中 有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A 10 种 B 20 种 C 30 种 D 60 种 【解析】 B 不同元素的分配问题（先分堆再分配） 注意平均分堆的算法 。 【 例 1】 有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ 高考资 源网 （ 1） 分成 1 本、 2 本、 3 本三组； （ 2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本； （ 3） 分成每组都是
12、2 本的三个组； （ 4） 分给甲、乙、丙三人，每个人 2 本； （ 5） 分给 5 人每人至少 1 本。 【解析】 ： （ 1） 332516 CCC （ 2） 33332516 ACCC （ 3）33222426ACCC（ 4） 222426 CCC （ 5） 554412131426 AA CCCC练习： 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种【解析】： 2 1 1 34 2 1322 36C C C AA 【 例 3】 5名志愿者分到 3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 （ ） （ A） 150种 (B)180种
13、(C)200种 (D)280种 第 5 页 共 11 页 【解析】： 3 1 1 35 2 1322C C C AA + 1 2 2 35 4 2322C C C AA 150，选 A 练习 1： 四个不同球放入编号为 1， 2， 3， 4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？ 【解析】 ： 144 练习 2： 5 人到一个 5 层居民楼调查，每人随机选一层，且选每个楼层可能性相等 ，则恰好只有 3 个楼层有人调查，且没有被调查的 2 层不相邻的安排方法有多少种？ 【解析】 （ 1） 、先将 5 人分组，可分为 3+1+1 或 2+2+1 （ 2） 、 将 3 组排成一列，会产生 4 个
14、空，对这 4 空选 2 个进行插空。 即共有 900)( 24332211232522111235 CAA CCCA CCC种排法。 练习 3： （ 2016 合肥一模 理 10） 某企业的 4 名职工参加职业技能考核 ,每名职工均可从 4 个备选考核项目中任意抽取一个参加考核 ,则恰有一个项目未被抽中的概率为 A. 916 B. 2764 C. 81256 D. 716【解析】 169443422111224AA CCCP ，选 A 练习 4： （ 2015 合肥三模理 8） 某校计划高一年级四个班级开展研学旅行活动，初选了 A,B,C,D 四条不同路线，每个班级只能在这四条线路中选择一条，
15、且同一线路最多只能有两个班级选择，则不同的选择方案有 ( ) A 240 种 B 204 种 C 188 种 D 96 种 【解析】 答案 B。 选 4 条线路时有 44A 种 , 选 3 条线路时有 3422111224A CCC A种 , 选 2 条线路时有 24222224A CC A种 . 相同元素的分配问题 （ 隔板法 ） 【 例 1】 ： 10 个三好学生名额分到 7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 【解析】 ： 10 个名额分到 7 个班级，就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆，每堆 至少一个，可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6
16、块木板，每一种插法对应着一种分配方案， 故共有不同的分配方案为 69 84C 种 .高考资源网 考资源网 【 例 2】 把 20 个相同的球全放入编号分别为 1， 2， 3 的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？ 【解析】 ： 向 1， 2， 3号三个盒子中分别放入 0， 1， 2个球后还余下 17个球，然后再把这 17 第 6 页 共 11 页 个球分成 3 份， 转化为 每份至少一球，运用隔板法，共有 120216C 种放 法。 练习 1：（ 2012 合肥二模理 9） 50 台完全相同的校车发放给 10 所学校，每校至少 2 台，则不同发放方案有 _种。
17、 【解析】 ： 939C 练习 2： 如 图为 7 3 方格，每个方格均为正方形 ，则图中共有多少个矩形 ? 【解析】 ： 2428CC 练习 3:（ 1） 三元一次方程 10 zyx 所有正整数解有多少个 ? （ 2） 三元 一次方程 10 zyx 所有非负整数解有多少个 ? 【解析】 ： （ 1） 29C （ 2） 212C 【 例 3】 ： 将 4 个相同的白球、 5 个相同的黑球、 6 个相同的红球放入 4 各不同的盒子中的 3 个 中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？ 高考资源网 【解析】 ： 1、 先从 4 个盒子中选三个放置小球有 34C 种方法。 2、
18、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法 。为了保证三个盒子中球 的颜色齐全，可以在 4 个相同的白球、 5 个相同的黑球、 6 个相同的红球所产生的 3 个、 4 个 5 个空挡中分别插入两个板。各有 23C 、24C 、 25C 种方法。 3、由分步计数原理可得 34C 23C 24C 25C =720 种 多面手问题（ 分类法 -选定标准） 【 例 1】 ： 有 11 名外语翻译人员，其中 5 名是英语译员， 4 名是日语译员，另外两名是英、 日语均精通，从中找出 8 人，使他们可以组成翻译小组，其中 4 人翻译英语，另 4 人翻译日 语，这两个小组能同时工作，问这样的 8 人名单可以开
19、出几张？ 【解析】 ： 34111235244544253412454412354445 CCCCCCCCCCCCCCCC 考资源网 走楼梯问题 （分类法与插空法相结合） 【 例 】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有 16 级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？ 第 7 页 共 11 页 【解析】 ： 插空法解题：考虑走 3 级台阶的次数： 1）有 0 次走 3 级台阶（即全走 2 级），那么有 1 种走法； 高考资源网 2）有 1 次走三级台阶。（不可能完成任务）； 3）有两次走 3 级台阶，则有 5 次走 2 级台阶： （ a）两次三
20、级台阶挨着 ：相当于把这两个挨着的三级台阶放到 5 个两级台阶形成的空 中，有 16 6C 种（ b）两次三级不挨着 ：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到 5 个两级台阶形成的空中，有 26 15C 种 4）有 3 次（不可能） 高考资源网 5）有 4 次走 3 级台阶，则有 2 次走两级台阶，互换角色，想成把两个 2 级台阶放到 3 级台阶形成得空中，同（ 3）考虑挨着和不挨着两种情况有种 125515CC走法； 6）有 5 次（不可能） 故总共有： 1+6+15+15=37 种。 练习 ： 欲登上第 10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有 ( ) （ A） 34 种
21、（ B） 55 种 （ C） 89 种 （ D） 144 种 【 解析 】 ： C 排数问题（注意数字“ 0”） 高 考资源网 【 例 1】 （ 2016 年四川高考） 用数字 1， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （ A） 24 （ B） 48 （ C） 60 （ D） 72 【 解析 】 ： D 练习： （ 2013 山东理）试用 0,1, ,9 十个数字 ,可以组成有重 复数字的三位数的个数为 （ ） A 243 B 252 C 261 D 279 【 解析 】 ： 89910109 252 选 B 练习： （ 2010 四川 10）由 1、 2、 3、
22、 4、 5、 6 组成没有重复数字且 1、 3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 （ ） A.72 B.96 C.108 D.144 o* 【 解析 】 ： C 【 例 2】 从 1， 2， 3， 100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被 4 整除的取法（不计顺序）有多少种？ 第 8 页 共 11 页 【 解析 】 ：将 1, 2, 3 ,10 0I 分成四个不相交的子集，能被 4 整除的数集 4, 8,12 , 100A ；能被 4 除余 1 的数集 1, 5, 9, 97B ，能被 4 除余 2 的数集 2, 6, ,98C ，能被 4 除余 3 的数集 3, 7, 11 , 9
23、9D ，易见这四个集合中每一个有 25 个元素；从 A 中任取两个数符合要；从 ,BD中各取一个数也符合要求；从 C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 2 1 1 225 25 25 25C C C C种 . 涂 色问题 【 例 1】 用 5 种不同的颜色给图中标、的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？ 分析：先给号区域涂色有 5 种方法，再给号涂色有 4 种方法，接着给号涂色方法有 3 种，由于号与、不相邻，因此号有 4 种涂法，根据 分步计数原理，不同的涂色方法有 5 4 3 4 240 根据共用了多少种颜色
24、讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。 【 例 2】 （ 2003 江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的 6 个区域，且相邻两个区域不能同色。 分析：依题意只能选用 4 种颜色，要分四类： （ 1）与同色、与同色，则有 44A ； （ 2）与同色、与同色，则有 44A ； （ 3）与 同色、与同色，则有 44A ； （ 4）与同色、 与同色，则有 44A ； （ 5）与同色、与同色，则有 44A ； 所以根据加法原理得涂色方法总数为 5 44A =120 【 例 3】 （ 2003 年全国高考题） 如图所示，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相
25、邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着方 法共有多少种？ 分析：依题意至少要用 3 种颜色 当先用三种颜色时，区域 2 与 4 必须同色，区域 3 与 5 必须同色，故有 34A 种； 当用四种颜色时，若区域 2 与 4 同色，则区域 3 与 5 不同色，有 44A 种； 若区域 3 与 5 同色，则区域 2 与 4 不同色，有 44A 种， 2 4 3 1 5 2 第 9 页 共 11 页 故用四种颜色时共有 2 44A 种。 由加法原理可知满足题意的着色方法共有 34A +2 44A =24+2 24=72 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色
26、与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。 【 例 4】 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 分析：可把问题分为三类： 四格 涂不同的颜色，方法种数为 45A ； 有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为 12542CA ； 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为 25A ， 因此，所求的涂法种数为 2 1 2 25 5 4 52 2 6 0A C A A 【 例 5】 将一个四棱锥 S ABCD 的每个顶点染上一种
27、颜色，并使同一条棱的两端点 异色，如果只有 5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？ 解 ：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图， 对这五个区域用 5 种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？ 解答略。 【 例 6】 用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形 ABCD 的四条边，每条边只涂一种颜色 ，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 解 ：（ 1）使用四颜色共有 44A 种 （ 2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有 1 1 24 2 3CCA 种， （ 3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有 24A 种 因此，所求的染色方法数
28、为 4 1 1 2 24 4 2 3 4 84A C C A A 种 【 例 7】 四棱锥 P ABCD ，用 4 种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？ 1 2 3 4 S C D A B A B C D P 5 3 2 1 4 第 10 页 共 11 页 解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域 1、 2、 3、 4 相当于四个侧面，区域 5相当于底面；根据共用颜色多少分类： （ 1） 最少要用 3 种颜色，即 1 与 3 同色、 2 与 4 同色，此时有 34A 种； （ 2） 当用 4 种颜色时， 1 与 3 同色、 2 与 4 两组中只能有一组
29、同色，此时有 1424CA； 故满足题意总的涂色方法总方法交总数为 3 1 44 2 4 72A C A 最短线路问题 ：分解与合成 【 例 1】 如图所示是一个由边长 为 1 个单位的 12 个正方形 组成的 43 棋盘，规定每次只能沿正方形的边运动，且只能走一个单位，则从 A 走到 B 的最短路径的走法有 种 【解析】 35.要想从 A 走到 B 的路径最短，只需走 7 个单位，并且这 7 个单位中，有 3 个横单位和 4 个竖单位；在这 7 各单位中，只要 3 个横 单位确定，走法就确定；所以 B 的最短路径的走法有 37 35C 种 练习 ： （ 2016 新课标 II 理 5） 如图
30、，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为【答案】 B （ A） 24 （ B） 18 （ C） 12 （ D） 9 【解析】 ： 选 B.由题意，小明从街道的 E 处出发到 F 处最短路径的条数为 624 C ，再 从 F 处到 G 处最短路径的条数为 313C ，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 6 3 18 。 环排问题 【例 1】 5人 A,B,C,D,E 围桌而坐，有多少种坐法？ 【 解析 】 44A 。 围桌与坐成一排不同点在于，坐成圆形无首尾之分，所以固定一人 A，并从此位置把圆形展成直线，其余 4 人共有排法 44A 一般地， n 个不同元素作圆形排列，共有 11nnA 种排法。 A B
