1、 导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先， 关于二次函数的不等式 恒成立 的主要解法： 1、分离变量； 2 变更主元； 3 根分布； 4 判别式法 5、二次函数区间最值求法：（ 1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （ 2）端点处和顶点是最值所在 其次， 分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)( xf 得到两个根； 第二步：画两图或
2、列表； 第三步：由图表可知； 其中 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值 -用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（ 0,=0,0） 第二种：变更主元 （即关于某字母的一次函数） -（ 已知谁的范围就把谁作为主元 ）； 例 1： 设函数 ()y f x 在区间 D上的导数为 ()fx ， ()fx 在区间 D上的导数为 ()gx，若在区间 D上， ( ) 0gx恒成立，则称函数 ()y f x 在区间 D 上为“凸函数”，已知实数 m 是常数， 4 3 23() 1 2 6 2x m x xfx （ 1）若 ()y f x 在区间 0,3 上
3、为“凸函数”，求 m 的取值范围； （ 2） 若对满足 2m 的任何一个实数 m ， 函数 ()fx在区间 ,ab 上都为 “ 凸函数 ”，求 ba 的最大值 . 解 :由函数 4 3 23() 1 2 6 2x m x xfx 得 32( ) 332x m xf x x 2( ) 3g x x mx （ 1） ()y f x 在区间 0,3 上为“凸函数”， 则 2( ) 3 0g x x m x 在区间 0,3上恒成立 - 解法一：从 二次函数的区间最值 入手：等价于 max( ) 0gx ( 0) 0 3 0 2( 3 ) 0 9 3 3 0g mgm 解法二： 分离变量法： 当 0x
4、时 , 2( ) 3 3 0g x x m x 恒成立 , 当 03x时 , 2( ) 3 0g x x m x 恒成立 等价于 2 33xmxxx 的最大值（ 03x）恒成立， 而 3()h x x x （ 03x） 是 增函数 ，则 max ( ) (3) 2h x h 2m (2)当 2m 时 ()fx在区间 ,ab 上都为 “ 凸函数 ” 则 等价于当 2m 时 2( ) 3 0g x x mx 恒成立 变更主元法 再等价于 2( ) 3 0F m m x x 在 2m 恒成立 （视为关于 m 的一次函数最值问题） 22( 2 ) 0 2 3 0 11( 2 ) 0 2 3 0F x
5、x xF xx 2ba 例 2： 设函数 ),10(3231)( 223 Rbabxaaxxxf （）求函数 f（ x）的单调区间和极值； （）若对任意 的 ,2,1 aax 不等式 ()f x a 恒成立，求 a 的取值范围 . （二次函数区间最值的例子） 解：（） 22( ) 4 3 3f x x a x a x a x a 01a 令 ,0)( xf 得 )(xf 的单调递增区间为（ a,3a） 令 ,0)( xf 得 )(xf 的单调递减区间为（ ， a）和（ 3a， + ） 当 x=a 时， )(xf 极小值 = ;43 3 ba 当 x=3a 时， )(xf 极大值 =b. （）由
6、 | )(xf | a，得：对任意的 ,2,1 aax 2243a x ax a a 恒成立 则等价于 ()gx 这个二次函数 maxmin()()g x ag x a 22( ) 4 3g x x ax a 的对称轴 2xa 0 1,a 12a a a a （放缩法） 即定义域在对称轴的右边， ()gx这个二次函数的最值问题：单调增函 数的最值问题。 22( ) 4 3 1 , 2 g x x a x a a a 在上是增函数 . （ 9 分） m a xm in( ) ( 2 ) 2 1 .( ) ( 1 ) 4 4 .g x g a ag x g a a 于是，对任意 2,1 aax ，
7、不等式恒成立，等价于 -2 2 3a a ()fx a 3a 2xa 1, 2aa ( 2 ) 4 4 , 4 1.( 1 ) 2 1 5g a a a ag a a a 解 得 又 ,10 a .154 a 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 第三种：构造函数求最值 题型特征： )()( xgxf 恒成立 0)()()( xgxfxh 恒成立；从而转化为 第一、二种题型 例 3；已知函数 32()f x x ax图象上一点 (1, )Pb处的切线斜率为 3 ， 326( ) ( 1 ) 3 ( 0 )2tg x x x t x t （）求 ,ab的值； （）
8、当 1,4x 时，求 ()fx的值域； （）当 1,4x 时，不等式 ( ) ( )f x g x 恒成立，求实数 t 的取值范围。 解： （ ） /2( ) 3 2f x x ax /(1) 31fba ， 解得 32ab （）由（ ）知， ()fx在 1,0 上单调递增，在 0,2 上单调递减，在 2,4 上单调递减 又 ( 1 ) 4 , (0 ) 0 , ( 2 ) 4 , ( 4 ) 1 6f f f f ()fx的值域是 4,16 （）令 2( ) ( ) ( ) ( 1 ) 3 1 , 4 2th x f x g x x t x x 思路 1：要使 ( ) ( )f x g x
9、恒成立，只需 ( ) 0hx ，即 2( 2 ) 2 6t x x x 分离变量 思路 2：二次函数区间最值 二、题型一： 已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法 1： 转化为 0)(0)( xfxf 或 在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法 2： 利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在（ m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（ a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集 例 4： 已知 Ra ， 函数 xaxaxxf )14(2 1121)( 23 （） 如果函数 )()( xfxg 是
10、偶函数，求 )(xf 的极大值和极小值； （） 如果函数 )(xf 是 ),( 上的单调函数，求 a 的取值范围 解： )14()1(41)( 2 axaxxf . （） ()fx 是偶函数， 1a . 此时 xxxf 3121)( 3 ， 341)( 2 xxf ， 令 0)( xf ， 解得： 32x . 列表如下： x ( , 2 3 ) 2 3 ( 2 3 ,2 3 ) 2 3 (2 3 ,+) )(xf + 0 0 + )(xf 递增 极大值 递减 极小值 递增 可知： ()fx的极大值为 34)32( f ， ()fx的极小值为 34)32( f . （） 函数 )(xf 是 ),
11、( 上的单调函数， 21( ) ( 1 ) ( 4 1 ) 04f x x a x a ， 在给定区间 R 上恒成立 判别式法 则 221( 1 ) 4 ( 4 1 ) 2 04a a a a ， 解得： 02a. 综上， a 的取值范围是 20 aa . 例 5、 已知函数 3211( ) ( 2 ) (1 ) ( 0 ) .32f x x a x a x a （ I）求 ()fx的单调区间； （ II）若 ()fx在 0， 1上单调递增， 求 a 的取值范围。 子集思想 （ I） 2( ) ( 2 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) .f x x a x a x x a 1、 20 , ( )
12、 ( 1 ) 0 ,a f x x 当 时 恒 成 立 当且仅当 1x 时取“ =”号， ( ) ( , )fx 在 单调递增。 2、 1 2 1 20 , ( ) 0 , 1 , 1 , ,a f x x x a x x 当 时 由 得 且 单调增区间： ( , 1), ( 1, )a 单调增区间： ( 1, 1)a （ II）当 ( ) 0 ,1 ,fx 在 上 单 调 递 增 则 0,1 是上述增区间的子集： 1、 0a 时， ( ) ( , )fx 在 单调递增 符合题意 2、 0,1 1,a ， 10a 1a 综上， a 的取值范围是 0， 1。 三、题型二：根的个数问题 题 1 函
13、数 f(x)与 g(x)（或与 x 轴）的交点 =即方程根的个数问题 解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）； 主要看极大值和极小值与 0 的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 例 6、 已知函数 23 2 )1(31)( xkxxf ， kxxg 31)( ，且 )(xf 在区间 ),2( 上为增函数 （ 1） 求实数 k 的取值范围； a-1 -1 ()fx （ 2） 若函数 )(xf 与 )(xg 的图象有三个不同的交点，求实数 k 的取值
14、范围 解：（ 1）由题意 xkxxf )1()( 2 )(xf 在区间 ),2( 上为增函数， 0)1()( 2 xkxxf 在区间 ),2( 上恒成立 （分离变量法） 即 xk 1 恒成立，又 2x ， 21k ，故 1k k 的取值范围为 1k （ 2）设 312 )1(3)()()( 23 kxxkxxgxfxh ， )1)()1()( 2 xkxkxkxxh 令 0)( xh 得 kx 或 1x 由（ 1）知 1k ， 当 1k 时， 0)1()( 2 xxh ， )(xh 在 R上 递增，显然不合题意 当 1k 时， )(xh ， )(xh 随 x 的变化情况如下表： x ),( k
15、 k )1,(k 1 ),1( )(xh 0 0 )(xh 极大值3126 23 kk 极小值 21k 由于 021k ，欲使 )(xf 与 )(xg 的图象有三个不同的交点，即方程 0)( xh 有三个不同的实根，故需03126 23 kk ，即 0)22)(1( 2 kkk 02212 kkk ，解得 31k 综上，所求 k 的取值范围为 31k 根的个数知道，部分根可求或已知。 例 7、 已知函数 321( ) 22f x ax x x c （ 1）若 1x 是 ()fx的极值点且 ()fx的图像过原点，求 ()fx的极值； （ 2）若 21() 2g x bx x d ，在（ 1）的条
16、件下，是否存在实数 b ，使得函数 ()gx的图像与函数 ()fx的图像恒有含1x 的三个不同交点？若存在，求出实数 b 的取值范围；否则说明理由。 高 1考 1资 1源 2网 解：（ 1） ()fx的图像过原点，则 (0) 0 0fc 2( ) 3 2f x ax x ， 又 1x 是 ()fx的极值点，则 ( 1 ) 3 1 2 0 1f a a 2( ) 3 2 ( 3 2 ) ( 1 ) 0f x x x x x 3( ) ( 1) 2f x f 极 大 值 2 2 2( ) ( )37f x f 极 小 值 （ 2）设 函数 ()gx的图像与函数 ()fx的图像恒存在含 1x 的三个
17、不同交点， 等价于 ( ) ( )f x g x 有含 1x 的三个根，即： 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2f g d b 3 2 21 1 12 ( 1 )2 2 2x x x b x x b 整理得： 即： 3211( 1 ) ( 1 ) 022x b x x b 恒有含 1x 的三个不等实根 23 -1 ()fx （计算难点来了：） 3211( ) ( 1 ) ( 1 ) 022h x x b x x b 有含 1x 的根， 则 ()hx 必可分解为 ( 1)( ) 0x 二 次 式 ，故用 添项配凑法因式分解， 3x 22xx 211( 1 ) ( 1 ) 022b x x b
18、 2211( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 022x x b x x b 221( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 02x x b x x b 十字相乘法分解： 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 02x x b x b x 2 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 022x x b x b 3211( 1 ) ( 1 ) 022x b x x b 恒有含 1x 的三个不等实根 等价于 2 11( 1 ) ( 1 ) 022x b x b 有两个不等于 -1的不等实根。 2211( 1 ) 4 ( 1 ) 04211( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 022bbbb ( ,
19、1 ) ( 1 , 3 ) ( 3 , )b 题 2：切线的条数问题 =以切点 0x 为未知数的方程的根的个数 例 7、 已知函数 32()f x ax bx cx 在点 0x 处取得极小值 4，使其导数 ( ) 0fx 的 x 的取值范围为 (1,3) ，求：（ 1） ()fx的解析式；（ 2）若过点 ( 1, )Pm 可作曲线 ()y f x 的三条切线，求实数 m 的取值范围 （ 1）由题意 得： 2( ) 3 2 3 ( 1 ) ( 3 ) , ( 0 )f x a x b x c a x x a 在 ( ,1) 上 ( ) 0fx ；在 (1,3) 上 ( ) 0fx ；在 (3,
20、) 上 ( ) 0fx 因此 ()fx在 0 1x 处取得极小值 4 4abc ， (1) 3 2 0f a b c ， (3 ) 2 7 6 0f a b c 由 联立得：169abc， 32( ) 6 9f x x x x （ 2）设切点 Q (, ()t f t ， ,( ) ( )( )y f t f t x t 2 3 2( 3 1 2 9 ) ( ) ( 6 9 )y t t x t t t t 2 2 2( 3 1 2 9 ) ( 3 1 2 9 ) ( 6 9 )t t x t t t t t t 22( 3 1 2 9 ) ( 2 6 )t t x t t t 过 ( 1,
21、)m 2 3 2( 3 1 2 9 ) ( 1 ) 2 6m t t t t 32( ) 2 2 1 2 9 0g t t t t m 令 22( ) 6 6 1 2 6 ( 2 ) 0g t t t t t ， 求得： 1, 2tt ，方程 () 0gt 有三个根。 需： ( 1) 0(2) 0gg 2 3 12 9 016 12 24 9 0mm 1611mm 故： 11 16m ； 因此所求实数 m 的范围为： ( 11,16) 题 3：已知 ()fx在给定区间上的极值点个数 则有 导函数 =0 的根的个数 解法：根分布或判别式法 例 8、 解：函数的定义域为 R （ ） 当 m 4 时
22、， f (x) 13x3 72x2 10x， ()fx x2 7x 10，令 ( ) 0fx ， 解得 5,x 或 2x . 令 ( ) 0fx ， 解得 25x 可知函数 f(x)的单调递增区间为 ( ,2) 和（ 5，），单调递减区间为 2,5 （ ） ()fx x2 (m 3)x m 6, 要使 函数 y f (x)在（ 1，）有两个极值点 , ()fx x2 (m 3)x m 6=0的根在（ 1，） 根分布问题： 则2( 3 ) 4( 6) 0 ;(1 ) 1 ( 3 ) 6 0 ;3 1.2mmf m mm ， 解得 m 3 例 9、 已知函数 23 213)( xxaxf ， )0
23、,( aRa （ 1）求 )(xf 的单调区间；（ 2） 令 ()gx 14 x4 f（ x）（ x R）有且仅有 3 个极值点，求 a 的取值范围 解 ：（ 1） )1()( 2 axxxaxxf 当 0a 时，令 0)( xf 解得 01 xax 或 ，令 0)( xf 解得 01 xa ， 所以 )(xf 的递增区间为 ),0()1,( a ，递减区间为 )0,1( a . 当 0a 时，同理可得 )(xf 的递增 区间为 )10( a， ，递减区间为 ),1()0,( a . （ 2） 4 321 13) 4 2(g a xxxx 有且仅有 3 个极值点 223 (1() )a x x
24、x xx xag x =0 有 3 个根，则 0x 或 2 10x ax ， 2a 方程 2 10x ax 有两个非零实根，所以 2 4 0,a 1 2a 或 2a 而当 2a 或 2a 时可证函数 ()y gx 有且仅有 3 个极值点 1、 （最值问题与主元变更法的例子） . 例 10 已知定义在 R 上的函数 32( ) 2f x ax ax b ）（ 0a 在区间 2,1 上的最大值是 5，最小值是 11. （ ） 求函数 ()fx的解析式； （）若 1,1t 时， 0( txxf ） 恒成立，求实数 x 的取值范围 . 解：（ ） 3 2 2( ) 2 , ( ) 3 4 ( 3 4
25、)f x a x a x b f x a x a x a x x 令 ()fx=0,得 12 40 , 2 ,13xx 因为 0a ，所以可得下表： x 2,0 0 0,1 ()fx + 0 - ()fx 极大 因此 )0(f 必为最大值 , 50）（f 因此 5b ， ( 2 ) 1 6 5 , (1 ) 5 , (1 ) ( 2 )f a f a f f ， 即 11516)2( af ， 1a ， .52( 23 xxxf ） （） xxxf 43)( 2 ， 0( txxf ） 等价于 043 2 txxx ， 令 xxxttg 43)( 2 ，则问题就是 0)(g t 在 1,1t
26、上恒成立时，求实数 x 的取值范围， 为此只需 0)1 0)1(（gg， 即 005322xx xx， 解得 10 x ，所以所求实数 x 的取值范围是 0， 1. 2、 （根分布与线性规划例子） 例 11 已知函数 322() 3f x x ax bx c ( ) 若 函数 ()fx在 1x 时有极值 且在函数图象上的点 (0, 1) 处的切线与直线 30xy平行 , 求 )(xf 的解析式； ( ) 当 ()fx在 (0, 1)x 取得极大值且在 (1, 2)x 取得极小值时 , 设点 ( 2, 1)M b a所在平面区域为 S, 经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分
27、 , 求直线 L 的方程 . 解 ： ( ). 由 2( ) 2 2f x x ax b , 函数 ()fx在 1x 时有极值 , 2 2 0ab (0) 1f 1c 又 ()fx在 (0, 1) 处的切线与直线 30xy平行 , (0) 3fb 故 12a 3221( ) 3 132f x x x x . 7 分 ( ) 解法一 : 由 2( ) 2 2f x x ax b 及 ()fx在 (0, 1)x 取得极大值且在 (1, 2)x 取得极小值 , (0) 0(1) 0(2) 0fff 即 02 2 04 8 0babab 令 ( , )Mx y , 则 21xbya 12aybx 20
28、2 2 04 6 0xyxyx 故点 M 所在平面区域 S 为如图 ABC, 易得 ( 2, 0)A , ( 2, 1)B, (2, 2)C , (0, 1)D , 3(0, )2E , 2ABCS 同时 DE 为 ABC 的中位线 , 13DEC ABEDSS 四 边 形 所求一条直线 L 的方程为 : 0x 另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分 , 设直线 L 方程为 y kx ,它与 AC,BC 分别交于 F、 G, 则 0k , 1S 四 边 形 DEGF 由 2 2 0y kxyx 得点 F 的横坐标为 : 221Fx k 由 4 6 0y
29、 kxyx 得点 G 的横坐标为 : 641Gx k O G E O F DS S S四 边 形 DEGF 61 3 1 12 2 2 2 14 1 2 1kk 即 216 2 5 0kk 解得 : 12k 或 58k (舍去 ) 故这时直线方程为 : 12yx 综上 ,所求直线方程为 : 0x 或 12yx . . .12 分 ( ) 解法二 : 由 2( ) 2 2f x x ax b 及 ()fx在 (0, 1)x 取得极大值且在 (1, 2)x 取得极小值 , (0) 0(1) 0(2) 0fff 即 02 2 04 8 0babab 令 ( , )Mx y , 则 21xbya 12
30、aybx 202 2 04 6 0xyxyx 故点 M 所在平面区域 S 为如图 ABC, 易得 ( 2, 0)A , ( 2, 1)B, (2, 2)C , (0, 1)D , 3(0, )2E , 2ABCS 同时 DE 为 ABC 的中位线 , 13DEC ABEDSS 四 边 形所求一条直线 L 的方程为 : 0x 另一种情况由于直线 BO 方程为 : 12yx , 设直线 BO 与 AC 交于 H , 由 122 2 0yxyx 得直线 L 与 AC 交点为 : 1( 1, )2H 2ABCS , 1 1 122 2 2DECS , 112222 111 22H A B O A O
31、HS S S AB 所求直线方程为 : 0x 或 12yx 3、 （根的个数问 题） 例 12 已知函数 32f ( x ) a x b x ( c 3 a 2 b ) x d ( a 0 ) 的图象如图所示。 （）求 cd、 的值； （）若函数 f(x) 的图象在点 (2,f(2) 处的切线方程为 3x y 11 0 ，求函数 f ( x )的解析式； （）若 0x 5, 方程 f(x) 8a 有三个不同的根，求实数 a 的取值范围。 解：由题知： 2f ( x ) 3 a x 2 bx + c - 3 a - 2 b （）由图可知 函数 f ( x )的图像过点 ( 0 , 3 )，且 1
32、f = 0 得 33 2 c 3 2 0d a b a b 03cd（）依题意 2f = 3 且 f ( 2 ) = 5 12 4 3 2 38 4 6 4 3 5a b a ba b a b 解得 a = 1 , b = 6 所以 f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3 （）依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a 0 ) xf = 3ax2 + 2bx 3a 2b 由 5f = 0 b = 9a 若方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当 满足 f ( 5 ) 8a f ( 1 ) 由 得 25a + 3 8a 7
33、a + 3 111 a 3 所以 当 111 a 3 时，方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根。 12 分 4、 （根的个数问题） 例 13 已知函数 321( ) 1 ( )3f x x a x x a R （ 1）若函数 ()fx在 12,x x x x处取得极值，且 122xx，求 a 的值及 ()fx的单调区间； （ 2）若 12a ，讨论曲线 ()fx与 215( ) ( 2 1 ) ( 2 1 )26g x x a x x 的交点个数 解：（ 1） 2( ) 2 1f x x ax 1 2 1 22 , 1x x a x x 221 2 1 2 1 2( ) 4 4 4 2x x x x x x a
