1、 第 2 讲 数形结合思想 1数形结合的数学思想：包含 “ 以形助数 ” 和 “ 以数辅形 ” 两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 2运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： (1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的
2、 说明，要注意其带来的负面效应 (2)双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错 (3)简单性原则不要为了 “ 数形结合 ” 而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线 3数形结合思想解决的问题常有以下几种： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围 (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范 围 (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系 (4)构建函数模型并结合其几何意
3、义研究函数的最值问题和证明不等式 (5)构建立体几何模型研究代数问题 (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题 (7)构建方程模型，求根的个数 (8)研究图形的形状、位置关系、性质等 4数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点： (1)准确画出函数图象，注意函数的定义域 (2)用图象法讨论方程 (特别是含参数的方程 )的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 (有时可能先作适当调整，以便于
4、作图 )，然后作出两个函数的图象，由图求解 热点一 利用数形结合思想讨论方程的根 例 1 (2014山东 )已知函数 f(x) |x 2| 1， g(x) kx，若方程 f(x) g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是 ( ) A (0， 12) B (12， 1) C (1,2) D (2， ) 答案 B 解析 先作出函数 f(x) |x 2| 1 的图象，如图所示，当直线 g(x) kx与直线 AB 平行时斜率为 1，当直线 g(x) kx过 A 点时斜率为12，故 f(x) g(x)有两个不相等的实根时， k 的范围为 (12， 1) 思维升华 用函数的图象讨论方程 (特别
5、是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程 )的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式 (不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数 )，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数 设函数 f(x) x2 bx c， x 0，2， x0， 若 f( 4) f(0)， f( 2) 2，则关于 x 的方程f(x) x 的解的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 解析 由 f( 4) f(0)， f( 2) 2， 解得 b 4， c 2， f(x) x2 4x 2， x 0，2， x0. 作出函数 y
6、f(x)及 y x 的函数图象如图所示， 由图可得交点有 3 个 热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围 例 2 (1)已知奇函数 f(x)的定义域是 x|x 0， x R，且在 (0， )上单调递增，若 f(1) 0，则满足 xf(x)0， 所以 m 2 1， 故 m 的取值范围是 m 2 1. (2)令 y1 9 x2， y2 k(x 2) 2，在同一个坐标系中作出其图象，因 9 x2 k(x 2) 2的解集为 a， b且 b a 2. 结合图象知 b 3， a 1，即直线与圆的交点坐标为 (1,2 2) 又因为点 ( 2， 2)在直线上， 所以 k 2 2 21 2 2. 热点三
7、利用数形结合思想解最值问题 例 3 (1)已知 P 是直线 l： 3x 4y 8 0 上的动点， PA、 PB 是圆 x2 y2 2x 2y 1 0 的两条切线， A、 B 是切点， C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为 _ (2)已知点 P(x， y)的坐标 x， y 满足 x 2y 1 0，|x| y 1 0， 则 x2 y2 6x 9 的取值范围是 ( ) A 2,4 B 2,16 C 4,10 D 4,16 答案 (1)2 2 (2)B 解析 (1)从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线 3x 4y 8 0 向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形 PAC的面积 SRt P
8、AC 12|PA|AC| 12|PA|越来越大，从而 S 四边形 PACB也越来越大；当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时， S 四边形 PACB变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直直线 l 时， S 四边形 PACB应有唯一的最小值， 此时 |PC| |3 1 4 1 8|32 42 3， 从而 |PA| |PC|2 |AC|2 2 2. 所以 (S 四边形 PACB)min 2 12 |PA| |AC| 2 2. (2)画出可行域如图，所求的 x2 y2 6x 9 (x 3)2 y2是点 Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为 Q 到射线 x
9、y 1 0(x 0)的距离 d 的平方，最大值为 |QA|2 16. d2 ( |3 0 1|12 12)2 ( 2)2 2. 取值范围是 2,16 思维升华 (1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值 (2)如果 (不 )等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解 (1)(2013重庆 )设 P 是圆 (x 3)2 (y 1)2 4 上的动点， Q 是直线 x 3 上的动点，则 |PQ|的最小值为 ( ) A 6 B 4 C 3 D 2 (2)若实数 x、 y 满足 x y 1 0，x0，y 2
10、，则 yx的最小值是 _ 答案 (1)B (2)2 解析 (1)由题意，知圆的圆心坐标为 (3， 1)，圆的半径长为 2， |PQ|的最小值为圆心到直线x 3 的距离减去圆的半径长，所以 |PQ|min 3 ( 3) 2 4.故选 B. (2)可行域如图所示 又 yx的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率 k. 由图知，过点 A 的直线 OA 的斜率最小 联立 x y 1 0，y 2， 得 A(1,2)， 所以 kOA 2 01 0 2.所以 yx的最小值为 2. 1在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及
11、这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的 2有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的 3利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象 4数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式 (或向量的模、复数的模 )；点到直线的距离公式等 . 真题 感悟 1 (2013重庆 )已知圆 C1： (x 2)2 (y 3)2 1，圆 C2： (x 3)2 (y 4)2 9， M， N 分别是圆C1， C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 |PM| |PN|的最小值为
12、( ) A 5 2 4 B. 17 1 C 6 2 2 D. 17 答案 A 解析 设 P(x,0)，设 C1(2,3)关于 x 轴的对称点为 C1 (2， 3)，那么 |PC1| |PC2| |PC1 |PC2| |C1 C2| 2 32 3 42 5 2. 而 |PM| |PN| |PC1| |PC2| 4 5 2 4. 2 (2014江西 )在平面直角坐标系中， A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆C 与直线 2x y 4 0 相切，则圆 C 面积的最小值为 ( ) A.45 B. 34 C (6 2 5) D.54 答案 A 解析 AOB 90， 点 O
13、在圆 C 上 设直线 2x y 4 0 与圆 C 相切于点 D， 则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2x y 4 0 的距离， 点 C 在以 O 为焦点，以直线 2x y 4 0 为准线的抛物线上， 当且仅当 O， C， D 共线时，圆的直径最小为 |OD|. 又 |OD| |2 0 0 4|5 45， 圆 C 的最小半径为 25， 圆 C 面积的最小值为 ( 25)2 45. 3 (2013课标全国 )已知函数 f(x) x2 2x， x 0，lnx 1， x0. 若 |f(x)| ax，则 a 的取值范围是 ( ) A ( ， 0 B ( ， 1 C 2,1 D 2,0 答案 D
14、解析 函数 y |f(x)|的图象如图 当 a 0 时， |f(x)| ax 显然成立 当 a0 时，只需在 x0 时， ln(x 1) ax 成立 比较对数函数与一次函数 y ax 的增长速度 显然不存在 a0 使 ln(x 1) ax 在 x0 上恒成立 当 a0， 且 x1 x2 a 30， 且 x3 x4 a 32， x3x4 a1，联立可得 a9， 综上知， 09. 押题精练 1方程 |x2 2x| a2 1(a0)的解的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 (数形结合法 ) a0， a2 11. 而 y |x2 2x|的图象如图， y |x2 2x|的图象
15、与 y a2 1 的图象总有两个交点 2不等式 |x 3| |x 1| a2 3a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ( ) A ( ， 1 4， ) B ( ， 2 5， ) C 1,2 D ( ， 1 2， ) 答案 A 解析 f(x) |x 3| |x 1| 4 x0， kPA0 时， 为锐角 又 kPA 2 11 0 1， kPB 1 10 2 1， 1 k 1. 又当 0 k 1 时， 0 4； 当 1 k0， 且方程 F(x) a2有且仅有四个解，求实数 a 的取值范围 解 函数 g(x) bx2 ln x 的定义域为 (0， )， (1)f (x) 3ax2 3a
16、 f (1) 0， g (x) 2bx 1x g (1) 2b 1， 依题意得 2b 1 0，所以 b 12. (2)x (0,1)时， g (x) x 1x0，即 g(x)在 (1， )上单调递增， 所以当 x 1 时， g(x)取得极小值 g(1) 12； 当 a 0 时，方程 F(x) a2不可能有四个解； 当 a0， 即 f(x)在 ( 1,0)上单调递增， 所以当 x 1 时， f(x)取得极小值 f( 1) 2a， 又 f(0) 0，所以 F(x)的图象如图 (1)所示， 从图象可以看出 F(x) a2不可能有四个解 当 a0， x ( ， 1)时， f (x)0， 即 f(x)在 ( ， 1)上单调递增， x ( 1,0)时， f (x)0， 即 f(x)在 ( 1,0)上单调递减， 所以当 x 1 时， f(x)取得极大值 f( 1) 2a. 又 f(0) 0，所以 F(x)的图象如图 (2)所示， 从图 (2)看出，若方程 F(x) a2有四个解，则 12a22a， 所以，实数 a 的取值范围是 22 ， 2 .
