1、重庆中考材料阅读题分类 讲练（含答案） 类型 1 代数型新定义问题 例 1【 2017 重庆 A】 对任意一个三位数 n， 如果 n 满足各数位上的数字互不相同 ， 且都不为零 ， 那么称这个数为 “ 相异数 ” 将一个 “ 相异数 ” 任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数 ， 把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F(n)例如 n123， 对调百位与十位上的数字得到 213， 对调百位与个位上的数字得到 321， 对调十位与个位上的数字得到 132， 这三个新三位数的和为 213 321 132 666， 666 111 6，所以 ， F(123) 6. (1)计 算：
2、F(243)， F(617)； (2)若 s， t 都是 “ 相异数 ” ， 其中 s 100x 32， t 150 y(1x9 ， 1 y 9， x， y都是正整数 )， 规定： k F( )sF( )t .当 F(s) F(t) 18 时 ， 求 k 的最大值 针对训练 1 对于一个两位正整数 xy(0yx9 ， 且 x、 y 为正整数 )， 我们把十位上的数与个位上的数的平方和叫做 t 的 “ 平方和数 ” ， 把十 位上的数与个位上的数的平方差叫做 t 的“ 平方差数 ” 例如：对数 62 来说 ， 62 22 40， 62 22 32， 所以 40 和 32 就分别是 62的 “ 平
3、方和数 ” 与 “ 平方差数 ” (1)75 的 “ 平方和数 ” 是 _， 5 可以是 _的 “ 平方差数 ” ；若一个数的 “ 平方和 数”为 10， 它的 “ 平方差数 ” 为 8， 则这个数是 _ (2)求证：当 x9 ， y 8 时 ， t 的 2 倍减去 t 的 “ 平方差数 ” 再减去 99 所得结果也是另一个数的 “ 平方差数 ” (3)将数 t 的十位上的数与个位上的数交换得到数 t ， 若 t与 t 的 “ 平方和数 ” 之和等于 t 与 t 的 “ 平方差数 ” 之和 ， 求 t. 2 将一个三位正整数 n 各数位上的数字重新排列后 (含 n 本身 )得到新三位数 abc
4、(ac)， 在所有重新排列中 ， 当 | |a c 2b 最小时 ， 我们称 abc 是 n 的 “ 调和优选数 ” ， 并规定 F(n) b2 ac.例如 215 可以重新排列为 125、 152、 215， 因为 | |1 5 22 2，| |1 2 25 7， | |2 5 21 5， 且 2 5 7， 所以 125是 215 的 “ 调和优选数 ” ，F(215) 22 15 1. (1)F(236) _； (2)如果在正整数 n 三个数位上的数字中 ， 有一个数是另外两个数的平均数 ， 求证： F(n)是一个完全平方数； (3)设三位自然数 t 100x 60 y(1x9 ， 1 y
5、 9， x， y 为自然数 )， 交换其个位上的数字与百位上的数字得到数 t. 若 t t 693， 那么我们称 t 为 “ 和顺数 ” 求所有 “ 和顺数 ” 中 F(t)的最大值 3 进制也就是进 位制，是人们规定的一种进位方法 对于任何一种进制 X 进制 ， 就表示某一位置上的数运算时是逢 X 进一位十进制是逢十进一 ， 十六进制是逢十六进一 ，二进制就是逢二进一 ， 以此类推 ， X 进制就是逢 X 进一为与十进制进行区分 ， 我们常把用 X 进制表示的数 a 写成 (a)X. 类比于十进制 ， 我们可以知道： X 进制表示的数 (1111)X 中 ， 右起第一位上的 1 表示 1 X
6、0，第二位上的 1 表示 1 X1， 第三位上的 1 表示 1 X2， 第四位上的 1 表示 1 X3.故 (1111)X 1 X3 1 X2 1 X1 1 X0， 即： (1111)X 转化为十进制表示的数为 X3 X2 X1 X0.如：(1111)2 12 3 12 2 1 21 12 0 15， (1111)5 15 3 15 2 1 51 1 50 156.根据材料 ， 完成以下问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： (101011)2 _； (302)4 _； (257)7 _ (2)若一个五进制三位数 (a4b)5 与八进制三位数 (ba4)8 之和能被 13 整
7、除 (1a5 ， 1 b 5， 且 a、 b 均为整数 )， 求 a 的值； (3)若一个六进制数与一个八进制数之和为 666， 则称这两个数互为 “ 如意数 ” ， 试判断(mm1)6 与 (nn5)8 是否互为 “ 如意数 ” ？若是 ， 求出这两个 数；若不是，说明理由 4.我们知道 ， 任意一个正整数 n都可以进行这样的分解： n pq(p ， q是正整数 ， 且 pq) ，在 n 的所有这种分解中 ， 如果 p， q 两因数之差的绝对值最小 ， 我们就称 pq 是 n 的最佳分解并规定： F(n) pq.例如 12 可以分解成 112 ， 2 6 或 34 ， 因为 12 1 6 2
8、 4 3， 所以 34 是 12 的最佳分解 ，所以 F(12) 34. (1)如果一个正整数 m 是另外一个正整数 n 的平方 ， 我们称正整数 m 是完全平方数 求证：对任意一个完全平方数 m， 总有 F(m) 1. (2)如果一个两位正整数 t， t 10x y(1xy9 ， x， y 为自然数 )， 交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 36， 那么我们称这个数 t为 “ 吉祥数 ” ， 求所有 “ 吉祥数 ” ； (3)在 (2)所得的 “ 吉祥数 ” 中 ， 求 F(t)的最大值 类型 2 函数型新定义问题 例 2 已知一个大于 1 的正整数 t 可
9、以分解成 t ac b2 的形式 (其中 ac ， a， b， c 均为正整数 )， 在 t 的所有表示结果中 ， 当 bc ba 取得最小值时 ， 称 “ac b2”是 t 的 “ 等比中项分解 ” ， 此时规定： P(t) b c2（ a b） ， 例如： 7 16 12 23 12 13 22， 1 6 11 23 21 13 12 ， 所以 23 12 是 7 的 “ 等比中项分解 ” ， P(7) 23. (1)若一个正整数 q m2 n2， 其中 m、 n 为正整数 ， 则称 q 为 “ 伪完全平方数 ” ， 证明：对任意一个 “ 伪完全平方数 ”q 都有 (q) 12. (2)若
10、一个两位数 s 10x y(1yx5 ， 且 x， y 均为自然数 )， 交换原数十位上的数字和个位上的数字得到的新数的两倍再加上原数的 14 倍 ， 结果被 8 除余 4， 称这样的数 s为 “ 幸福数 ” ， 求所有 “ 幸福数 ” 的 P(s)的最大值 针对训练 1. 如果关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 有两个实数根 ， 且其中 一个根为另一个根的 2 倍 ， 则称这样的方程为 “ 倍根方程 ” ， 以下关于 倍根方程的说法： 方程 x2 x 2 0 是倍根方程； 若 (x 2)(mx n) 0 是倍根方程 ， 则 4m2 5mn n2 0； 若点 (p， q)在反比例函
11、数 y 2x的图象上 ， 则关于 x 的方程 px2 3x q 0 是倍根方程 其中正确的是 _ (写出所有正确说法的序号 ) 2. 先阅读下列材料 ， 再解答下列问题： 材 料：因式分解： (x y)2 2(x y) 1. 解：将 “x y” 看成整体 ， 令 x y A， 则原式 A2 2A 1 (A 1)2. 再将 “A” 还原 ， 得原式 (x y 1)2. 上述解题中用到的是 “ 整体思想 ” ， 整体思想是数学解题中常用的一种思想方法 ， 请你解答下列问题： (1)因式分解： 1 2(x y) (x y)2 _； (2)因式分解： (a b)(a b 4) 4 _； (3)证明：若
12、 n 为正整数 ， 则式子 (n 1)(n 2)(n2 3n) 1 的值一定是某一个整数的平方 3. 若三个非零实数 x， y， z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和 ，则称这三个实数 x， y， z 构成 “ 和谐三数组 ” (1)实数 1， 2， 3 可以构成 “ 和谐三数组 ” 吗？请说明理由； (2)若 M(t， y1)， N(t 1， y2)， R(t 3， y3)三点均在函数 y kx(k 为常数 ， k 0)的图象上 ， 且这三点的纵坐标 y1， y2， y3 构成 “ 和谐三数组 ” ， 求实数 t 的值； (3)若直线 y 2bx 2c(bc0) 与 x 轴
13、交于点 A(x1， 0)， 与抛物线 y ax2 3bx 3c(a0)交于 B(x2， y2)， C(x3， y3)两点 求证： A， B， C 三点的横坐标 x1， x2， x3 构成 “ 和谐三数组 ” ； 若 a 2b 3c， x2 1， 求点 P(ca， ba)与原点 O 的距离 OP 的取值范围 4 若一个整数能表示成 a2 b2(a， b 是整数 )的形式 ， 则称这个数为 “ 完美数 ” 例如 ，5 是 “ 完美数 ” ， 因为 5 22 12.再如 ， M x2 2xy 2y2 (x y)2 y2(x， y 是整数 )， 所以 M 也是 “ 完美数 ” (1)请你再写一个小于
14、10 的 “ 完美数 ” ， 并判断 29 是否为 “ 完美数 ” (2)已知 S x2 4y2 4x 12y k(x， y 是整数 ， k 是常 数 )，要使 S 为 “ 完美数 ” ， 试求出符合条件的一个 k 值 ， 并说明理由 (3)如果数 m， n 都是 “ 完美数 ” ， 试说明 mn 也是 “ 完美数 ” 5. 若将自然数中能被 3 整除的数 ， 在数轴上的对应点称为 “3 倍点 ”P ， 取任意的一个 “3倍点 ”P ， 到点 P 距离为 1 的点所对应的数分别记为 a， b.定义：若数 K a2 b2 ab， 则称数 K 为 “ 尼尔数 ” 例如：若 P 所表示的数为 3，
15、则 a 2， b 4， 那么 K 22 42 24 12； 若 P 所表示的数为 12， 则 a 11， b 13， 那么 K 132 112 1311 147， 所以12， 147 是 “ 尼尔数 ” (1)请直接判断 6 和 39 是不是 “ 尼尔数 ” ， 并且证明所有 “ 尼尔数 ” 一定被 9 除余 3； (2)已知两个 “ 尼尔数 ” 的差是 189， 求这两个 “ 尼尔数 ” 类型 3 整除 问题 例 3 我们知道 ， 任意一个大于 1 的正整数 n 都可以进行这样的分解： n p q(p、 q 是正整数 ， 且 pq) ， 在 n 的所有这种分解中，如果 p、 q 两数的乘积最
16、大 ， 我们就称 p q是 n 的最佳分解并规定在最佳分解时： F(n) pq.例如 6 可以分解成 1 5 或 2 4 或 3 3， 因为 151且 n为整数 )位正整数 K的首位后添加 6得到的新数叫做 K的 “ 顺数 ” ，在 K 的末位前添加 6 得到的新数叫做 K 的 “ 逆数 ” 若 K 的 “ 顺数 ” 与 “ 逆数 ” 之差能被 17 整除 ， 称 K 是 “ 最佳拍档数 ” 比如 1324 的 “ 顺数 ” 为 16324， 1324 的 “ 逆数 ”为 13264， 1324 的 “ 顺数 ” 与 “ 逆数 ” 之差为 16324 13264 3060， 3060 17 1
17、80， 所以 1324 是 “ 最佳拍档数 ” (1)请根据以上方法判断 31568_(填 “ 是 ” 或 “ 不是 ”)“ 最佳拍档数 ”；若一个首位是 5 的四位 “ 最佳拍档数 ”N ， 其个位数字与十位数字之和为 8， 且百位数字不小于十位数字 ， 求所有符合条件的 N 的值； (2)证明：任意三位或三位以上的正整数 K 的 “ 顺数 ” 与 “ 逆数 ” 之差一定能被 30 整除 5. 若整数 a 能被整数 b 整除 ， 则一定存在整数 n， 使得 ab n， 即 a bn.例如：若整数 a能被整数 7 整除 ， 则一定存在整数 n， 使得 a 7n. (1)将一个多位自然数分解为个
18、位与个位 之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被 7 整除 ， 则原多位自然数一定能被 7 整除例如：将数字 1078 分解为 8和 107， 107 82 91， 因为 91 能被 7 整除 ， 所以 1078 能被 7 整除 ， 请你证明任意一个三位数都满足上述规律 (2)若将一个多位自然数分解 为个位与个位之前的数 ， 让个位之前的数加上个位数的 k(k为正整数 ， 1 k 5)倍 ， 所得之和能被 13 整除 ， 求当 k 为何值时使得原多位自然数一定能被 13 整除 参考答案 例 1. 解： (1)F(243) (423 342 234)111 9， F(617)
19、(167 716 671)111 14. (2) s， t 都是 “ 相异数 ” ， F(s) (302 10x 230 x 100x 23)111 x 5， F(t) (510 y 100y 51 105 10y)111 y 6， F(s) F(t) 18， x 5 y 6 x y 11 18， x y 7， 1 x 9， 1 y 9，x， y 都是正整数 ，x 1，y 6 或 x 2，y 5 或 x 3，y 4 或 x 4，y 3 或 x 5，y 2 或 x 6，y 1. （ 2） s 是 “ 相异数 ” ， x 2， x 3， t 是 “ 相异数 ” ， y 1， y 5，x 1，y 6
20、 或 x 4，y 3 或 x 5，y 2. F( )s 6，F( )t 12或 F( )s 9，F( )t 9或 F( )s 10，F( )t 8. k F( )sF( )t 12或 k F( )sF( )t 1 或 k F( )sF( )t 54， k 的最大值为 54. 针对训练 1 解： （ 1） 74； 32； 31 (2)证明：令 t 10x y， 2(10x y) (x2 y2) 99 20x 2y x2 y2 99 (y2 2y 1) (x2 20x 100) (y 1)2 (x 10)2， t 的 2 倍减去 t 的 “ 平方差数 ” 再减去 99 所得结果是另一个数的 “ 平方差 ” 数 (3)令 t xy， t yx， 由题意知： 10x y x2 y2 10y x y2 x2， 所以 9x 9y 2x2 0， 9(x y) 2x2 0， x y0 ， 2x2 0， x y 0. 故 t 0. 2. 解： (1)F(236) 3 (2)证明：设这个正整数 n 三个数位上的数字分别为： x， x y2 ， y. |a c 2b|最小时 ， 我们称 abc 是 n 的 “ 调和优选数 ” ， F(n) b2 ac x y22xy x2 y24 xy2 x y22； F(n)为一个完全平方数； (3)t 100x 60 y， t 100y 60 x，
