1、 1 第二十讲 多边形与平行四边形 【基础知识回顾】 一、 多边形： 1、定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 图形叫做多边形，各边相等、 也相等的多边形叫做正多边形 2、多边形的内外角和： n(n3)的内角和是 外角和是 正 n 边形的每个外角的度数是 ，每个内角的度数是 。 3、多边形的对角线： 多边形的对角线是连接多边形 的两个 顶点的线段，从 n 边形的一个顶点出发有 条对角线，将多边形分成 个三角形，一个 n 边形共有 条对边线 【名师提醒： 1、三角形是边数最少的多边形 2、所有的正多边形都是轴对称图形，正 n边形共有 条对称轴，边数为 数的正多边形也是中心对称
2、图形】 二、平面图形的密铺： 1、定义：用 、 完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间 、 地铺成一起，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的 。 2、密铺的方法： 用同一种正多边形密铺，可以用 、 或 用两种正多边形密铺，组合方式 有： 和 、 和 、 和 等几种 【名师提醒：能密铺的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于 并使相等的边互相平合】 三、平行四边形 1、定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形，平行四边形 ABCD 可表示为 2、平行四边形的特质： 平行四边形的两组对边分别 平行四边形的两组对角分别 平行四边形的对角线 【名师提醒： 1、平行四边形
3、是 对称图形，对称中心是 过对角线交点的任一直线被一组对边截得的线段 该直线将原平行四边形分成全等的两个部分】 3、平行四边形的判定： 用定义判定 两组对边分别 的四边形是平行四边形 一组对边 的四边形是平 行四边形 两组对角分别 的四边形是平行四边形 对角线 的四边形是平行四边形 【名师提醒：特别的：一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形都不能保证是平行四边形】 4、平行四边形的面积：计算公式 同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积 【名师提 醒：夹在两平行线 间的平行线段 两平行线之 间的距离处处 】 【重点考点例析】 2 考点一：多边形内角和、外角 和
4、公式 例 1 （ 2015梅州）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 对应训练 1 （ 2015 长沙）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ） A四边形 B五边形 C六边形 D八边形 1 A 考点二：平面图形的密铺 例 2 （ 2015漳州）用下列一种多边形不能铺满地面的是（ ） A正方形 B正十边形 C正六边形 D等边三角形 对应训练 2 （ 2015呼和浩特）只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（ ） A正十边形 B正八边形 C正六边形 D正五边形 2 C 考点三：平行四边形的性质 例 3 （ 2015益阳）如图，在平行四边
5、形 ABCD 中，下列结论中错误的是（ ） A 1= 2 B BAD= BCD C AB=CD D AC BD 对应训练 3 （ 2015黔西南州）已知 ABCD 中， A+ C=200，则 B 的度数是（ ） A 100 B 160 C 80 D 60 4 （ 2015长春）在 ABC 中， AB=AC，点 D、 E、 F 分别是 AC、 BC、BA 延长线上的点，四边形 ADEF 为平行四边形求证： AD=BF 考点四：平行四边形的判定 例 5 （ 2015荆门）四边形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，给出下列四个条件： AD BC； AD=BC； OA=OC； OB=O
6、D 从中任选两个条件，能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有（ ） A 3 种 B 4 种 C 5 种 D 6 种 故选： B 点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理 对应训练 5 （ 2015泸州）四边形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点O，下列条件不能判定这个四边 形是平行四边形的是（ ） A AB DC， AD BC B AB=DC，AD=BC C AO=CO， BO=DO D AB DC， AD=BC 【 2016 中考名题赏析 】 3 1. (2016浙江省绍兴市 4 分 ） 小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商
7、店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ） A ， B ， C ， D ， 2（ 2016 贵州毕节 3 分）下列语句正确的是（ ） A对角线 互相垂直的四边形是菱形 B有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C矩形的对角线相等 D平行四边形是轴对称图形 3. （ 2016辽宁丹东 3 分 ） 如图，在 ABCD 中， BF 平分 ABC，交 AD 于点 F， CE 平分 BCD，交 AD 于点 E， AB=6， EF=2，则 BC 长为（ ） A 8B 10C 12D 14 4. （ 2016四川泸州） 如图， ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O，且
8、 AC+ BD=1 6，CD=6，则 ABO 的周长是（ ） A 10 B 14 C 20 D 22 一、 填空题 1 （ 2016 河南） 如图，在 ABCD 中， BE AB 交对角线 AC 于点 E，若 1=20，则 2的度数为 2. （ 2016陕西 3 分 ） 请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分 A一个多边形的一个外角为 45，则这个正多边形的边数是 B运用科学计算器计算： 3 sin7352 （结果精确到 0.1） 4 3.（ 2016山东省东营市 3 分 ） 如图，在 RtABC中， B 90， AB 4， BC AB，点 D 在BC上，以 AC为对角线的所有
9、平行四边形 ADCE 中， DE 的最小值是 _ 第 14 题图EOB ACD4.（ 2016青海西宁 2 分 ） 一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为 5.（ 2016湖北随州 3 分 ） 如图，在 ABC 中， ACB=90， M、 N 分别是 AB、 AC 的中点，延长 BC 至点 D，使 CD= BD，连接 DM、 DN、 MN若 AB=6，则 DN= 6.（ 2016湖北武汉 3 分 ） 如图，在 ABCD 中， E 为边 CD 上一点，将 ADE 沿 AE 折叠至 ADE 处， AD与 CE 交于点 F若 B 52， DAE 20，则 FED的大小为 _ 7.
10、 （ 2016江西 3 分 ） 如图所示，在 ABCD 中， C=40，过点 D 作 AD 的垂线，交 AB于点 E，交 CB 的延长线于点 F，则 BEF 的度数为 8. （ 2016四川攀枝花 ） 如果一个正六边形的每个外角都是 30，那么这个多边形的内角和为 9.（ 2016黑龙江龙东 3 分 ） 如图，在平行四边形 ABCD 中，延长 AD 到点 E，使 DE=AD，连接 EB， EC， DB 请你添加一个条件 ，使四边形 DBCE 是矩形 5 10 （ 2016黑龙江龙东 3 分 ） 已知：在平行四边形 ABCD 中，点 E 在直线 AD 上， AE=AD，连接 CE 交 BD 于
11、点 F，则 EF： FC 的值是 （ 2016吉林 8 分 ） （ 1）如图 1，在 Rt ABC 中， ABC=90，以点 B 为中心，把 ABC逆时针旋转 90，得到 A1BC1；再以点 C 为中心，把 ABC 顺时针旋转 90，得到 A2 B1C，连接 C1B1，则 C1B1 与 BC 的位置关系为 ； （ 2）如图 2，当 ABC 是锐角三角形， ABC=（ 60）时，将 ABC 按照（ 1）中的方式旋转 ，连接 C1B1，探究 C1B1 与 BC 的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明； （ 3）如图 3，在图 2 的基础上，连接 B1B，若 C1 B1= BC， C1 BB1 的
12、面积为 4，则 B1 BC的面积为 【备考真题过关】 一、选择题 1 （ 2015资阳）一个正多边形的每个外角都等于 36，那么它是（ ） A正六边形 B正八边形 C正十边形 D正十 2 （ 2015湛江）已知一个多边形的内角和是 540，则这个多边形是（ ） A四边形 B五边形 C六边形 D七边形 3 （ 2015六盘水）下列图形中，单独选用 一种图形不能进行平面镶嵌的是（ ） A正三角形 B正六边形 C正方形 D正五边形 4 （ 2015襄阳）如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O，且 AB=5， OCD 的周长为 23，则平行四边形 ABCD 的两条对角线的和是（ ） A 18
13、B 28 C 36 D 46 5 （ 2015湘西州）如图，在 ABCD 中， E 是 AD 边上的中点，连接 BE，并延长 BE 交 CD 延长线于点 F，则 EDF 与 BCF 的周长之比是（ ） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 5 6 6 （ 2015云南）如 图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O，下列结论正确的是（ ） A SABCD=4S AOB B AC=BD C AC BD D ABCD 是轴对称图形 7 （ 2015无锡）如图，平行四边形 ABCD 中， AB： BC=3： 2， DAB=60，E 在 AB 上，且 AE： EB=1
14、： 2， F 是 BC 的中点，过 D 分别作 DP AF 于 P，DQ CE 于 Q，则 DP： DQ 等于（ ） A 3： 4 B 13 ： 2 5 C 13 ： 2 6 D 2 3 ： 13 二、填空题 8 （ 2015无锡）六边形的外角和等于 度 9 （ 2013遂宁）若一个多边形内角和等于 1260，则该多边形边数是 10 （ 2015三明） 如图，在四边形 ABCD 中， AB CD，请你添加一个条件，使得四边形 ABCD 成为平行四边形，你添加的条件是 11 （ 2015乐山）如图，在四边形 ABCD 中， A=45直线 l 与边 AB， AD 分别相交于点 M， N，则 1+
15、2= 12 （ 2015江西）如图， ABCD 与 DCFE 的周长相等，且 BAD=60， F=110，则 DAE 的度数为 13 （ 2015安徽）如图， P 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点， E、 F 分别为 PB、 PC 的中点， PEF、 PDC、 PAB 的面积分别为 S、 S1、 S2，若 S=2，则 S1+S2= 14 （ 2015 荆州）如图， ACE 是以 ABCD 的对角线 AC 为边的等边三角形，点 C 与点 E关于 x 轴对称若 E 点的坐标是（ 7， -3 3 ），则 D 点的坐标是 7 15 （ 2015十堰）如图， ABCD 中， ABC=60， E、
16、 F 分别在 CD 和 BC 的延长线上，AE BD， EF BC， EF= 3 ，则 AB 的长是 三、解答题 16（ 2015大连）如图， ABCD 中，点 E、 F 分别在 AD、 BC 上，且 AE=CF求证： BE=DF 17 （ 2015郴州）如图，已知 BE DF， ADF= CBE， AF=CE，求证：四边形 DEBF是平行四边形 18 （ 2015广安）如图，在平行四边形 ABCD 中， AE CF，求证： ABE CDF 19（ 2015鞍山）如图， E， F是四边形 ABCD的对角线 AC上两点， AF=CE，DF=BE， DF BE 求证： （ 1） AFD CEB；
17、（ 2）四边形 ABCD 是平行四边形 20 （ 2015台州）如图，在 ABCD 中，点 E， F 分别在边 DC， AB 上，DE=BF，把平行四边形沿直线 EF 折叠，使得点 B， C 分别落在 B， C处，线段 EC与线段 AF 交于点 G，连接 DG， BG 求证：（ 1） 1= 2； （ 2） DG=BG 21 （ 2013重庆）已知，如图，在 ABCD 中， AE BC，垂足为 E，CE=CD，点 F 为 CE 的中点，点 G 为 CD 上的一点，连接 DF、 EG、AG， 1= 2 （ 1）若 CF=2， AE=3，求 BE 的长； （ 2）求证： CEG=12 AGE 22
18、（ 2013北京）如图，在 ABCD 中， F 是 AD 的中点，延长 BC 到点8 E，使 CE=12 BC，连接 DE， CF （ 1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形； （ 2）若 AB=4， AD=6， B=60，求 DE 的长 23 （ 2013兰州）如图 1，在 OAB 中， OAB=90， AOB=30， OB=8以 OB 为边，在 OAB 外作等边 OBC， D 是 OB 的中点，连接 AD 并延长交 OC 于 E （ 1）求证：四边形 ABCE 是平行四边形； （ 2）如图 2，将图 1 中的四边形 ABCO 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 FG，求 OG 的长
19、第二十一讲 矩形 菱形 正方形 【基础知识回顾】 一、 矩形： 1、定义：有一个角是 角的平行四边形叫做矩形 2、矩形的性质： 矩形的四个角都 矩形的对角线 3、矩形的判定： 用定义判定 有三个角是直角的 是矩形 对角线相等的 是矩形 【名师提醒： 1、矩形是 对称图形，对称中心是 ，矩形又是 对称图形，对称轴有 条 2、矩形被它的对角线分成四个全等的 三角形和两对全等 的 三角形 3、矩形中常见题目是对角线相交成 600或 1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】 二、菱形： 1、定义：有一组邻边 的平行四边形叫做菱形 2、菱形的性质： 菱形的四条边都 菱形的对角线 且
20、每条对角线 3、菱形的判定： 用定义判定 对角线互相垂直的 是菱形 四条边都相等的 是菱形 【名师提醒： 1、菱形既是 对称图形，也是 对称图形，它有 条对称轴，分别是 2、菱形被对角线分成四个全等的 三角形和两对全等的 9 三角形 3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的 来计算 4、菱形常见题目是内角为 1200 或 600 时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】 三、正方形： 1、定义：有一组邻边相等的 是正方形，或有一个角是直角的 是正方形 2、性质： 正方形四个角都 都是 角， 正方形四边条都 正方形两对角线 、 且 每条对角线平分一组内角 3、
21、判定： 先证是矩形，再证 先证是菱形，再证 【名师提醒： 1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。这四者之间的关系可表示为： 2、正方形也既是 对称图形，又是 对称图形，有 条对称轴 3、几种特殊四边形的性质和判定都是从 、 、 三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】 【重点考点例析】 考点一：与矩形有关的折叠问题 例 1 （ 2015泸州）如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，把 ADE沿 AE 对折，点 D 的对称点 F 恰好落在 BC 上，已知折痕 AE=10 5 cm，且tan EFC=34 ，那么该矩形的周长为（ ） A 72cm
22、 B 36cm C 20cmD 16cm 对应训练 1 （ 2015湖州）如图，已知四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，连接 DE若 DE： AC=3： 5，则 ADAB 的值为（ ） A 12 B 33 C 23 D 22 考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题 例 2 （ 2015泉州） 如图，菱形 ABCD 的周长为 8 5 ，对角线 AC 和BD 相交于点 O， AC： BD=1： 2，则 AO： BO= ，菱形 ABCD 的面积 S= 10 对应训练 2 （ 2015凉山州）如图，菱形 ABCD 中， B=60， AB=4，则以 AC
23、 为边长的正方形 ACEF 的周长为（ ） A 14 B 15 C 1 D 17 考点三：和正方形有关的证明题 例 3 （ 2015湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为 2 和 3 的两个正方形放置在直线 l上，如图 1，他连结 AD、 CF，经测量发现 AD=CF （ 1）他将正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转一定的角度，如图 2，试判断 AD 与 CF 还相等吗？说明你的理由； （ 2）他将正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转，使点 E 旋转至直线 l 上，如图 3，请你求出CF 的长 对应 训练 3 （ 2015三明）如图 ，在正方形 ABCD 中， P 是对角线 AC 上的一点，点 E在 BC 的延长线上，且 PE=PB （ 1）求证： BCP DCP； （ 2）求证： DPE= ABC； （ 3）把正方形 ABCD 改为菱形，其它条件不变（如图 ），若 ABC=58，则 DPE= 度
