1、第 1 页 共 10 页 2017 年普通高等学校招生全国统一模拟考试 理 科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分， 其中第卷第 22 24 题为选考题 ,其它题为必考题。 全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。 做选择题时，必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。 所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作 答的答案无效。 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束
2、后，将答题卡交回。 参考公式 ： 柱体体积公式 ： V Sh （ 其中 S 为底面面积， h 为高 ） 锥体体积公式 ： 13V Sh （ 其中 S 为底面面积， h 为高 ） 球的表面积、体积公式 ： 2344, 3S R V R （ 其中 R 为球的半径 ） 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数 12iz i （ i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2已知集合 M=x|y=lg ， N=y|y=x2+2x+3，则（ RM） N= （
3、） A x|0 x 1 B x|x 1 C x|x2 D x|1 x 2 3、采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查为此将他们随机编号为 1， 2 .960,分组后在第一组采用简单随 机抽样的方法抽到的号码为 9，抽到的 32 人中，编号落入区间 1,450的人做问卷 A，编号落人区间 451,750的人做问卷 B，其余的人做问卷 C.则抽到的人中，做问卷 C 的人数为 （ ） A. 15 B. 10 C. 9 D. 7 4.设 na 是公差为正数的等差数列，若 1 2 3 15a a a ，且 1 2 3 80aa a ，则 11 12 13a a a等于 （ ） A 12
4、0 B 105 C 90 D 75来源 :Z.xx.k.Com 5.由 2yx 和 23yx 所围成图形面积 是 （ ） A. B. C. D. 6若 m是 2和 8 的等比中项，则圆锥曲线 x2+ 的离心率为 （ ） A B C 或 D 或 第 2 页 共 10 页 7 定义某种运算 S a b，运算原理如图所示 ，则 1311 0 0lgln)45t a n2( e的值为 （ ） A 15 B 13来源 :高 (2)若 1a,求 ABC的周长的取值范围 . 18、 (本 小 题满分 12 分 ) 为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛
5、. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛 .先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为 100分）进行统计，制成如下频率分布表 分数（分数段） 频数（人数） 频率 60,70) 9 x 70,80) y0.38 80,90) 16 0.32 90,100) z s 合 计 p1 （ 1）求出上表中的, , , ,x y z s p的值； （ 2）按规定，预赛成绩不低于 90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序 .已知高一（ 2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格 . 求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率； 记高一（ 2）班在决赛中
6、进入前三名的人数为 X，求 的分布列和数学期望 . 19（本小题 12分） 如图，在四棱锥 P ABCD中， PA平面 ABCD， AC BD于 O， E为线段 PC上一点，且 AC BE， （ 1）求证： /PA平面 BED； 第 4 页 共 10 页 （ 2）若 ADBC/ ， 2BC ， 22AD ， 3PA 且 CDAB 求 PB 与面 PCD 所成角的正弦值。 20. （本小题 12 分） 已知抛物线 C ： 2 12xy ，直线 2y kx交 C 于 M 、 N 两点， Q 是线段 MN 的中点，过 Q 作 x 轴的垂线交 C 于点 T 。 （ 1）证明：抛物线 C 在点 T 处的
7、 切线与 MN 平行； （ 2）是否存在实数 k 使 0 TNTM ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由 21.（本小题 12 分）设函数 1exfx （ 1）证明：当 1x 时， 1xfx x ； （ 2）设当 0x 时， 1xfx ax ，求实数 a 的取值范围 请考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22、（ 本小题满分 10 分）选修 4 1:几何证明选讲 . 如图，四边形 ABCD 内接于 O， BD 是 O 的直径， AE CD 于点
8、 E， DA 平分 BDE （ 1）证明： AE 是 O 的切线； （ 2）如果 AB=2 ， AE= ，求 CD 23.（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 已知圆 M 的极坐标方程为 )4sin(2 ，现以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系。 （ 1）求圆 M 的标准方程； （ 2）过圆心 M 且倾斜角为 4 的直线 l 与椭 圆 12 22 yx 交于 A， B 两点，求 | MBMA 的值。 24.（本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲 已知函数 f（ x） =|x 1| （ 1）解不等式： f（ x） +f（ x 1） 2 ； （ 2
9、）当 a 0 时，不等式 2a 3f （ ax） af（ x）恒成立，求实数 a 的取值范围 y x 2 M N T O Q 第 1 页 共 10 页 理科数学评分标准 一 . 选择题（每小题 5 分，共 12 小题，满分 60 分） 二 .填空题（每小题 5 分，共 4 小题，满分 20 分） 13. 84 . 14. 226nn . 15. 23 . 16. 1717 . 三、解答题（ 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 ） 17、 （本小题满分 12 分） 解 (1)由 1cos 2a C c b得 1s in c o s s in s in2A C C B 2 分 又 s i n
10、s i n ( ) s i n c o s c o s s i nB A C A C A C 11s i n c o s s i n , s i n 0 , c o s22C A C C A 4 分 0 A 23A 6 分 (2)由正弦定理得 : BABab s in32s ins in , Cc sin32 8 分 221 s i n s i n 1 s i n s i n33l a b c B C B A B 2 1 3 21 ( sin c o s ) 1 sin ( )2 2 333B B B 10 分 22, (0 , ) , ( , )3 3 3 3 3A B B , 3s in
11、( ) ( ,132B 故 ABC 的周长的取值范围为 23(2, 13 . 12 分 18（本小题满分 12 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D B C D B C A A A C 第 2 页 共 10 页 解：（ 1）由题意知，0.18 , 19 , 6 , 0.12 , 50x y z s p 3 分 （ 2）由（）知，参加决赛的选手共 6 人， 4 分 设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件 A ， 则 1 1 15 4 426+C 7() 10CCPA A所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为 710 . -6 分 随机变量 X的可能取
12、值为 0,1,2 7 分 3436 1( 0) 5CPX C ， 214236 3( 1) 5CCPX C , 124236 1( 2) 5CCPX C ， 10 分 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 P 15 35 51 11 分 因为 1 3 10 1 2 = 15 5 5EX ， 所以 随机变量 X的 数学期望为 1. 12 分 19. （本小题满分 12 分） （ 1） ,A C B D A C B E B D B E B ， AC BD E平 面 ,连接 OE ， 1 分 所以 AC OE ，又 PA ABCD 平 面 ， AC PA，又 ,OEPA 都是平面 PAC 中的
13、直线， OE PA ， 3 分 且 OE BDE 平 面 ， PA BDE平 面 ， PA 平 面 BDE 4 分 （ 2） ADBC/ ， 2BC ， 22AD 且 CDAB 在等腰梯形中 1, 2O B O C O A O D 5 分 由（ 1）知 OE ABCD 平 面 ，分别以 ,OB OC OE 为 ,xyz 轴建立空间直角坐标系 O xyz ， 第 3 页 共 10 页 则 (1 , 0 , 0 ) , (0 , 1 , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , (0 , 2 , 3 )B C D P 6 分 设平面 PCD 的法向量为 ( , , )n x y z 则 00n
14、CDn PC ，所以 203 3 0xyyz 取 1x ，则 2yz ， (1, 2, 2)n ， 9 分 又 (1,2, 3)PB ， 14c o s , 14P B nP B nP B n 11 分 所以 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 1414 12 分 20、 （本小题满分 12 分） 解：（ 1）设 1 1 2 2 0 0( , ) , ( , ) , ( , )M x y N x y Q x y， 1 分 联立 222yxy kx 得 22 2 0x kx 2 分 所以1 2 1 2,12kx x x x ， 3 分 120 24xx kx ， 4 分 22yx ， 所以0
15、 xxyk 所以抛物线 22yx 在 T 点处的切线与 MN 平行。 6 分 （ 2）由（ 1）可得 2( , )48kkT ，则 7 分 221 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )4 4 8 8k k k kT M T N x x y y 3 2 2221 2 1 27( 1 ) ( ) ( ) ( 2 )4 8 1 6 8k k kk x x k x x 9 分223 ( 4 ) ( 1 6 ) 064 kk 11 分 解得 2k ，所以存在 2k 满足 0TM TN 12 分 第 4 页 共 10 页 21、 （本小题满分 12 分） 解：（ 1）证明：当 1x 时， 10x ，
16、1xfx x ，即 11 e 1 e e e 11 1 1x x x xxx xx x x . 令 e1xg x x ， 1 x ， 2 分 e1xgx ， 令 0gx ，得 0x 0 0 ; g 0 1 0 .g x x x x 令 得 令 得 所以当 1x 时， 0m in 0 e 1 0 0gg ， 故当 1x 时， 0gx ，即 e1x x ，即 1xfx x ，且当且仅当 0x 时等号成立 4 分（ 2）解：由 0x 时， 011x xe ax 恒 成立，故 0a . 5 分 设 +e 11 xxhx ax ， 0 x ， ，则 2211eexxa x a xhx a x a x 2
17、2e e11x x axax 6 分 设 2e1xk x ax ， 0 x ， ， 7 分 则 2e 2 1 e 2 2xxk x a a x a x a . 0 1 2ka 8 分 当 1 2 0a，即 102a时， 22xk x e a ， 0x 时， 1xe ， 2 12 2a ，故 0kx . 所以 kx 单调递增， 00k x k， 故 kx单调递增， 00k x k恒成立，符合题意 . 10 分 当 1 2 0a，即 12a时， 存在 0 ， 0,x 时， 0kx ， kx单调递减， 00k x k，与 0kx 恒成立矛盾 . 11 分 综合上述得实数 a 的取值范围是 10 2，
18、 12 分 22、 （本小题满分 10 分） 第 5 页 共 10 页 （ 1）证明：连结 OA，在 ADE 中， AE CD 于 点 E， DAE+ ADE=90 DA 平分 BDC ADE= BDA OA=OD BDA= OAD OAD= ADE DAE+ OAD=90 即： AE 是 O 的切线 5 分 （ 2）在 ADE 和 BDA 中， BD 是 O 的直径 BAD=90 由（ 1）得： DAE= ABD 又 BAD= AED AB=2 求得： BD=4， AD=2 BDA= ADE= BDC=60 进一步求得： CD=2 10 分 23、 （本小题满分 10 分） 解：（ 1）由
19、2 2 s i n ( ) s i n c o s4 ， 得 22x y y x ， 即 221 1 1( ) ( )2 2 2xy 3 分 （ 2）点 M 11( , )22， 直线 l 的参数方程为 : 1222 (1222xttyt 为 参 数 ) 6 分 代入椭圆方程整理得： 2 5206tt 8 分 故12 5| | | | | | 6M A M B t t 。 来源 :Zx x k .Co m 10 分 24 （本小题满分 10 分） 解 （ 1）当 x1 时， 2x+32 ，即 x1 当 1 x2 时， 12 ，即 1 x2 当 x 2 时， 2x 32 ，即 2 x 第 6 页 共 10 页 综上所述，原不等式的解集为 x| x 5 分 （ 2）当 a 0 时， f（ ax） af（ x） =|ax 1| |ax a| =|ax 1| |a ax| |ax 1+a ax| =|a 1|， 所以， 2a 3|a 1|，解得 a2 所以 实数 a 的取值范围 为 2+， 10 分
