1、 - 1 - 松江区 2016-2017 学年度第二学期期中质量监控试卷 高 三数学 一填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果， 第 1 6 题 每个空格填对得 4 分， 第 7 12 题 每个空格填对得 5 分，否则一律得零分 1已知 ( ) 2 1xfx，则 1(3)f 2已知集合 1 1 , 1, 0 ,1 ,M x x N 则 MN 3若复数 122 , 2z a i z i （ i 是虚数单位） ， 且 12zz 为纯虚数 ,则实数 a = 4直线 2232xtyt （ t 为参数）对应的普通方程是 5 若 1( 2 ) , 3
2、n n nx x a x b x c n n N，且 4bc ，则 a 的值为 6某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是 7 若函数 ( ) 2 ( ) 1xf x x a 在区间 0,1 上有零点，则实数 a 的取值范围是 8 在约束条件 1 2 3xy 下，目标函 数 2z x y 的 最大值为 9某学生在上学的路上要经过 2 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 13 ，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 10 已知椭圆 222 1 0 1yxbb 的左、右焦点分别为12FF、 ，记 122FF c 若此椭圆上 存在点 P ，
3、 使 P 到直线 1x c 的距离是 1PF 与 2PF 的等差中项， 则 b 的最大值为 11 如图 同心圆中 ， 大、小圆的半径 分别 为 2 和 1， 点 P 在 大圆上， PA 与小圆相切于点 A ， Q 为小圆上的点，则 PAPQ 的 取 值范围是 12已知递增数列 na 共有 2017 项 ，且各项均不为零， 20171a ， 如果从 na 中任 取两项 ,ijaa，当 ij 时 ， jiaa 仍是数列 na 中 的项，则数列 na 的各项和 2017S 俯视图 - 2 - 二、选择题 (本大题满分 20 分 )本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号
4、上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否 则一律得零分 . 13设 ab、 分别是两条异面直线 12ll、 的方向向量，向量 ab、 夹角的取值范围为 A ， 12ll、 所成角的取值范围为 B ，则 “ A ” 是 “ B ” 的 (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 14 将函数 sin12yx图像上的点 ,4Pt向左平移 ( 0)ss 个单位 ， 得到点 P ，若 P位于函数 sin2yx 的图像上，则 (A) 12t ， s 的最小值为 6 (B) 32t ， s 的最小值为 6 (C) 12t ， s 的最小值为 12
5、(D) 32t ， s 的最小值为 12 15 某条公共汽车线路收支差额 y 与乘客量 x 的函数关系如图所示（收支差额 车票收入 支出费用），由于目前本 条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议 ( )不改变车票价格，减少支出费用；建议 ( )不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 (A) 反映了建议（），反映了建议（） (B) 反映了建议（），反映了建议（） (C) 反映了建议（），反映了建议（） (D) 反映了建议（），反映了建议（） 16 设函数 ()y f x 的定义域是 R ，对于以下四个命题： - 3 - (1) 若
6、()y f x 是奇函数，则 ( ( )y f f x 也是奇函数； (2) 若 ()y f x 是周期函数，则 ( ( )y f f x 也是周期函数； (3) 若 ()y f x 是单调递减函数，则 ( ( )y f f x 也是单调递减函数； (4) 若函数 ()y f x 存在反函数 1()y f x ，且函数 1( ) ( )y f x f x 有零点，则函数()y f x x也有零点 其中正确的命题共有 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 三解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17
7、（本题满分 14 分；第 1 小题 6 分，第 2小题 8分） 直三棱柱 111 CBAABC 中，底面 ABC 为等腰直 角三角形 ， ACAB ，2ACAB ， 41AA ， M 是侧棱 1CC 上一点 ， 设 hMC (1) 若 CABM 1 ，求 h 的值； (2) 若 2h ，求 直线 1BA 与平面 ABM 所成的角 18（本题满分 14 分；第 1 小题 6 分，第 2小题 8分） 设函数 ( ) 2xfx ，函数 ()gx的图像与函数 ()fx的图 像关于 y 轴对称 (1)若 ( ) 4 ( ) 3f x g x，求 x 的值； (2)若存在 0,4x ，使不等式 3)2()
8、( xgxaf 成立，求实数 a 的取值范围 - 4 - 19（本题满分 14 分；第 1 小题 6 分，第 2小题 8分） 如图所示， PAQ 是某海湾旅游区的一角，其中 120PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸 AP 和 AQ 上分别修建观光长廊 AB 和 AC，其中 AB 是宽长廊，造价是 80 元 /米， AC 是窄长廊，造价是 40 元 /米，两段长廊的总造价为 120 万元，同时在线段 BC 上靠近点 B 的三等分点 D 处建一个观光平台，并建水上直线通道 AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是 1000元 /米 (1) 若规划在三角形 ABC
9、区域内开发水上游乐项目，要求 ABC 的面积最大，那么 AB和 AC 的长度分别为多少米？ (2) 在 (1)的条件下，建直线通道 AD 还需要多少钱？ 20（本题满分 16 分；第 1 小题 4 分，第 2小题 6分，第 3小题 6分） 设直线 l 与抛物线 2 4yx 相交于 不同 两点 A 、 B ，与圆 )0()5( 222 rryx 相切于点 M ，且 M 为线段 AB 中点 (1) 若 AOB 是正三角形（ O 是坐标原点），求此三角形的边长； (2) 若 4r ，求直线 l 的方程 ； (3) 试 对 0,r 进行 讨论， 请你 写出符合条件的直线 l 的 条 数 （直接写出结论
10、） - 5 - 21（本题满分 18 分；第 1 小题 4 分，第 2小题 6分，第 3小题 8分） 对于数列 na ，定义 1 2 2 3 1n n nT a a a a a a ， *nN (1) 若 nan ，是否存在 *kN ，使得 2017kT ？请说明理由； (2) 若 1 3a ， 61nnT ，求数列 na 的通项公式； (3) 令 21*11212 2 ,n n n nT T nb T T T n n N ，求证： “ na 为等差数列 ” 的充要条件是 “ na 的前 4 项为等差数列 ， 且 nb 为等差数列 ” 松江区二模考试数学试卷题（印刷稿） （参考答案） 2017
11、.4 一填空题（ 本大题 共 54 分） 第 1 6题 每个空格填对得 4 分， 第 7 5 题 每个空格填对得 5分 1 2 2 1,0 3 1 4 10xy 5 16 6 410 7 1 ,12 8 9 9 29 10 32 11 3 3,3 3 12 1009 二、选择题 （每小题 5 分，共 20 分） 13 C 14 A 15. B 16 B 三解答题（共 78 分） 17（ 1）以 A 为坐标原点，以射线 AB 、 AC 、 1AA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， - 6 - 则 )0,0,2(B , )4,0,0(1A ， )0,2,0(C ， ),
12、2,0( hM 2 分 ),2,2( hBM ， )4,2,0(1 CA 4 分 由 CABM 1 得 01 CABM ，即 0422 h 解得 1h 6 分 (2) 解法一：此时 (0,2,2)M 12 , 0 , 0 , 0 , 2 , 2 , 2 , 0 , 4A B A M B A 8 分 设 平面 ABM 的一个法向量为 ( , , )n x y z 由 00n ABn AM 得 00xyz 所以 (0,1, 1)n 10 分 设 直线 1BA 与平面 ABM 所成的角 为 则 114 1 0s in 52 2 0n B An B A 12 分 所以 直线 1BA 与平面 ABM 所
13、成的角 为 10sin 5arc 14 分 解法二：联结 1AM ，则 1AM AM ， 1,AB AC AB AA， AB平面 11AACC 8 分 1AB AM 1AM平面 ABM 所以 1ABM 是 直线 1BA 与平面 ABM 所成的角 ； 10 分 在 1ABMRt 中， 112 2 , 2 1 0A M A B - 7 - 所以 11 1 2 2 1 0sin 52 1 0AMA B M AB 12 分 所以1 10arcsin 5A BM所以 直线 1BA 与平面 ABM 所成的角 为 10sin 5arc 14 分 18 （ 1）由 ( ) 4 ( ) 3f x g x得 2
14、4 2 3xx 2 分 22 3 2 4 0xx 所以 21x （舍）或 24x ， 4 分 所以 2x 6 分 （ 2）由 ( ) ( 2 ) 3f a x g x 得 22 2 3a x x 8 分 22 2 3a x x 2 2 3 2a x x 10 分 而 2 3 2 2 3xx ，当且仅当 42 3 2 , lo g 3 0 , 4xx x 即 时取等号 12 分 所以 2 2 3a ，所以211 log 32a 14 分 19 （ 1）设 AB 长为 x 米， AC 长为 y 米，依题意得 8 0 0 4 0 0 1 2 0 0 0 0 0xy， 即 2 3000xy ， 2 分
15、 1 sin 1202ABCS x y yx 43 4 分 yx 283 22283 yx =281250 3 2m 当且仅当 yx2 ，即 750, 1500xy时等号成立， 所以当 ABC 的面积最大时， AB 和 AC 的长度分别为 750 米和 1500 米 6 分 （ 2）在 (1)的条件下，因为 7 5 0 , 1 5 0 0A B m A C m 由 2133AD AB AC 8 分 - 8 - 得 22 2133A D A B A C22 919494 ACACABAB 10 分 224 4 1 17 5 0 7 5 0 1 5 0 0 ( ) 1 5 0 09 9 2 9 2
16、50000 | | 500AD， 12 分 1000 500 500000 元 所以，建水上通道 AD 还需要 50 万元 14 分 解法二：在 ABC 中， 1 2 0c o s222 ACABACABBC 227 5 0 1 5 0 0 2 7 5 0 1 5 0 0 c o s 1 2 0 7750 8 分 在 ABD 中， ACAB ACBCABB 2c o s 222 77 5 07 5 02 1 5 0 0)77 5 0(7 5 0222 72 10 分 在 ABD 中， BBDABBDABAD c o s222 7 72)72 5 0(7 5 02)72 5 0(7 5 0 22
17、 =50 12 分 1000 500 500000 元 所以，建水上通道 AD 还需要 50 万元 14 分 解法三：以 A 为原点，以 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 )0,0(A ， )0,750(B )120s in1500,120c o s1500( C ,即 )3750,750(C ，设 ),( 00 yxD 8 分 由 2CD DB ，求得 325025000yx ， 所以 250,250 3D 10 分 所以， 22 )032 5 0()02 5 0(| AD 500 12 分 1000 500 500000 元 所以，建水上通道 AD 还需要 50 万元 14 分 20
18、 (1)设 AOB 的边长为 a ，则 A 的坐标为 31( , )22aa 2 分 - 9 - 所以 2134,22aa 所以 83a 此三角形的边长为 83 4 分 (2)设直线 :l x ky b 当 0k 时， 1, 9xx符合题意 6 分 当 0k 时， 22 4 4 04x k y b y k y byx 8 分 2 2 21 2 1 21 6 ( ) 0 , 4 , 4 2 ( 2 , 2 )k b y y k x x k b M k b k 11,A B C M A Bk k k k 22 2 3225CM kk k b kkb 2 2 21 6 ( ) 1 6 ( 3 ) 0
19、 0 3k b k k 2254 2 11 brkk 2 3 0,3k ， 舍去 综上所述，直线 l 的方程为： 1, 9xx 10 分 (3) 0,2 4,5r 时，共 2 条； 12 分 2,4r 时，共 4 条； 14 分 5,r 时，共 1 条 16 分 21 ：（ 1）由 0nan ，可知数列 nT 为递增数列， 2 分 计算得 17 1938 2017T ， 18 2280 2017T ， 所以不存在 *kN ，使得 2017kT ； 4 分 （ 2）由 61nnT ，可以得到当 *2,n n N时， 1111 ( 6 1 ) ( 6 1 ) 5 6n n nn n n na a
20、T T ， 6 分 又因为 1 2 1 5aa T， - 10 - 所以 1*1 5 6 ,nnna a n N ， 进而得到 *12 5 6 ,nnna a n N ， 两式相除得 *2 6,nna nNa ， 所以数列 21ka ， 2ka 均为公比为 6 的等比数列， 8 分 由 1 3a ，得2 53a， 所以1*22*23 6 2 1 ,5 6 2 ,3nnnn k k Nan k k N ； 10 分 （ 3）证明：由题意 1 2 1 2 3 1 22b T T a a a a ， 当 *2,n n N时， 1 1 1 2 12n n n n n n n nb T T T a a
21、a a ， 因此，对任意 *nN ，都有 1 2 1n n n n nb a a a a 12 分 必要性 ( )：若 na 为等差数列，不妨设 na bn c，其中 ,bc为常数， 显然 2 1 3 2 4 3a a a a a a ， 由于 1 2 1n n n n nb a a a a = 2212( ) 2 2 2n n na a a b n b b c ， 所以对于 *nN ， 21 2nnb b b 为常数， 故 nb 为等差数列； 14 分 充分性 ()：由于 na 的前 4 项为等差数列，不妨设公差为 d 当 3( 1)n k k 时，有 4 1 3 1 2 13 , 2 ,a a d a a d a a d 成立。 15 分 假设 *3( 1, )n k k k N 时 na 为等差数列， 即 3 2 13 , 2 ,k k k k k ka a d a a d a a d 16 分 当 *4 ( 1, )n k k k N 时，由 nb 为等 差数列，得 212k k kb b b ， 即： 3 4 2 3 1 2 1 2 3 1 2( ) ( ) 2 ( )k k k k k k k k k k k ka a a a a a a a a a a a ， 所以 2 3 1 2 14 333k k k k k kk ka a a a a aa a 17 分
