1、 高三年级质量调研数学试卷答案 第 1 页 共 9 页 46主视图 4俯视图 46左视图 闵行区 2017 届 第 二 学期 高三 年级 质量调研考试 数 学 试 卷 （满分 150 分，时间 120 分钟） 考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考生号、姓名等填写清楚 2请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效 3本试卷共有 21 道试题 一、 填空题（本大题共有 12 题 ， 满分 54 分，第 1 6 题每 题 4 分，第 7 12 题每 题 5 分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果 1. 方程 3log 2
2、 1 2x 的解是 2. 已知集合 1 1 , 1 , 0 ,1 ,M x x N 则 MN 3. 若复数 122 , 2z a i z i （ i 是虚数单位），且 12zz 为纯虚数，则实数 a = 4. 直线 2232xtyt （ t 为参数）对应的普通方程是 5. 若 1( 2 ) , 3n n nx x a x b x c n n N，且4bc ，则 a 的值为 6. 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是 7. 若函数 ( ) 2 ( ) 1xf x x a 在区间 0,1 上有零点，则实数 a 的取值范围是 8. 在 约束 条件 1 2 3xy 下，目 标函数 2z
3、 x y 的最大值为 9. 某学生在上学 的 路上要经过 2 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 13 ，则 这名学生在上学 的 路上到第 二 个路口时 第一 次遇到红灯的概率是 10. 已知椭圆 222 1 0 1yxbb ，其左、右焦点分别为 12FF、 ， 122FF c 若此椭圆上存在点 P ， 使 P 到直线 1x c 的距离是 1PF 与 2PF 的等差中项，则 b 的最大值为 11. 已知定点 (1,1)A ，动点 P 在圆 221xy上，点 P 关于直线 yx 的对称点为 P ，向量 AQ OP ， O 是坐标原点，则 PQ 的取值范围是 12.
4、已知递增数列 na 共有 2017 项 ，且各项均不为零， 2017 1a ， 如果从 na 中任取两项,ijaa，当 ij 时 ， jiaa 仍是数列 na 中 的项，则数列 na 的各项和 2017S _ 高三年级质量调研数学试卷答案 第 2 页 共 9 页 x y O x y O x y O x y O 二、 选择题（本大题共有 4 题 ， 满分 20 分 ，每题 5 分）每题 有且 只有一个正确 选项 ，考生应在答题纸的相应 位置 ，将代表 正确选项 的小方格涂黑 13. 设 ab、 分别是两条异面直线 12ll、 的方向向量，向量 ab、 的夹角的取值范围为 A ， 12ll、所成的
5、角的取值范围为 B ，则“ A ”是“ B ”的 ( ) (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 14. 将函数 sin12yx图 像 上的点 ,4Pt向左平移 ( 0)ss 个单位 ， 得到点 P ， 若P 位于函数 sin2yx 的图 像 上，则 ( ) (A) 12t ， s 的最小值为6(B) 32t ， s 的最小值为6(C) 12t ， s 的最小值为 12 (D) 32t ， s 的最小值为 12 15. 某条公共汽车线路收支差额 y 与乘客量 x 的函数关系如下图所示（收支差额 车票收入 支出费用），由于目前本条线路亏损，
6、公司有关人员提出了两条建议：建议 ( )不改变车票价格，减少支出费用；建议 ( )不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 ( ) (A) 反映了建议（），反映了建议（） (B) 反映了建议（），反映了建议（） (C) 反映了建议（），反映了建议（） (D) 反映了建议（），反映了建议（） 16. 设函数 ()y f x 的定义域是 R ，对于以下四个命题： （ 1）若 ()y f x 是奇函数，则 ( ( )y f f x 也是奇函数； （ 2）若 ()y f x 是周期函数，则 ( ( )y f f x 也是周期函数； （ 3）若 (
7、)y f x 是单调递减函数，则 ( ( )y f f x 也是单调递减函数； （ 4）若函数 ()y f x 存在反函数 1()y f x ，且函数 1( ) ( )y f x f x 有零点， 高三年级质量调研数学试卷答案 第 3 页 共 9 页 A B C P Q D 则函数 ()y f x x也有零点 其中正确的命题共有 ( ) (A)1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 三、解答题 （ 本大题共有 5 题， 满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17. （本题满分 14 分 ， 本题共有 2 个小题， 第 1 小题满分 6 分，第 2
8、小题满分 8 分 ） 直三棱柱 111 CBAABC 中，底面 ABC 为等腰直角三角形 ， ACAB ， 2ACAB ， 41AA , M 是侧棱 1CC 上一点 ， 设hMC （ 1） 若 CABM 1 ，求 h 的值； （ 2） 若 2h ，求 直线 1BA 与平面 ABM 所成的角 18. （本题满分 14 分 ， 本题共有 2 个小题， 第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 ） 设函数 ( ) 2xfx ，函数 ()gx 的图像与函数 ()fx的图像关于 y 轴对称 （ 1）若 ( ) 4 ( ) 3f x g x，求 x 的值； （ 2）若存在 0,4x ，使不等式
9、( + ) ( 2 ) 3f a x g x 成立，求实数 a 的取值范围 19. （本题满分 14 分 ， 本题共有 2 个小题， 第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 ） 如图所示， PAQ 是某海湾旅游区的一角，其中 120PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸 AP 和 AQ 上分别修建观光长廊 AB 和 AC，其中 AB 是宽长廊，造价是 80 元 /米， AC 是窄长廊，造价是 40 元 /米，两段长廊的总造价为 120 万元，同时在线段 BC 上靠近点 B 的三等分点 D 处建一个观光平台，并建水上直线通道 AD（平台大小忽略不 计），水上
10、通道的造价是 1000 元/米 A B C M B1 C1 A1 高三年级质量调研数学试卷答案 第 4 页 共 9 页 (1) 若规划在三角形 ABC 区域内开发水上游乐项目，要求 ABC 的面积最大，那么 AB和 AC 的长度分别为多少米？ (2) 在 (1)的条件下，建直线通道 AD 还需要多少钱？ 20. (本题满分 16 分 ， 本题共有 3 个小题 ， 第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 6 分 ) 设直线 l 与抛物线 2 4yx 相交于 不同 两点 AB、 ，与圆 2 2250x y r r 相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的 中点 (1)
11、若 AOB 是正三角形（ O 为坐标原点），求此三角形的边长； (2) 若 4r ，求直线 l 的方程 ； (3) 试 对 0,r 进行 讨论， 请你 写出符合条件的直线 l 的 条 数 （只需直接写出结果） 21. (本题满分 18 分 ， 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题满分 6 分 ) 已知 ()y f x 是 R 上的奇函数， ( 1) 1f ，且对任意 ,0x ， 1 1xf x fxx 都成立 (1) 求 12f、 13f的值； (2) 设 1( )( )na f nn N，求数列 na 的递推公式和通项公式； (3) 记 1
12、2 1 3 2 1n n n n nT a a a a a a a a ，求 1limnn nTT的值 闵行 区 2016 学 年第二学期高三年级质量调研考试 数学试卷参考答案与评分标准 一 . 填空题 1 4x ； 2 1,0 ； 3 1； 4 10xy ； 5 16； 6 410 ； 7 1,12； 8 9 ； 9 29 ； 10 32 ； 11 2, 6； 12 1009 ； 二 . 选择题 13 C； 14 A； 15 B； 16 B 三 . 解答题 17 解 （ 1）以 A 为坐标原点，以射线 AB 、 AC 、 1AA 分别为 x 、y 、 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则
13、 )0,0,2(B , )4,0,0(1A ， )0,2,0(C ，),2,0( hM 2 分 ),2,2( hBM ，)4,2,0(1 CA 4 分 A B C M B1 C1 A1 x y z 高三年级质量调研数学试卷答案 第 5 页 共 9 页 由 CABM 1 得 01 CABM ，即 0422 h 解得 1h 6 分 (2) 解法一：此时 (0,2,2)M 12 , 0 , 0 , 0 , 2 , 2 , 2 , 0 , 4A B A M B A 8 分 设 平面 ABM 的一个法向量为 ( , , )n x y z 由 00n ABn AM 得 00xyz 所以 (0,1, 1)n
14、 10 分 设 直线 1BA 与平面 ABM 所成的角 为 则 114 1 0s in 52 2 0n B An B A 12 分 所以 10sin 5arc 所以 直线 1BA 与平面 ABM 所成的角 为 10sin 5arc 14 分 解法二：联结 1AM ，则 1AM AM ， 1,A B A C A B A A， AB平面 11AACC 8 分 1AB AM 1AM平面 ABM 所以 1ABM 是 直线 1BA 与平面 ABM 所成的角 ； 10 分 在 1ABMRt 中， 112 2 , 2 5A M A B 所以 11 1 2 2 1 0s in 525AMA B M AB 12
15、 分 所以1 10a rc si n 5A B M所以 直线 1BA 与平面 ABM 所成的角 为 10sin 5arc 14 分 18 解 （ 1）由 ( ) 4 ( ) 3f x g x得 2 4 2 3xx 2 分 22 3 2 4 0xx 所以 21x （舍）或 24x ， 4 分 高三年级质量调研数学试卷答案 第 6 页 共 9 页 所以 2x 6 分 （ 2）由 ( ) ( 2 ) 3f a x g x 得 22 2 3a x x 8 分 22 2 3a x x 2 2 3 2a x x 10 分 而 2 3 2 2 3xx ，当且仅当 42 3 2 , l o g 3 0 , 4
16、xx x 即 时取等号 12 分 所以 2 2 3a ，所以211 log 32a 14 分 19 解 （ 1）设 AB 长为 x 米， AC 长为 y 米，依题意得 8 0 0 4 0 0 1 2 0 0 0 0 0xy， 即 2 3000xy ， 2 分 1 sin 1 2 02ABCS x y yx 43 4 分 yx 283 22283 yx = 281250 3 2m 当且仅当 yx2 ，即 750, 1500xy时等号成立， 所以当 ABC 的面积最大时， AB 和 AC 的长度分别为 750 米和 1500 米 6 分 （ 2）在 (1)的条件下，因为 7 5 0 , 1 5 0
17、 0A B m A C m 由 2133A D A B A C 8 分 得 22 2133A D A B A C22 919494 ACACABAB 10 分 224 4 1 17 5 0 7 5 0 1 5 0 0 ( ) 1 5 0 09 9 2 9 250000 | | 500AD， 12 分 1000 500 500000 元 所以，建水上通道 AD 还需要 50 万元 14 分 解法二：在 ABC 中， 1 2 0c o s222 ACABACABBC 227 5 0 1 5 0 0 2 7 5 0 1 5 0 0 c o s 1 2 0 7750 8 分 在 ABD 中， ACAB
18、 ACBCABB 2c o s 222 高三年级质量调研数学试卷答案 第 7 页 共 9 页 77 5 07 5 02 1 5 0 0)77 5 0(7 5 0222 72 10 分 在 ABD 中， BBDABBDABAD c o s222 7 72)72 5 0(7 5 02)72 5 0(7 5 0 22 =50 12 分 1000 500 500000 元 所以，建水上通道 AD 还需要 50 万元 14 分 解法三：以 A 为原点，以 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 )0,0(A ， )0,750(B )120s in1500,120c o s1500( C ,即 )3750
19、,750(C ，设 ),( 00 yxD 8 分 由 2CD DB ，求得 325025000yx ， 所以 250, 250 3D 10 分 所以， 22 )03250()0250(| AD 500 12 分 1000 500 500000 元 所以，建水上通道 AD 还需要 50 万元 14 分 20 解 (1)设 AOB 的边长为 a ，则 A 的坐标为 31( , )22aa 2 分 所以 2134,22aa 所以 83a 此三角形的边长为 83 4 分 (2)设直线 :l x ky b 当 0k 时， 1, 9xx符合题意 6 分 当 0k 时， 22 4 4 04x k y b y
20、 k y byx 8 分 2 2 21 2 1 21 6 ( ) 0 , 4 , 4 2 ( 2 , 2 )k b y y k x x k b M k b k 11,A B C M A Bk k k k 高三年级质量调研数学试卷答案 第 8 页 共 9 页 22 2 3225CM kk k b kkb 2 2 21 6 ( ) 1 6 ( 3 ) 0 0 3k b k k 2254 2 11 brkk 2 3 0,3k ， 舍去 综上所述，直线 l 的方程为： 1, 9xx 10 分 (3) 0, 2 4,5r 时，共 2 条； 12 分 2,4r 时，共 4 条； 14 分 5,r 时，共
21、1 条 16 分 21 解 （ 1）对等式 11xf x fxx ， 令 11 ( 1 ) 12x f f 所以 1 12f 2 分 令 1 1 1 1222 2 3 3x f f f , 所以 1132f 4 分 （ 2） 取 1x n ， 可得 1 1 1( ) ( )1ffn n n ， 6 分 即 1 1 1( ) ( )1ffn n n ， 所以1 1 ()nna a nn N1 (1) ( 1) 1,a f f 所以 数列 na 的递推公式为11 11, ( )nna a a nn N 8 分 故 13 21 2 2 1 11 1 1 111 2 2 1 !n n nnna a a
22、 aaa a a a a n n n 10 分 高三年级质量调研数学试卷答案 第 9 页 共 9 页 所以数列 na 的通项公式为 1( 1)!na n 12 分 （ 3） 由 （ 2） 1( 1)!na n 代入 1 2 1 3 2 1n n n n nT a a a a a a a a 得 1 1 1 1 10 ! ( 1 ) ! 1 ! ( 2 ) ! 2 ! ( 3 ) ! 3 ! ( 3 ) ! ( 1 ) ! 0 !nT n n n n n 14 分 1 ( 1 ) ! ( 1 ) ! ( 1 ) ! ( 1 ) !11( 1 ) ! 1 ! ( 2 ) ! 2 ! ( 3 ) ! 3 ! ( 3 ) ! ( 2 ) ! 1 !n n n n nT n n n n n 10 1 2 3 2 11 1 1 1 1 112( 1 ) ! ( 1 ) !nnnn n n n n n nT C C C C C Cnn 16 分 1 2!nnT n则 1 2lim lim 0nnnnTTn 18 分
