1、立体几何 高考题 1.某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N的路径中，最短路径的长度为（ ） A. 172 B. 52 C.3 D.2 2.已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1， O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A 12 2 B 12 C 8 2 D 10 3.已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为 A.433B. 332C. 4
2、23D. 234.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平 面 将 一 圆 柱 截 去 一 部 分 后 所 得 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 A.90 B.63 C.42 D.36 5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （ A） 60 （ B） 30 （ C） 20 （ D） 10 6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E为棱 CD 的中点，则 A 11AE DC B 1AE BD C 11AE BC D 1AE AC 7.已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A B
3、34 C 2 D 4 8.如图，在下列四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是 9.平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A， 平面 CB1D1, 平面 ABCD=m， 平面ABB1 A1=n，则 m， n 所成角的正弦值为 （ A） 32 （ B） 22 （ C） 33 （ D） 13 10.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径 .若该几何体的体积是328，则它的表面积是 （ A） 17 （ B） 18 （ C） 20 （ D） 28 11.体积为 8
4、 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 （ A） 12 （ B） 323（ C） 8 （ D） 4 12.正四棱锥 的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积是 ( )A. 814 B. 16 C. 9 D. 274 13.已知正四面体 ABCD 中， E 是 AB 的中点，则异面直线 CE与 BD所成角的余弦值为 ( ) A. 16 B. 36 C. 13 D. 33 14.以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ） .2 . .2 .1A B C D 15.设 m 、 n 是两条不同的直线， 、 是两个
5、不同的平面，则（ ） A.若 nm ， /n ，则 m B.若 /m ， ，则 m C.若 m ， n ， n ，则 m D.若 nm ， n ， ，则 m 16.已知 m， n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ） A若 / / , / / ,mn则 /mn B若 m ， n ，则 mn C若 m ， mn ，则 /n D若 /m ， mn ，则 n 17.（ 10）已知三棱柱 1 1 1 6 . 3 4A B C A B C O A B A C 的 个 顶 点 都 在 球 的 球 面 上 若 ， ， ,AB AC 1 12A A O ， 则 球 的 半 径 为 A 3172
6、 B 210 C 132 D 310 18.长方体的长、宽、高分别为 3， 2， 1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 19.已知三棱锥 S-ABC的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径。若平面 SCA 平面 SCB， SA=AC， SB=BC，三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为 _。 20.一个六棱锥的体积为 23，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 。 21.如图，四边形 ABCD 为正方形， E， F 分别为 AD， BC 的中点，以 DF 为折痕把 DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF
7、 BF （ 1）证明：平面 PEF 平面 ABFD；（ 2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 22.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED 平面 ABCD， EF AB， AB=2，BC=EF=1， AE= 6 ， DE=3， BAD=60， G 为 BC 的中 点 . ( )求证： FG 平面 BED； ( )求证：平面 BED 平面 AED； ( )求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 . 23.由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 截去三棱锥 C1- B1CD1 后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形， O 为 AC与 BD 的交点， E为 AD的
8、中点， A1E 平面 ABCD, （ ）证明： A1O 平面 B1CD1; （ ）设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM 平面 B1CD1. 24.如图，在四棱锥 P-ABCD 中， AD 平面 PDC， AD BC， PD PB， AD=1， BC=3，CD=4， PD=2. （ I）求异面直线 AP 与 BC所成角的余弦值； （ II）求证： PD 平面 PBC； （ ）求直线 AB 与平面 PBC所成角的正弦值 . 25.如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， AB=BC=21 AD, BAD= ABC=90。 （ 1） 证明：直线 B
9、C 平面 PAD; （ 2） 若 PCD 的 面积为 2 7 ，求四棱锥 P-ABCD 的体积。 26.如图，在三棱锥 PABC 中， PA AB， PA BC， AB BC， PA=AB=BC=2， D 为线段 AC的中点， E 为线段 PC上一点 （ ）求证： PA BD； （ ）求证：平面 BDE 平面 PAC； （ ）当 PA 平面 BDE时，求三棱锥 EBCD 的体积 27.如图，四面体 ABCD 中， ABC是正三角形， AD=CD （ 1）证明： AC BD； （ 2）已知 ACD 是直角三角形， AB=BD若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且AE EC，求四面体 ABC
10、E 与四面体 ACDE 的体积比 28.如图，在四棱锥 P-ABCD 中， AB/CD，且 90B A P C D P （ 1）证明：平面 PAB 平面 PAD； （ 2）若 PA=PD=AB=DC, 90APD,且四棱锥 P-ABCD 的体积为 83 ，求该四棱锥的侧面积 . 29.如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形， PA =6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D， D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连结 PE并延长 交 AB 于点 G. （ ）证明： G 是 AB 的中点； （ ）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面
11、体 PDEF的体积 30.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E， F 分别在 AD， CD 上，AE=CF， EF 交 BD 于点 H，将 DEF 沿 EF 折到 DEF的位置 . （ ）证明： AC HD； （ ） 若 AB=5， AC=6， 54AE ， OD= 22 ， 求五棱锥 D-ABCFE体积 . 31.如图 ， 三棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， 点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上 ， ACB=90 ， BC=1，AC=CC1=2. (1)证明 ： AC1 A1B; (2)设直线 AA1与平面 BCC1B1的距离为 3 ， 求二面角
12、 A1-AB-C 的大小 . 32.如图，三棱锥 A BCD 中， ,A B B C D C D B D平 面 . （ ）求证： CD 平面 ABD ； （ ）若 1A B B D C D ， M 为 AD 中点，求三棱锥 A MBC 的体积 . 33.如图，四棱锥 P ABCD 中，1, , , ,2A P P C D A D B C A B B C A D E F 平 面 分别为线段,ADPC 的中点 . （）求证： AP BEF 平 面 ； （ II）求证： BE PAC平 面 . 34.如图，在四棱锥 BCDEA 中，平面 ABC 平面 BCDE ； 90CD E B E D ，2AB
13、 CD， 1DE BE， 2AC . （ 1）证明： AC 平面 BCDE ； （ 2）求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值 . 35.在如图所示的多面体中，四边形 11ABBA 和 11ACCA 都为矩 形。 A D E B C A F C D B P E （ ） 若 AC BC ，证明：直线 BC 平面 11ACCA ； （ ） 设 D ， E 分别是线段 BC ， 1CC 的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M ，使直线/DE 平面 1AMC ？请证明你的结论 。 36.如图， ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，且 2AB BC BD ，0120A B C D B C ，
14、 E、 F、 G 分别为 AC、 DC、 AD 的中点 . （ 1）求证： EF 平面 BCG； （ 2）求三棱锥 D-BCG 的体积 . 37.如图，四棱锥 P ABCD 中，底面是以 O 为中心的菱形，PO ABCD 底 面 , 2, 3A B B A D ,M 为 BC 上一点，且 12BM . （ ）证明： BC POM 平 面 （ ）若 MP AP ，求四棱锥 P ABMO 的体积 38.如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA平 面 ABCD， E 为 PD 的 中 点 . （ I） 证明： PB 平面 AEC; (II)设 AP=1， AD= 3 ,三棱锥
15、P-ABD 的体积 V= 43 ，求 A 到平面 PBC的距离 . 39.如图，三棱柱 111 CBAABC 中，侧面 CCBB11 为菱形， CB1 的中点为 O ，且AO 平面 CCBB11 . （ I） 证明： ;1 ABCB （ II） 若 1ABAC , ,1,601 BCC B B 求三棱柱 111 CBAABC 的高 . 40.（本小题共 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， /AB CD ， AB AD ， 2CD AB ， 平面 PAD底面 ABCD ， PA AD ， E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证： （ 1） PA 底面 ABCD （ 2） /
16、BE 平面 PAD （ 3）平面 BEF 平面 PCD 41. 如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， CA CB ， 1AB AA ，1 60BAA。 （ ）证明 ： 1AB AC ； （ ）若 2AB CB， 1 6AC ， 求三棱柱 1 1 1ABC A B C 的体积 。 42.如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AB/CD， AD AB， AB=2，AD= ， AA1=3， E 为 CD 上一点， DE=1， EC=3 （ 1） 证 明： BE 平面 BB1C1C; （ 2） 求点 B1 到平面 EA1C1 的距离 43.A B O P A O C O是 圆
17、的 直 径 ， 垂 直 圆 所 在 的 平 面 ， 是 圆 上 的 点 （ I） 求证： BC PAC平 面 ； （ II） 设 / / .Q P A G A O C Q G P B C为 的 中 点 ， 为 的 重 心 ， 求 证 ： 平 面 C 1B 1A A1BC试卷答案 1.B解答： 三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为 ,MN连线的距离，所以224 2 2 5MN ，所以选 B. 2.B解答： 截面面积为 8，所以高 22h ，底面半径 2r ，所以表面积 为2( 2 ) 2 2 2 2 2 1 2S . 3.A 解答： 由于截面与每条棱所成的角都相等，所以平面 中存在平面与平面 11ABD 平行（如图），而在与平面 11ABD 平行的所有平面中，面积最大的为由各棱的中点构成的截面EFGHMN ，而平面 EFGHMN 的面积 1 2 2 3 3 362 2 2 2 4S . 4.B 由题意，该几何体是由高为 6 的圆柱截取一半后的图形加上高为 4 的圆柱，故其体积为221 3 6 3 4 6 32V ，故选 B.
