1、海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理科） 2017.1 本试卷共 4 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 。 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 抛物线 2 2yx 的焦点到准线的距离为 A 12B 1 C 2 D 3 2在极坐标系中，点 (1, )4与点 3(1, )4的距离为 A 1 B 2 C 3 D 5 3 右侧程序框图 所示的算法来自于 九章算术 .若输入 a 的值为 16 ，b 的值为 24 ，则 执行该程序框图
2、输出的结果为 A 6 B 7 C 8 D 9 4已知向量 ,ab满足 20ab， ( ) 2 a b a ，则 ab A 12B 12 C 2 D 2 5 已知直线 l 经 过双曲线 2 2 14x y的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线 l 的方程可能是 A 1522yx B 1 52yxC 322yxD 23yx 6设 ,xy满足 0,2 0,2,xyxyx 则 22( 1)xy的最小值为 A 1 B 92 C 5 D 9 7 在手绘 涂 色本的某 页上画有排成一列的 6 条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色 ，开始 是否是否a a b b b aa输 出结束 ,ab输 入ab
3、 ab 每条鱼只能涂 一种 颜色，两条相邻的鱼 不 都 涂成红色 ， 涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A 14 B 16 C 18 D 20 8 如图，已知 正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 的棱长为 1， ,EF分别是棱 AD，B1C1 上的动点， 设 1,AE x BF y若 棱 1DD 与 平面 BEF 有公共点 ，则 xy 的取值范围是 A 0,1 B 13 , 22 C 1,2 D 3 ,22二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 已知复数 z 满足 (1 i) 2z，则 z _ 10 在 261()xx的展开式中，常数项为 _ （用数字作
4、答） 11若 一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则 该 几何体的 体 积 为 _ 12 已知圆 C : 2220x x y ， 则 圆心坐标为 _； 若直线 l 过点 (1,0) 且 与圆 C 相切 ，则 直线 l 的 方程为_ 13 已知函数 2sin( )yx ( 0,| | )2. 若 (0) 1f ，则 _； 若 xR ， 使 ( 2) ( ) 4f x f x 成立，则 的 最小值是 _ 14 已 知函数 |( ) e cosxf x x ， 给出 下列 命题： ()fx的最大值为 2； ()fx在 ( 10,10) 内 的零点之和为 0； ()fx的任何一个极大
5、值都大于 1. 其中所有 正确 命题 的 序号 是 _ 俯 视 图2左 视 图211主 视 图A BCD1D1A 1B1CEF三、解答题共 6 小题，共 80 分 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 15 （本小题满分 13 分） 在 ABC 中， 2ca ， 120B ，且 ABC 面积为 32 （） 求 b 的值； （） 求 tanA 的值 16 （本小题 满分 13 分） 诚信是立身之本，道德之基 .某校学生会创设了 “ 诚信水站 ” ，既便于学生用水，又推进诚信教育， 并用 “ 周 实 际 回 收 水 费周 投 入 成 本” 表示每周 “ 水站诚信度 ” 为了便于数据分析，以 四周
6、为一周期 ，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计： 第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期 95% 98% 92% 88% 第二个周期 94% 94% 83% 80% 第三个周期 85% 92% 95% 96% （ ） 计算表中十二周 “ 水站诚信度 ” 的平均数 x ； （ ）分别 从 上表 每个周期的 4 个数据中随机抽取 1 个数据，设随机变量 X 表示取出的 3 个数据中“ 水站诚信度 ” 超过 91% 的 数据的 个数，求随机变量 X 的分布列和期望； （ ） 已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二 个 周期的第四周末各举行了一次 “ 以诚信为本 ” 的主题
7、教育 活动 根据 已有数据，说明两次主题 教育 活动的宣传效果，并 根据已有数据陈述理由 17 （本小题满分 14 分） 如图 1，在梯形 ABCD 中， /AB CD ， 90ABC， 2 2 4AB CD BC ， O 是边 AB 的中点 将三角形 AOD 绕边 OD 所在直线旋转到 1AOD 位置，使得 1 120AOB，如图 2 设 m 为平面 1ADC 与平面 1AOB 的交线 （ ） 判断直线 DC 与直线 m 的位置关系并证明； （ ）若 直线 m 上 的 点 G 满足 1OG AD ，求出 1AG 的长； （ ） 求直线 1AO 与平面 1ABD 所成角的正弦值 AO BCD1
8、图OD CB2图1A18 （本小题满分 13 分） 已知 (0,2), (3,1)AB是椭圆 G： 22 1( 0)xy abab 上的两点 （ ） 求椭圆 G 的 离心率； （ ）已知 直线 l 过点 B ，且 与椭圆 G 交于另一点 C（不同于点 A ） ，若以 BC 为直径的圆 经 过点 A ，求直线 l 的方程 19. （本小题满分 14 分） 已知 函数 ( ) ln 1af x xx （ ） 若曲线 ()y f x 存在斜率为 1 的切线，求实数 a 的取值范围； （ ） 求 ()fx的单调区间； （ ） 设 函数 ()lnxagx x，求证：当 10a 时， ()gx在 (1,
9、) 上存在极小值 20 （本小题满分 13 分） 对于无穷数列 na ,nb ， 若 1 2 1 2m a x , , , m i n , , , ( 1 , 2 , 3 , )k k kb a a a a a a k ，则 称 nb 是na 的 “ 收缩数列 ” 其中， 12max , , , ka a a , 12min , , , ka a a 分别表示 12, , , ka a a 中的最大数和最小数 已知 na 为无穷数列，其 前 n 项和为 nS ， 数列 nb 是 na 的 “ 收缩数列 ” ( )若 21nan， 求 nb 的前 n 项和 ； ( )证明 ： nb 的 “ 收缩
10、数列 ” 仍 是 nb ； ( )若1 2 1( 1 ) ( 1 )22nnn n n nS S S a b ( 1,2,3, )n， 求所有满足该条件的 na 海淀区 高三年级第一学期期末练习 数学（理科） 答案及评分标准 2017.1 一、 选择题 （ 共 8 小题，每小题 5 分，共 40分 ） 1.B 2.B 3. C 4.C 5.A 6. B 7.D 8.C 二、 填空题 （ 共 6 小题，每小题 5 分，共 30分 ， 9. 1i 10.15 11.163 12.（ 1,0）； 3 ( 1)3yx和 3 ( 1)3yx 13. 6， 2 14. 三、解答题 （ 共 6 小题，共 8
11、0 分 ） 15.（本小题满分 13 分） 解： （）由 ABC面积 公式及题设得 1 sin2S ac B1 3 322 2 2aa ， 解得 1, 2,ac 由余弦定理及题设可得 2 2 2 2 cosb a c ac B 11 4 2 1 2 ( ) 72 ， 又 0, 7bb . (不写 b0 不扣分 ) （ ）在 ABC中，由正弦定理sin sinabAB得： 1 3 2 1s i n s i n2 1 47aABb ， 又 120B ，所以 A 是锐角（或：因为 1 2,ac ） 所以 2 1 7 5 5 7c o s 1 s i n1 9 6 1 4AA ， 所以 s in 2
12、1 3ta n .c o s 557AA A 16. （本小题满分 13 分） 解：（ ）十二周“水站诚信度”的平均数为 x = 9 5 + 9 8 + 9 2 + 8 8 + 9 4 + 9 4 + 8 3 + 8 0 + 8 5 + 9 2 + 9 5 + 9 6 = 9 1 %1 2 1 0 0（）随机变量 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3 三个周期 “水站诚信度 ”超过 91% 分别有 3 次， 2 次， 3 次 1 2 1 2( 0 ) 4 4 4 6 4PX 3 2 1 1 2 1 1 2 3 1 4( 1 ) 4 4 4 4 4 4 4 4 4 6 4PX 3 2 1 3
13、2 1 3 2 3 3 0( 2 ) 4 4 4 4 4 4 4 4 4 6 4PX 3 2 3 1 8( 3 ) 4 4 4 6 4PX 随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 132 732 1532 932 1 7 1 5 90 1 2 3 23 2 3 2 3 2 3 2EX . （） 本题为开放问题，答案不唯一 ，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分 . 给出明确结论， 1 分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由， 2 分 . 标准 1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述 标准 2：会用三个周期的诚信度平均数变
14、化进行阐述 标准 3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述 可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下： 情况一： 结论：两次主题活动效果均好 .（ 1 分） 理由：活动举办后，“水站诚信度”由 88% 94%和 80% 85%看出，后继一周都有提升 .（ 2分） 情况二： 结论：两次主题活动效果都不好 .（ 1 分） 理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为 93.25%， 87.75%， 92%(平均数的计算近似即可 )，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降 .（ 2 分） 情况三： 结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动 .（ 1 分） 理由：第一
15、次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（ 94%-88%=6%）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（ 85%-80%=5%） .（ 2 分） 情况四： 结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动 .（ 1 分） 理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后，“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势 . （ 2 分）（答出变化） 情况五： 结论：两次主题活动累加效果好 .（ 1 分） 理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好 .（ 2 分） 情况六： 以“两次主题活动无法比较作答，只有给出如下理由才
16、给 3 分：“ 12 个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义” . 给出其他理由，则结论和理由均不得分（ 0 分） . 说明： 情况一和情况二用极差或者 方差作为得出结论的理由，只给结论分 1 分，不给理由分 2分 . 以下情况不得分 . 情况七： 结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的 . 例： 结论：第二次主题活动效果好 . 理由：第二次主题活动后诚信度有提高 . 其他答案情况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准， 能使用表中数据解释所得结论 . 17. （本小题满分 14 分） 解： （ ） 直线 DC /m . 证明
17、： 由 题设 可得 / ,CD OB 1CD AOB平 面 ， 1OB AOB平 面 ， 所以 /CD 平面 1AOB . 又因为 CD 平面 1ADC ，平面 1ADC 平面 1AOB m 所以 /CD m . 法 1： （） 由已知 2 2 4AB CD BC ， O 是边 AB 的 中点， /AB CD ， 所以 /CD OB ， 因为 90ABC，所以四边形 CDOB 是正方形， 所以在图 1 中 DO AB ， 所以结合题设可得，在图 2 中有 1DO OA ， DO OB ， 又因为 1OA OB O ， 所以 1DO AOB平 面 . 在平面 AOB 内作 OM 垂直 OB 于
18、M ，则 DO OM . 如图，建立空间直角坐标系 O xyz ，则 1 ( 3 , 1 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 )A B D ， 所以 1 ( 3,1,2)AD . 设 ( 3, ,0)Gm，则由 1OG AD 可得 1 0AD OG，即 ( 3 ,1 , 2 ) ( 3 , , 0 ) 3 0mm 解得 3m . 所以 1 4AG . （ ） 设平面 1ABD 的法向量 ( , , )x y zn ，则 OD CBG1AzxyM110,0,ADAB nn 即 3 2 0,3 3 0,x y zxy 令 1y ，则 3, 1xz， 所以 ( 3
19、,1,1)n ， 设直线 1AO与平面 1ABD 所成角 为 ，则 sin 1115c os , 5A O nA O n A O n . 法 2： （） 由已知 2 2 4AB CD BC ， O 是边 AB 的中点， /AB CD ， 所以 /CD OB ， 因为 90ABC，所以四边形 CDOB 是正方形， 所以在图 1 中 DO AB ， 所以结合题设可得，在图 2 中有 1DO OA ， DO OB ， 又因为 1OA OB O ， 所以 1DO AOB平 面 . 又因为 1OG AOB平 面 ，所以 DO OG . 若在 直线 m 上 的 点 G 满足 1OG AD ， 又 1OD
20、AD D ， 所以 1OG AOD平 面 ， 所以 1OG OA ， 因为 111 2 0 , / /A OB OB A G ，所以 1 60OAG， 因为 1 2OA ，所以 1 4AG . （注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分） （ ） 由（ II）可知 1OD OA OG、 、 两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系 O xyz ，则10 , 0 , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 1 , 3 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 )O A B D（ ， 所以 11( 2 , 0 , 2 ) , ( 3 , 3 , 0 , )A D
21、 A B 设平面 1ABD 的法向量 ( , , )n x y z ，则 110,0,n ADn AB 即 2 2 0,3 3 0,xzxy 令 1x ， 则3, 1yz， 所以 (1, 3,1)n ， 设直线 1AO与平面 1ABD 所成角 为 ，则 OD CBG1Azx ysin 11 1 5c o s , 5A O nA O n A O n . 18. （本小题满分 13 分） 解： （ ）由已知 2,b 由点 (3,1)B 在椭圆 G 上可得29114a ， 解得 2 12, 2 3aa. 所以 2 2 2 8, 2 2c a b c ， 所以椭圆 G 的 离心率是 6.3ce a（
22、）法 1： 因为 以 BC 为直径的圆 经 过点 A ， 所以 AB AC ， 由斜率公式和 (0,2), (3,1)AB可得 13ABk ， 所以 3Ack ， 设直线 AC 的方程为 32yx. 由 223 2,112 4yxxy 得 27 9 0xx， 由题设 条件可得 90,7ACxx ， 所以 9 13()77C- ,-， 所以直线 BC 的方程为 2 13yx. 法 2： 因为 以 BC 为直径的圆 经 过点 A ， 所以 AB AC ， 由斜率公式和 (0,2), (3,1)AB可得 13ABk ， 所 以 3Ack ， 设 CCCx y（ ， ） ,则 2 3CAcCyk x，
23、即 32CCyx 由点 C 在椭圆上可得 22112 4CCxy 将 代入 得 27 9 0CCxx， 因为点 C 不同于点 A ，所以 97Cx ， 所以 9 13()77C- ,-， 所以直线 BC 的方程为 2 13yx. 法 3：当 直线 l 过点 B 且斜率不存在时， 可得点 (3, 1)C ，不满足条件 . 设 直线 BC 的方程为 1 ( 3)y k x ，点 CCCx y（ ， ） 由221 3 ,112 4y kx kxy 可得 2 2 2( 3 1 ) 6 (1 3 ) 3 (1 3 ) 1 2 0k x k k x k ， 显然 0 ，此方程两个根是点 BC和 点 的横坐
24、标， 所以 223(1 3 ) 123 31C kx k ，即 22(1 3 ) 4 ,31C kx k 所以 223 6 1 ,31C kky k 因为 以 BC 为直径的圆 经 过点 A ， 所以 AB AC ，即 0AB AC. （ 此处用 1AB ACkk 亦可 ） 22229 6 3 9 6 1( 3 , 1 ) ( , )3 1 3 1k k k kA B A C kk 2236 12 8 031kkk， 即 (3 2)(3 1) 0kk ， 1221,33kk 当2 13k时，即直线 AB ,与已知点 C 不同于点 A 矛盾， 所以1 2,3BCkk所以直线 BC 的方程为 2 13yx. 19. （本小题满分 14 分） 解： （ ）由 ( ) ln 1af x x x 得221( ) ( 0 )a x af x xx x x .
