1、 - 1 - 山东、湖北部分重点中学 2018 年第二次联考 (理 ) 数学试题（理工农医类） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 （原创，容易） 已知复数 z 满足 (1 ) 3i z i ，则 z 在复平面内对应的点 位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】 B 【解析】 (1 ) 3i z i 3 21 izii ,则 2zi .故选 B 【考点】复数运算及几何意义 . 2（原创，容易）已知全 集 2| 5 6 0 , 1 2U x Z x x A x Z x ， 2,3,5B ，则
2、UAB （ ） A 2,3,5 B 3,5 C 2,3,4,5 D 3,4,5 【答案】 B 【解析】 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 0 , 1 , 2UA,则 UAB 35 . 【考点】二次不等式及 集合运算 . 3.（原创，容易）在 等差数列 na 中， 7=14S ，则 2 4 6aaa （ ） A 2 B 4 C 6 D 8 【答案】 C 【解析】 7 4 4= 1 4 7 1 4 2S a a ,则 2 4 6 436a a a a . 【考点】等差数列性质 . 4.（原创，容易）如图，网格纸上 的小正方形边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面
3、积为（ ） A 8+4 3 B 8+2 3 C 4+4 3 D 4+2 3 【答案】 A 【解析】三视图还原为三棱锥 A BCD ，如左下图所示， - 2 - 则三棱锥 A BCD 的表面积为 A BCDS 2134 2 2 ( 2 2 ) 2 8 4 324 【考点】三视图还原及三棱锥的表面积 . 5.（原创，中档）已知1. 1 0. 6 122 , 3 , log 3a b c ,则 ,abc的大小为（ ） A b c a B.a c b C. bac D.abc 【答案】 D 【解析】1 . 1 0 . 6 122 0 , 3 0 , l og 3 0a b c , 51 . 1 0 .
4、 6 3 52 2 , 3 3 2 3 2ab 【考点】指数函数对数函数的性质 . 6.（原创，中档） 若 函数 ( ) sin(2 )3f x x 图象的横坐标伸长到原来的 2 倍 , 纵坐标不变 ,再向左平移 6 得到函数 ()gx的图象，则有 （ ） A ( ) cosg x x B ( ) sing x x C ( ) cos( )3g x x D ( ) sin( )3g x x 【答案】 A 【解析】： 2 6sin ( 2 ) sin ( ) sin ( ) c o s3 3 2y x y x y x x 左 移横 坐 标 变 为 倍. 【考点】正余弦型函数的图象变换 . 7.（
5、原创，中档）已知命题 :p 若 a c b c ，则 ab ，命题 :q 若 2,a b a b ，则2 1b ，则有 （ ） A p 为真 B. q 为真 C. pq 为真 D.pq 为真 【答案】 D 【解析 】 p 为假， 2,a b a b 22 1 1b b b b ， q 为真 . 则 pq 为真，故选 D 【考点】向量数量积与模、不等式及简易逻辑 . - 3 - 8.（原创，中档）若 2 c o s 2 3 s in 2c o s ( )4 ，则 sin2 （ ） A 13 B 23 C 23 D 13 【答案】 C 【解析】 222 ( c o s s i n ) 3 s i
6、n 2 2 ( c o s s i n ) 3 s i n 2c o s s i n 2 24 4 s i n 2 3 s i n 2 s i n 2 3 或 sin2 2 (舍 ),故选 C 考点：三角函数恒等变形 9.（原创，中档） 如图所示，扇形 AOB 的半径为 2 ，圆心角为 90 ，若扇形 AOB 绕 OA 旋转一周，则图中阴影部分绕 OA旋转一周所得几何体的体积为（ ） A 3 B 5 C 83D 163【答案】 C 【解析】 扇形 AOB 绕 OA旋转一周所得几何体的体积为球体积的12 ，则 32 1633Vr， AOB 绕 OA 旋转一周所得几何体的体积为 31833r ，阴
7、影部分旋转所得几何体的体积为 83 ，故选 C 【考点】旋转体体积、割与补 . 10 （原创，中档）函数 22() 41xx xfx 的图象大致为（ ） A B - 4 - C D 【答案】 A 【解析】 222( ) ( ) ( ) ( )4 1 2 2xx x xxxf x f x f x f x 为奇函数，排除 B； ( ) 0x f x ；排除 D； 2 1 2 1(1 = ( ) ( ) (1 )3 2 4 2f f f f ） ， ， 排除 C；故选 A 【考点】函数性质及图象 . 11.（原创，中档）已知从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为 1，第二行为 3，
8、5，第三行为 7， 9， 11，第四行为 13， 15， 17， 19，如图所示，在宝塔形数表中位于第 i 行，第 j 列的数记为 ,ija ，比如3 2 4 2 5 49 , 1 5 , 2 3， ， ， a a a，若 , 2017ij ，则 ij（ ） A 64 B 65 C 71 D 72 【答案】 D 【解析】奇数数列 2 1 2 0 1 7 1 0 0 9na n n ， 按照蛇形排列，第 1 行到第 i 行末共有 (1 )12 2iii 个奇数 ,则第 1 行到第 44 行末共有 990 个奇数；第 1 行到第 45 行末共有 1035个奇数；则 2017 位于第 45 行；而第
9、 45 行是从右到左依次递增，且共有 45 个奇数；故 2017 位于第 45 行，从右到左第 19 列，则4 5 , 2 7 7 2i j i j ，故选 D 【考点】等差数列与归纳推理 . 12.（原创，难） 已知函数 ( ) 2 c o s 2 c o s ( )4f x x x ，给出下列命题： 函数 ()fx的最小正周期为 2 ； 函数 ()fx关于 4x 对称； 函数 ()fx关于 3( ,0)4 对称； 函数 ()fx的值域为 4 6 4 6 , 99 ，则其中正确 的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 - 5 - 【答案】 D 【解析】 ( ) 2 c o
10、 s 2 c o s ( )4f x x x 的周期显然为 2 ； ( ) 2 c o s ( 2 ) c o s ( ) 2 s i n 2 s i n4 2 2f x x x x x ； ( ) 2 c o s ( 2 ) c o s ( ) 2 s i n 2 s i n4 2 2f x x x x x ； ( ) ( )44f x f ，故 正确 . 33( ) 2 c o s ( 2 ) c o s ( ) 2 s i n 2 c o s42f x x x x x ( ) 2 c o s ( 2 ) c o s ( ) 2 s i n 2 c o sf x x x x x ； 33(
11、 ) ( )44f x f x ，故 正确 . 2( ) ( c o s s in ) ( c o s s in )f x x x x x ， 设 22c o s s in ( c o s s in ) 2x x t x x t ，则 2, 2t ， 32y t t 2 m in m a x6 4 6 4 62 3 0 ,3 9 9y t t y y ，故 正确 【考点】三角恒等变形、函数周期性、对称性及值域 . 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 . 13.（原创，容易） 若 ( , 2 ), ( 1,1 )a x b x ，若 ( ) ( )a b a b ，则 x 【答案】
12、1 【解析】 22( ) ( ) 1a b a b a b x 【考点】 向量坐标运算及向量垂直 . 14.（原创，容易） 已知实数 ,xy满足 102 4 00xyxyx ，则 2z x y 的最小值为 【答案】 5 【解析】 由题意可得可行域为如图所示（含边界），112 22z x y y x z ，则在点 (1,2)A 处取得最小值 5 【考点】基本型的 线性规划 15.（原创，中档） 已知在数列 na 的前 n 项之和为 nS ， 若 1112 , 2 1nnna a a ，则10S - 6 - 【答案】 1078 【解析】 111 1 12 , 2 1 2 1nnn n n na a
13、 a a a 1 1 2 3 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n na a a a a a a a a a 23 12 2 2 1 1nnna n a . 1 112 1 2 212n nnn . 2910 1 0 1 11 2 2 2 1 0 7 82S . 【考点】等差 等比数列及均值不等式 16.（原创，难） 四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧面 SAD 是以 SD为斜边的等腰直角三角形，若 2 2 4SC，则四棱锥 S ABCD 的体积 取值范围 为 【答案】 4 3 8 , 33 【解析】如图所示， 四棱锥 S ABCD 中，
14、可得：;A D S A A D A B A D 平面 SB 平面 SAB 平面ABCD ，过 S 作 SO AB 于 O ，则 SO 平面 ABCD ，故1433S A B C D A B C DV S S O S O ，在 SAB 中， 2SA AB， 设 SAB ，则有，2 3 2 cosSC ,又 2 2 4SC 1 1 2c o s , 2 2 3 3 ，则2 sin 3 , 2 SO ，四棱锥 S ABCD 的体积 取值范围为 4 3 8 , 33 【考点】线面垂直、面面垂直、解三角不等式及体积范围 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
15、步骤 . 17.（本题满分 12 分） （原创，容易） 已知单调的等比数列 na 的 前 n 项的和为 nS ，若 3 39S ，且 43a 是 65,aa 的等差中项 . ( )求数列 na 的通项公式； - 7 - ( )若数列 nb 满足 3 2 1lognnba ，且 nb 前 n 项的和为 nT ，求1 2 31 1 1 1nT T T T . 【答案】 ( ) 3nna ； ( )43 （ 18） 解： ( ) 24 6 56 6 0 3a a a q q q 或 2q （舍）； 3 分 3131(1 ) 3 9 31aqSaq 5 分 3nna 6 分 ( ) 213lo g 3
16、 2 1nnbn ； 7 分 3 5 2 1 ( 2 )nT n n n 8 分 1 1 1 1 1()( 2 ) 2 2nT n n n n 10 分 1 2 31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 2nT T T T n n 1 2 31 1 1 1 1 3 1 1()2 2 1 2nT T T T n n 12 分 【考点】等比数列基本量运算、数列求和 18（本题满分 12 分） （原创，中 档）设函数 3( ) 2 s in ( ) c o s32f x x x ( ) 求 ()fx的单调增区
17、间； ( ) 已知 ABC 的内角分别为 ,ABC ，若 3()22Af ，且 ABC 能够盖住的最大圆面积为 ，求 ABAC 的最小值 . 【答案】 ( ) 5 , ,1 2 1 2k k k Z ； ( )6 （ 18） 解： ( ) 3 1 3( ) 2 s in ( ) c o s s in 2 c o s 23 2 2 2f x x x x x 3 分 - 8 - sin(2 )3x 4 分 52 2 2 ,2 3 2 1 2 1 2k x k k x k k Z 5 分 ()fx的单调增区间为 5 , ,1 2 1 2k k k Z 6 分 ( ) 由余 弦定理可知： 2 2 2a
18、 b c bc 7 分 由题意可知： ABC 的内切圆半径为 18 分 ABC 的内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，则 23b c a 9 分 2 2 2( 2 3 )b c b c b c 10 分 4 3 3 4 ( ) 8 1 2b c b c b c b c 或 43bc （舍） 11 分 1 6 , )2A B A C bc ， 当且仅当 bc 时， ABAC 的最小值为 6 .12 分 令也可以这样转化： 31 2r a b c b c 9 分 代入 2 2 23()2b c b c b c b c ； 10 分 4 3 3 4 ( ) 8 1 2b c b c b c b
19、c 或 43bc （舍）； 11 分 1 6 , )2A B A C bc ， 当且仅当 bc 时， ABAC 的最小值为 6 .12 分 【考点】三角函数式化简、正余弦型函数性质、解三角形及均值不等式求最值 . 19 （本题满分 12 分） （原创，中档） 如图， 三棱台 1 1 1ABC ABC 中， 侧面 11ABBA 与侧面 11ACCA 是全等的梯形 ，若 1 1 1 1,A A A B A A A C,且 1 1 124AB A B A A. （ ） 若 12CD DA ， 2AE EB ，证明： DE 平面 11BCCB ； （ ） 若二面角 11C AA B为 3 ，求平面 1
20、1ABBA 与平面 11CBBC所成的锐二面角的余弦值 . - 9 - 19.（ ）证明：连接 11,AC BC ，梯形 11ACCA ， 112AC AC , 易知： 1 1 1,2A C A C D A D D C 2 分； 又 2AE EB ，则 DE 1BC 4 分； 1BC 平面 11BCCB ， DE 平面 11BCCB ， 可得： DE 平面 11BCCB 6 分； （ ） 侧面 11ACCA 是梯形 ， 1 1 1AA AC ， 1AA AC, 1AA AB , 则 BAC 为二面角 11C AA B的平面角， BAC3 7 分； 1 1 1,ABC A B C 均为正三角形，
21、在平面 ABC 内，过点 A 作 AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设 1 1AA ，则 1 1 1 1 2,A B AC 4AC AC,故点 1(0,0,1)A ， (0,4,0),C 1( 2 3 , 2 , 0 ), ( 3 ,1,1)BB 9 分； 设平面 11ABBA 的法向量为 1 1 1( , , )m x y z ，则有：111 1 1 10 3 0 ( 1 , 3 , 0 )0 3 0m A B x y mm A B x y z 10 分； 设平面 11CBBC 的法向量为 2 2 2( , , )n x y z ，则有：221 2 2 20 3 0 ( 1 , 3
22、, 2 3 )0 3 3 0m C B x y nm C B x y z 11 分； 1c o s , 4mnmn mn ， 故平面 11ABBA 与平面 11CBBC 所成的锐二面角的余弦值为 14 12 分； 【考点】线面平行证明及二面角计算 . 20. （本题满分 12 分） 设函数 2( ) 2 ( 2 ) 2 3xf x x e a x a x b - 10 - （原创，中档） （ ） 若 ()fx在 0x 处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为2 4 0xy ，求实数 ,ab的值； （原创，难） （ ） 若 1x 是 ()fx的极小值点，求实数 a 的取值范围 . （ ）
23、解： ( ) 2 ( 1 ) 2 2xf x x e a x a ； 2 分； 由题意可知： (0) 2f ； 3 分； (0 ) 2 2 2 2f a a ； 4 分； 易得切点坐标为 (0, 2) ，则有 (0 ) 2 1fb ； 5 分； （ ） 由 （ ） 可得： ( ) 2 ( 1 ) 2 2 2 ( 1 ) ( )xxf x x e a x a x e a ； 6 分； （ 1）当 0a 时， 0 ( ) 0 1xe a f x x ， ( ,1) ( ) 0x f x ；(1, ) ( ) 0x f x ； 1x 是 ()fx的极小值点， 0a 适合题意； 7 分； （ 2）当
24、0 ae时， 1( ) 0 1f x x 或 2 lnxa ，且 ln 1a ； ( , ln ) ( ) 0x a f x ； ln ,1) ( ) 0x a f x ； (1, ) ( ) 0x f x ； 1x 是 ()fx的极小值点， 0 ae适合题意； 9 分； （ 2）当 ae 时， 1( ) 0 1f x x 或 2 lnxa ，且 ln 1a ； ( ,1) ( ) 0x f x ； (1, ln ) ( ) 0x a f x ； ( ln , ) ( ) 0x a f x ； 1x 是 ()fx的极大值点， ae 不适合题意； 11 分 综上，实数 a 的取值范围为 ae ； 12 分； 【考点】函数 切线及函数极值 . 21. （本题满分 12 分 ） 已知函数 ( ) ( l n 1 ) 1f x x x a x a x （原创，中档） （）若 ()fx在 1, ) 上是减函数，求实数 a 的取值范围 . （原创，难） （）若 ()fx的最大值为 2 ，求实数 a 的值 . （） ( ) ln 2 2 0f x x a x a 在 1, ) 恒成立 1 分；
