1、 - 1 - 重庆南开中学高 2018 级高一（上）期末考试 数 学 试 题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题 （本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项符合要求） 1、已知集合 2 4 , l o g 02xA x B x x ，则 AB （ ） A、 1,2 B、 1,2 C、 0,1 D、 0,1 2、 “6”是 “ 1sin2”的（ ）条件 A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要 3、已知一个扇形的周长为 10c
2、m，圆心角为 2 弧度，则这个扇形的面积为（ ） cm2 A、 25 B、 5 C、 254D、 2524、已知函数 1254xf x x ，则 fx的零点所在的区间为（ ） A、 0,1 B、 1,2 C、 2,3 D、 3,4 5、函数 2lg 6f x x x 的单调递减区间为（ ） A、 1,2B、 1,2C、 12,2D、 1,326、将函数 y sinx 的图像上的点的横坐标扩大为原来的 2 倍，纵坐标不变得到图像 C1，再将图像 C1 向右平移3个单 位得到的图像 C2，则图像 C2 所对应的函数的解析式为（ ） A、 1sin23yxB、 1sin26yxC、 sin 23yx
3、D、 2sin 23yx7、若 ln11 l n, 1 , l n , ,2x xx e a x b c e ，则 ,abc的大小关系为（ ） A、 c b a B、 b c a C、 abc D、 b a c - 2 - 8、已知 0, 且 3cos45 ，则 cos 的值为（ ） A、 210B、 210C、 7210D、 72109、已知定义在 R 上的奇函数 f（ x） 满足 f（ x+4） f（ x） 恒成立，且 f（ 1） 1， 则 f（ 2016） +f（ 2017） +f（ 2018） 的值为（ ） A、 0 B、 1 C、 2 D、 3 10、化简 tan20 +4sin20
4、 的结果为（ ） A、 1 B、 12C、 33D、 3 11、如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点 B ， C 在圆 O 上，点 B 的坐标为 1,2 ，点 C位于第一象限， AOC 。若 5BC ，则 2 3s in c o s 3 c o s2 2 2 2 的值为（ ） A、 255B、 55C、 55 D、 25512、已知函数 21 , 0log , 02xxfxxx ，若方程 f（ x） a 有四个不同的解 1x 、 2x 、 3x 、 4x ， 且 1 2 3 4x x x x ，则 13 1 2 234x x x xx的取值范围为（ ） A、 1, B、 1,1 C
5、、 ,1 D、 1,1 - 3 - 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题： （本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程） 13、已知幂函数 22133 mmy m m x 在 （ 0， + ） 单调递减，则实数 m的值为 。 14、计算： lg 2lo g 2 2 lo g 3 1 066 。 15、已知 0,2 且 1cos23，则 tan 的值为 。 16、已知函数 l o g 1 1 , 122 2 1 ,x x kfxx x k x a ，若存在实数 k 使函数 f（ x） 的值域为 0,2， 则实数 a 的
6、取值范围为 。 三、解答题： （本大题共 6 个小题，共 70 分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17、（ 10 分）已知 3ta n 2 , ta n2 。 （ 1）求 tan 的值； （ 2）求 s in s in2c o s 2 s in 的值。 - 4 - 18、（ 12 分）已知定义在 R的函数 1 1xxf x a aa 。 （ 1）判断 f（ x） 的奇偶性和单调性，并说明理由； （ 2）解关于 x 的不等式： f（ x-1） f（ 2x+1） 。 19、（ 12 分）已知函数 22sin 2 3 sin c os c osf x x x
7、 x x R 的图 像关于直线3x 对称，其中 ， 为常数且 0,2 。 （ 1）求函数 f（ x） 的最小正周期； （ 2）若 y f（ x） 的图像过点 ,06，求函数 f（ x） 在 0,2x 上的值域。 - 5 - 20、（ 12 分）已知函数 f（ x） 为二次函数，若不等式 f（ x） 0 的解集为 （ -2， 1） 且 f（ 0） -2。 （ 1）求 fx的解析式； （ 2）若不等式 c o s 2 s in s in4fm 对 R 恒成立，求实数 m的取值范围。 21、（ 12 分）已知函数 2 1log 1 axfx x 是奇函数。 （ 1）求实数 a 的值； （ 2）设函数
8、 lo g 2g x f x m x ，是否存在非零实数 m使得函数 g（ x） 恰好有两个零点？若存在，求出 m的取值范围；若不 存在，说明理由。 - 6 - 22、（ 12 分）已知函数 fx的定义域 0,D ，若 fx满足对任意的一个三边长为 ,abc D的三角形，都有 ,f a f b f c也可以成为一个三角形的三边长，则称 fx为 “保三角形函数 ”。 （ 1）判断 sin , 0,g x x x 是否为 “保三角形函数 ”，并说明理由； （ 2）证明：函数 ln , 2,h x x x 是 “保三角形函数 ”； （ 3）若 sin , 0,f x x x 是 “保三角形函数 ”，
9、求实数 的最大值。 - 7 - 重庆南开中学高 2018 级高一（上）期末 数学试卷答案 1 解：由 A 中不等式变形得： 2x4=22，得到 x2，即 A=（ ， 2， 由 B中不等式变形 得： log2x 0=log21，得到 x 1，即 B=（ 1， +）， 则 AB=（ 1， 2， 故选： B 2 【分析】 “ 6 ” “ 1sin 2 ”，反之不成立，例如 56 即可判断出结论 解： “ 6 ” “ 1sin 2 ”，反之不成立，例如 56 因此 “ 6 ”是 “ 1sin 2 ”的充分不必要条件 故选： A 3 【分析】 设扇形的半径为 r，弧长为 l，可得 l 和 r 的方程组，
10、解方程组代入扇形的面积公式可得 解：设扇形的半径为 r，弧长为 l， 2 102lrlr ，解得 l=5， r=52 ， 扇形 的面积 S= lr= 故选： C 4 解：函数 1( ) 2 54xf x x ，是单调增函数，并且 f（ 2） =4+12 -5 0， f（ 3） = 38 5 04 ， 函数 1( ) 2 54xf x x ，则 f（ x）的零点所在的区间为（ 2， 3） 故选： C 5 【分析】 令 t= x2+x+6 0，求得函数的定义域，根据 f（ x） =g（ t） =lgt，本题即求函数 t 在定义域内的减区间 ，再利用二次函数的性质得出结论 解：令 t= x2+x+6
11、 0，求得 2 x 3，可得函数的定义域为 x| 2 x 3， f（ x） =g（ t） =lgt，本题即求函数 t 在定义域内的减区间 再利用二次函数的性质可得函数 t 在定义域内的减区间为（ 12 ， 3）， 故选： D - 8 - 6 解：将函数 y=sinx 的图象上的点的横坐标扩大为原来的 2 倍，得到 y=sin12 x， 然后向右平移3个单位得到的图象 C2，即 y=sin12 （ x ） =sin（ 12 x ）， 故选： B 7【分析】依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得 a 0， b 1， 1e c 1，从而可得【解答】解： x （ e 1， 1）， a=lnx a （
12、 1， 0），即 a 0； 又 y= 1()2x为减函数， b= ln1()2 x ln11()2 = 01()2=1，即 b 1； 又 c=elnx=x （ e 1， 1）， b c a 故选 B 8 【分析】根据同角的三角形关系求出 sin（ +4 ） =45 ，再根据 cos=cos（ +4 4 ），利用两角差的余弦公式计算即可 解： （ 0， ）， +4 （ 4 ， 54 ）， 3cos( )45 ， sin（ +4 ） =45 ， cos=cos（ +4 4 ） =cos（ +4 ） cos4 +sin（ +4 ） sin4 = 3 2 4 2 7 25 2 5 2 1 0 ， 故选
13、： C 9 解： f（ x+4） =f（ x）， 函数 f（ x）是周期为 4 的周期函数， 则 f（ 2016） =f（ 5044） =f（ 0）， f（ 2017） =f（ 5044+1） =f（ 1） =1， f（ 2018） =f（ 5044+2） =f（ 2）， f（ x）是奇函数， f（ 0） =0， 当 x=-2 时， f（ -2+4） =f（ -2）， - 9 - 即 f（ 2） =-f（ 2），则 f（ 2） =0， 即 f（ 2016） +f（ 2017） +f（ 2018） =f（ 0） +f（ 1） +f（ 2） =0+1+0=1， 故选： B 10 解： tan20+
14、4sin20= = = = = = 3 ， 故选： D 11 解： 点 B的坐标为（ 1， 2）， |OB|=|OC|= 5 ， |BC|= 5 ， OBC 是等边三角形， 则 AOB=+3 则 sin（ +3 ） = 2 2 555 ， cos（ +3 ） = 1555 ， 则 sin2 cos2 + 3 cos2 2 32 =12 sin+ 32 cos=sin（ +3 ） =255 ， 故选： D 12 【分析】 作出函数 f（ x），得到 x1， x2关于 x= 1 对称， x3x4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可 解：作函数 f（ x）的图象如右， 方程 f（ x） =a 有
15、四个不同的解 x1， x2， x3， x4，且 x1 x2 x3 x4， x1， x2 关于 x= 1 对称，即 x1+x2= 2， 0 x3 1 x4， 则 |log2x3|=|log2x4|， 即 log2x3=log2x4， 则 log2x3+log2x4=0 即 log2x3x4=0 - 10 - 则 x3x4=1； 当 |log2x|=1 得 x=2 或 12 ， 则 1 x42； 12 x3 1； 故3 1 2 2341()x x x xx= 2x3+31x ， 12 x3 1； 则函数 y= 2x3+31x ，在31x x3 1 上为减函数， 则故 x3=12 取得最大值，为 y=1， 当 x3=1 时，函数值为 1 即函数取值范围是（ 1， 1 故选： B 13 解：幂函数 在（ 0， +）单调递减， m2 3m+3=1， 即 m2 3m+2=0， 解得 m=1 或 m=2； 当 m=1 时， m2 m 1= 2 0，满足题意； 当 m=2 时， m2 m 1=1 0，不满足题意，舍去； 实数 m的值为 1 故答案为： 1 14 解： lg 266lo g 2 2 lo g 3 1 0=log66+2=3 故答案为： 3 15 【解答】解： （ 0， 2）， 2 （ 0， ）， 又 1cos23 ， 2sin 1 cos22 = 223 ，
