1、第 1 页 共 13 页 江苏省苏锡常镇四市 2017-2018 学年度高三教学情况调研（二） 数学试题 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在 答题卡 相应位置上 1 若复数 z 满足 (1+i)z=2(i 是虚数单位 ) ，则 z 的虚部为 2 设集合 24A ， ， 2 2(Ba ， 其中 0)a ，若 AB ，则实数 a 3 在平面直角坐标系 xOy 中，点 ( 24)P， 到抛物线 2 8yx 的准线的距离为 4 一次考试后，从高三（ 1）班抽取 5 人进行成绩统计，其茎叶 图如右图所示，则这五人成绩的方差为 5 下图是一个
2、算法流程图，若输入值 02x， ，则输出值 S 的取值范围是 6 欧阳修在卖油翁中写到： “（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿 ”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径 4 厘米，中间有边长为 1 厘米的正方形 小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 7已知函数 ( ) s i n ( ) (0 2 )f x x x 在 2x 时取得最大值，则 7 8 8 2 4 4 9 2 S2xx2 S1 输出 S 结束 开始 输入 x x 1 Y N 第 2 页 共 13 页 8已知公差为 d 的等差数列 na 的前 n 项和为 nS
3、，若 105 4SS ，则 14ad 9在棱长为 2 的正四面体 P ABC 中， M ， N 分别为 PA ， BC 的中点，点 D 是线段 PN 上一点，且2PD DN ，则三棱锥 D MBC 的体积为 10设 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别是 abc， ， ，且满足 3co s co s 5a B b A c，则 tantan AB 11在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 22: ( 1) 2C x y ，点 (20)A， ，若圆 C 上存在点 M ，满足2210MA MO，则点 M 的纵坐标的取值范围是 12如图，扇形 AOB 的圆心角为 90，半径为 1，点 P 是
4、圆弧 AB 上的动点，作点 P 关于弦 AB 的对称点 Q ，则 OPOQ 的取值范围为 13 已知函数 1 ( | 3 | 1 ) 0() 2l n 0xxfx ， ， ，若存在实数 abc ，满足 ( ) ( ) ( )f a f b f c，则( ) ( ) ( )a f a b f b c f c的最大值是 14已知 ab， 为正实数，且 2 34( )a b ab ，则 11ab 的最小值为 二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15如
5、图，在四棱锥 P ABCD 中， 90ADB， CB CD ，点 E 为棱 PB 的中点 （ 1）若 PB PD ，求证： PC BD ；（ 2）求证： CE /平面 PAD Q P O B A A B C D P E 第 3 页 共 13 页 16在 ABC 中，三个内角 A ， B ， C 的对边分别为 abc， ， ，设 ABC 的面积为 S ，且2 2 24 3 ( )S a c b . （ 1）求 B 的大小； （ 2）设向量 (sin 2 3 cos )AA ，m ， (3 2 cos )A，n ，求 mn的取值范围 17（本小题满分 14 分） 下图（ I）是一斜拉桥的航拍图，为
6、了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（ II）所示的数学模型索塔 AB ， CD 与桥面 AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为 60m，桥面 AC 上一点 P 到索塔 AB ， CD 距离之比为 21:4 ，且 P 对两塔顶的视角为 135 （ 1）求两索塔之间桥面 AC 的长度； （ 2）研究表明索塔对桥面上某处的 “承重强度 ”与多种 因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的 “承重强度 ”与索塔的高度成正比（比例系数为正数 a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）问两索塔对桥面何处的 “承重强度 ”之和最小？并求出最小值 P D C B A 第 4 页
7、 共 13 页 18如图，椭圆 22 1( 0 )xy abab 的离心率为 22，焦点到相应准线的距离为 1，点 A ， B ， C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点 C 的直线 l 交椭圆于点 D ，交 x 轴于点 1( 0)Mx， ，直线 AC 与直线 BD 交于点 22()N x y， （ 1）求椭圆的标准方程；（ 2）若 2CM MD ，求直线 l 的方程；（ 3）求证： 12xx 为定值 19已知函数 32( ) 1f x x a x b x a b ， ，R （ 1）若 2 0ab ， 当 0a 时，求函数 ()fx的极值（用 a 表示）； 若 ()fx有三个相异零点，问
8、是否存在实数 a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出 a 的值；若不存在，请说明理由； （ 2）函数 ()fx图象上点 A 处的切线 1l 与 ()fx的图象相交于另一点 B ，在点 B 处的切线为 2l ，直线 12ll，的斜率分别为 12kk， ，且 21=4kk， 求 ab， 满足的关系式 20已知等差数列 na 的首项为 1，公差为 d ，数列 nb 的前 n 项和为 nS ，且对任意的 *nN ，6 9 2n n nS b a 恒成立 （ 1）如果数列 nS 是等差数列，证明数列 nb 也是等差数列； （ 2）如果数列 12nb为等比数列，求 d 的值； （ 3）如果 3d ，
9、数列 nc 的首项为 1， 1 ( 2)n n nc b b n ，证明数列 na 中存在无穷多项可表示为数列 nc 中的两项之和 N D M C B A y x O 第 5 页 共 13 页 数学 （附加题） 21【选做题】在 A， B， C， D 四小题中 只能选做两题 ，每小题 10 分，共计 20 分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 41：几何证明选讲 如图所示， AB 为 O 的直径， AE 平分 BAC 交 O 于 E 点，过 E 作 O 的切线交 AC 于点 D ，求证 AC DE B选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 214 xM=的
10、一个特征值为 3，求 1M C选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 3 2 cos (2 2 si nxttyt ，为参数 ) 以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 2 c o s ( ) ( )4 aa R，已知圆心 C 到直线 l 的距离等于 2 ，求 a 的值 D选修 45：不等式选讲 已知实数 a b c， ， 满足 21a b c ， 2 2 2 1abc ，求证： 2 13 c 第 6 页 共 13 页 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在 答题卡指定区域 内
11、作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题， 已知甲做对该题的概率为 13 ，乙、丙做对该题的概率分别为 ()m n m n， ，且三位学生能否做对相互独立，设 X 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为： X 0 1 2 3 P 13 a b 136 （ 1）求 mn， 的值； （ 2）求 X 的数学期望 23 已知函数 21( ) ( 5 ) ( R )nf x x n x N ， （ 1）当 2n 时，若 (2 ) ( 2 ) 5f f A ，求实数 A 的值； （ 2）若 ( 2 ) ( 0 1 )f m m N ，求证： ( ) 1
12、m 第 7 页 共 13 页 2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 参考答案 一、填空题： 1 1 2 2 3 4 4 20.8 5 01， 6 14 7 2 8 2 9 29 10 4 11 7722，12 2 11， 13 22e 12 14 22 二、解答题 15 证明：（ 1）取 BD 的中点 O ，连结 CO PO， ， 因为 CD CB ，所以 CBD 为等腰三角形，所以 BD CO 因为 PB PD ，所以 PBD 为等腰三角形，所以 BD PO 又 PO CO O ，所以 BD 平面 PCO 因为 PC 平面 PCO ，所以 PC BD （ 2）由 E
13、为 PB 中点，连 EO ，则 EO PD ， 又 EO 平面 PAD ，所以 EO 平面 PAD 由 90ADB ，以及 BD CO ，所以 CO AD ， 又 CO 平面 PAD ，所以 CO 平面 PAD 又 =CO EO O ，所以平面 CEO 平面 PAD ， 而 CE 平面 CEO ，所以 CE 平面 PAD 16解（ 1）由题意，有 2 2 214 s i n 3 ( )2 a c B a c b ，则 2 2 2sin 3 2a c bB ac ，所以 sin 3 cosBB 因为 sin 0B ，所以 cos 0B ，所以 tan 3B 又 0 B，所以 3B （ 2）由向量
14、 (sin 2 3 cos )AA ，m ， (3 2 cos )A，n ，得 2 3 s i n 2 6 c o s 3 s i n 2 3 c o s 2 3 3 2 s i n ( 2 ) 34A A A A A m n = 由（ 1）知 3B ，所以 23AC ，所以 20 3A 第 8 页 共 13 页 所以 13 2 ( )4 4 12A ， 所以 2s in ( 2 ) 142A ， 所以 6 3 2 3 ，m n 即取值范围是 6 3 2 3， 17解（ 1）设 21AP t ， 4 ( 0)BP t t， ，记 =A P B C P D， ，则 6 0 2 0 6 0 1 5
15、t a n = t a n2 1 7 4t t t t ， 由22 0 1 5t a n t a n7t a n ( ) t a n 4 5 13001 t a n t a n 17ttt ， 化简得 27 12 5 30 0 0tt ，解得 20t 或 157t（舍去）， 所以， 2 5 2 0 5 0 0A C A P P C 答：两索塔之间的距离 AC=500 米 （ 2）设 AP=x，点 P 处的承重强度之和为 ()Lx . 则22( ) 6 0 ( 5 0 0 )a b a bLx xx ，且 (0,500)x ， 即2211( ) 6 0 , ( 0 , 5 0 0 )( 5 0
16、0 )L x a b xxx 记2211( ) , ( 0 , 5 0 0 )( 5 0 0 )l x xxx ，则3322( ) (5 0 0 )lx xx ， 令 ( ) 0lx ，解得 250x ， 当 (0,250)x ， ( ) 0lx ， ()lx单调递减； 当 (250,500)x ， ( ) 0lx ， ()lx单调递增； 所以 250x 时， ()lx取到最小值， ()Lx 也取到最小值 63125ab. 答：两索塔对桥面 AC 中点处的 “承重强度 ”之和最小，且最小值为 63125ab. 18. 解（ 1）由椭圆的离心率为 22 ，焦点到对应准线的距离为 1. 得 222
17、1caa cc ，解得 21ac ，所以，椭圆的标准方程为 2 2 12x y. （ 2）由（ 1）知 (0,1)C ，设 00( , )Dx y ， 第 9 页 共 13 页 因为 2CM MD ， 得 021y ，所以0 12y ， 代入椭圆方程得0 62x 或 62，所以 61( , )22D 或 61( , )22D ， 所以 l 的方程为： 6 12yx或 6 12yx . （ 3）设 D 坐标为 (x3， y3） ,由 (0,1)C ， M(x1， 0)可得直线 CM 的方程11 1yxx ， 联立椭圆方程得： 1221 112yxxx y ，解得13 214 2xx x , 21
18、3 2122xy x . 由 ( 2,0)B ，得直线 BD 的方程： 212112 ( 2 )2 4 2 2xyxxx ， 直线 AC 方程为 2 12yx， 联立 得2 12x x， 从而 12xx =2 为定值 . 解法 2：设 D 坐标为 (x3， y3）， 由 C,M,D 三点共线得 31 3 11 yx x x，所以 3131xx y ， 由 B,D,N 三点共线得 3 232=22y yxx，将 222 12yx 代入可得 332332 2 222xyx yx ， 和 相乘得， 23 3 3 3 3 3 312 23 3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2=1 2 2 2
19、2x x y x x y xxx y y x y x y x 23 3 3 3233 3 32 2 2 22 (1 ) 22x x y xx x y x . 19. 解：（ 1） 由 2( ) 3 2f x x ax b 及 02 ba ， 得 22( ) 3 2f x x ax a ， 令 ( ) 0fx ，解得 3ax 或 ax . 由 0a 知， ( , ) ( ) 0x a f x ， ， (xf 单调递增， ( , ) ( ) 03ax a f x ， ， )(xf 单调递减， ( , ) ( ) 03ax f x ， ， )(xf 单调递增， 第 10 页 共 13 页 因此， )
20、(xf 的极大值为 3( ) 1f a a ， )(xf 的极小值为 35( ) 13 27aaf . 当 0a 时， 0b ，此时 3( ) 1f x x不存在三个相异零点； 当 0a 时，与 同理可得 )(xf 的极小值为 3( ) 1f a a ， )(xf 的极大值为 35( ) 13 27aaf . 要使 )(xf 有三个不同零点，则必须有 335(1 )(1 ) 027aa ， 即 332715aa 或. 不妨设 )(xf 的三个零点为 321 , xxx ，且 321 xxx ， 则 1 2 3( ) ( ) ( ) 0f x f x f x ， 3 2 21 1 1 1( )
21、1 0f x x a x a x ， 3 2 22 2 2 2( ) 1 0f x x a x a x ， 3 2 23 3 3 3( ) 1 0f x x a x a x ， - 得 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x x x x a x x x x a x x ， 因为 210xx，所以 2 2 22 1 2 1 2 1( ) 0x x x x a x x a ， 同理 2 2 23 3 2 2 3 2( ) 0x x x x a x x a ， - 得 2 3 1 3 1 3 1 3 1( ) ( ) ( ) (
22、) 0x x x x x x x a x x ， 因为 310xx，所以 2 3 1 0x x x a ， 又 1 3 22x x x ，所以2 3ax . 所以 ( ) 03af ，即 22239 aaa ，即 3 27 111a ， 因此，存在这样实数3311a满足条件 . （ 2）设 A（ m， f(m)） ,B(n， f(n)，则 bammk 23 21 ， bannk 23 22 ， 又 bnmanmnmnm nmbnmanmnm nfmfk )()()()()()( 2222331， 由此可得 bnmanmnmbamm )(23 222 ，化简得 man 2 ， 因此， baammbmaamak 2222 812)2(2)2(3 ， 所以， 2 2 21 2 8 4 ( 3 2 )m a m b a m a m b ， 所以 ba 32 . 20. 解：（ 1）设数列 nS 的公差为 d ，由 6 9 2n n nS b a ， 1 1 16 9 2 ( 2 )n n nS b a n ， - 得 1 1 16 ( ) 9 ( ) ( )n n n n n nS S b b a a ， 即 16 9( )nnd b b d ，所以1 6 9nn ddbb 为常数，
