1、 高三数学总复习 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 竞竞 赛赛 复复 习习 科科 目目 ： 数数 学学 高高 中中 数数 学学 竞竞 赛赛 总总 复复 习习 （ 一一 ） 复习内容：高中数学第三章 -数列 编写时间： 2005-5 修订时间：总计第一次 2005-5 一、数列专题 （一）数列常见题型形式 . 一、以极限为载体，考查等比数列中q1 )q(1alim n1n 当 q 1时，等比数列极限不存在 . 当 q 1时，等比数列极限存在 . 若等比数列和的极限存在
2、，则一定有 q 1. 当数列 na 的极限存在是 Aann lim，则 Aann 1lim. 1. 设 na 为等差数列， nb 为等比数列，且 233222211 , ababab （ a1 a2），又 22)(lim21 nn bbb ，试求 na 的首项与公差 . 2. 数列 nx 由下列条件确定： Nnxaxxax nnn ,21,0 11 . 若数列 nx 的极限存在，且大于零，求nn xlim的值 . 二、以对数为载体，充分考虑比例分数的合比与分比定理 . 例： 等比数列 3lo g,3lo g,3lo g 842 aaa 的公比是 . 三 、求参数最值通常考虑判别式法 . 1.
3、各项为实数的等差数列的公差为 4，其首项的平方与其余各项之和不超过 100，这样的数列至多有 项 . 四、 若以集合形式出现，常常题目要隐藏其集合的包含与被包含关系 . 1. 若 nA 和 nB 分 别 表 示 数 列 na 和 nb 前 n 项 和 ， 对 任 意 正 整 数 n ， nABnannn 13124,2 32 . 设集合 NnbyyYNnaxxX nn ,4,2 .若等差数列 nC 的任一项 1,CYXCn 是 YX 中的最大数，且 265 10C 125 ，求 nC的通项 公式 . （二）求常见数列的方法 . 一、求数列的通项 . I. 形如 )(1 nfaa nn 的一阶递
4、归式，其通项求法为 1111111 )()(nknkkkn kfaaaaa. II. 形如 nn anfa )(1 的递归式，其通项求法为123121 nnn aaaaaaaa )2)(1()2()1(1 nnfffa . 注意： 形如 ranfa nn )(1 当数字特殊时可考虑转化为 )( 1 xanfxa nn 的形式，再叠乘可求出通项 . 形如 11 )()( nnn anganfa 常需要转化为 )( 11 nnnn aanqaa 或 ranPqanq nn )()1( 1 .例如： nnn anana )2()3( 12 有 nnnnnnn bnaanbaab )1()(1(, 1
5、111 有 121 !)1( bnbnnnbb nnn 有 11 11!nkn abka. 1. 数列 nanannaa nn 12,0 11 确定，求通项 na . 2. 在数列 na 中， 11a ，且12 336 241 nanna nn，求 na . III. 形如 )1(1 prpaa nn 的递归式，有方法一 rpaarpaa nnnn 11 , ，两式相减得 )( 11 nnnn aapaa ，故 nn aa 1 是首项为 12 aa ，且公比为 p 的等比数列，先求出 nn aa 1 ，再求出 na .有方法二转化等比： 1)(11 P rxxPxPaaxaPxa nnnn.有
6、方法三：迭代法 rrPaPrPaa nnn )( 21 = rrPaP nn Pr211 有公式 121 nn Pcca ， 21,cc 由 21,aa 确定 . 有方法四：特征根方法 . IV. 形如 )1)(1 pnqpaa nn 的递推式，有方法一两边同除以 1np ，得111 )( nnnnn p nqpapa，令nnn bpa ，则11 )( nnn p nqbb，仿 2求得 nb ，再求 na . 有方法二递推法 . 例如：当 )(ng 为一次函数时 bknPaa nn 1 与 bnkPaa nn )1(1 相减有 kaPa nn )1(1 仿 III. 可求出 na . 1. 已
7、知数列 na ， nb 中， qbpa 11 , 且 111, nnn nn rbqab paa)0,2( rpn （ 1）求 nb ； （ 2）求22lim nn nn bab. V. 形如 )0,0(1 nqnn appaa 或 .1snrnmn aPaa 的递推式，方法一两边取对数有 paqa nn lglglg 1 ，令 nn ab lg ，则 pqbb nn lg1 ，仿 4 求得 nb ，再求 na . 方法二有 qqqqqqgqqqqqqqqqqqnqnn nnnnnn apqapaaapppppappaa 111111111121 212212)( 1. 在数列 na 中， 1
8、01a ，且 nn aa 21 ，求 na 2. 数列 na 满足 nn aaa 10,10 11 ，求通项 na . VI. 高阶等差数列：形如任意两项之差成等差数列不如比等差数列为 na ，则我们可用构造新数列 nb 使 dnaabb nnn )1(11 ，最后1211 nn aaabb . 高阶等差数列：给定一个数列 na ，令 nnn aab 1 ，则称数列 nb 为 na 的一阶差数列，而 nb 的一阶差数列称为 na 的二阶差数列，递推地，可以定义 na 的 p 阶差数列 .如果数列 na 的 p 阶差数列是一非零常数列，则称数列 na 是 p 阶等差数列 .p =1 时，数列 n
9、a 就是我们通常所说的等差数列， 2p 时，数列 na 称为高阶等差数列 . 数列 na 是 p 阶等差数列的充要条件是：数列 na 的通项是关于 n 的 p 次多项式 . 例如：数列2、 4、 7、 11、 16 经观察发现 nn aa 1 成等差，故令 nnn aab 1 . nnbb n 11)1(1 进而有 1212112 )1(1 211 nnannnaanaa nnnn . 1. 求数列 na ： 1， 3， 8， 20， 43， 81， 的一个通项表达式 . VII. 不动点法：设数列 na 满足 ),0(,11 adbcabaa dcaaaa nnn . 若bax dcxxf
10、)(有两个不相等的不动点 , ，则数列 nnaa是等比数列，可用 nnn aab 111 nnn aab来求 . 若bax dcxxf )(有两个相等的不动点 ，则数列 na1是等差数列，公差 d可用 nn ab 1， 11 1nn ab来求 . 注：形如baa dcaa nnn 21亦可用不动点法 . 证明：令dxc bxax ，即 02 bxadcx ，令此方程的两个根为 x1， x2，若 x1=x2，则有 pxaxa nn 111 11 其中 k 可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。 注：如果有能力，可 以将 p的表达式记住， p=dac2. 若 x1x2则有21211
11、1 xa xaqxa xannnn 其中 k 可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。 注：如果有能力，可以将 q的表达式记住， q=21cxa cxa . 1. 设满足 24,11 nnn aaa求通项 na . 2. 数列 na 满足 052,2 111 nnnn aaaaa 求 na . VIII. 裂项法：常见的有 )111(2 nnknn k等 . 1. 数列 na 满足 11a ，且 )(3 )( 221 Nnnna anna n nn，求 na . IX. 取倒法：常用于对复杂分式转化为 rapa nn 11或211 nnn ara pa 等等常见数列形式 . 1.
12、 在数列 nx 中， 2,3 21 xx ， )3(2 12 12 nxx xxx nn nnn，求 nx . X. 换元法：数列中的通常把将数列通过换元构造位熟悉的等差、等比、或线性递推数列 . 最重要的是三角换元法的应用 . 1. 已知数列 na 的前 n 项和 nS 与 na 之间满足 )2(22 2 naSaS nnnn ，且 21a ，求 na . 2. 已知数列 na 中，1120 12,35 nnn aaaa ，求通项 na . 3. 数列 na 满足 ,121 aa 且 )3(2221 naaa nnn求通项 na . 4. 设正数列 naaa ., 10 满足 110 aa
13、，且 )2(2 1212 naaaaa nnnnn ，求 a . 5. 已知数列 na 满足 211 ,1 naaa nn ，求 na . 二、求数 列的和 . I. 求导法：导数方法用于数列常是以求和形式出现，经常要与二项式定理联系（能够用错位相消法求和的数列问题，都可以用求导方法去做） . 1. 已知 )1,0(1 xxnxa nn ，求数列 na 的前 n 项和 nS . 2. 已知 nn na 2 ，求数列 na 的前 n 项和 nS . 3. 求和 12222 321 nn xnxxS . II. 形如 rPaa nnn )1(1 时，则求和变为 rrrrPaPaPaaS nn 21
14、1 当 n 为偶， -r 与 +r 恰好抵消完；当 n 为奇数时，剩一个 -r ，故 )( 21 nn aaaPS 或 raaaP n )( 21 . 1. 已知 na 是由非负整数组成的数列，满足 ,5,4,3),2)(2(,3,0 21121 naaaaaa nnnn 求 3a ； 证明 ;,5,4,3,22 naa nn 求 na 的通项公式及其前 n 项和 nS . 三 、 周期 数列 . 1. 设数列 na nnn aaaa 1 1,32 21 定义求 cos2a . 2. 设数列 , 21 naaa 满足 2,1 321 aaa ，且对任意自然数 ,n 都有 ,121 nnn aa
15、a 又 321321 nnnnnnnn aaaaaaaa ，则10021 aaa 的值是 . 【 2005 高中数学联赛预测】 1. 各项为实数的等差数列的公差为 4，其首项的平方与其余各项之和不超过 100，这样的数列至多有 项 . 2. 设数列 na 满足 ,3,2,1,121 nnaaa nnn . （ 1）当 21a 时，求 432 , aaa ，并由此猜想出 na 的一个通项公式； （ 2）当 31a 时，证明对所有的 1n ，有 2nan ； 211 11 11 1 21 naaa 3. 数列 na 满足： Nnaaaa nnn ,1,1 11，求 10a 的整数部分 . 4. 3
16、 个数列 nnn cba , 存在下列关系： ),3,2,1(3,21,1 11111 nnpbbcaabba nnnnnnn，这里 p 为正常数 . （ 1）求 na ； （ 2）证明：若 0nc ，必有 1nc 0； （ 3）若数列 nb 的最小项为 ,4b 求 p 的取值范围 . 5. 两个数列 na ， nb 满足 ,1,2 11 ba nnn nnn bab baa 53 ,73511 ),3,2,1( n试求通项 na 和 nb 6. 数列 na ， nb 满足 ),3,2,1(212,2 111,0 1111 nbabbaaba nnnnnn，证明下列命题： （ 1） 2a 2b
17、 1b ； （ 2）对任何正整数 n ，有 nb 1na ； （ 3）对任意整数 2n ，有 nb 1b . 7. （不等式夹击法找数列范围）设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不小于 3，且各项和为 297 ，则这样的数列共有（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 雷氏笔录数学组 编写 2005 年 5 月 18 日 高三数学总复习 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 竞竞 赛赛 复复 习习 科科 目目 ： 数数 学学 高高 中中 数数
18、学学 竞竞 赛赛 总总 复复 习习 （ 二二 ） 复习内容：高中数学第 七、八 章 -解析几何 编写时间： 2005-5 修订时间：总计第一次 2005-5 二 、 解析几何 专题 一、 关于定值的证明 . 平面解析几何有方法一：先取特殊位置，求出这个定值，再证明一般情况下也等于这个定值 . 有方法二：直接证明法 . 1. 已知圆 16)4()3( 22 yx ，直线 0:1 kykxl .若 QP, 连线的中点为 M， 1l 与 042:2 yxl 的交点为 N， 求证 ANAM 为定值 . xO 1yL2AQP2. 如图， M 是圆 C： 08622 yxyx 上的动点， O 是坐标原点，
19、 N 是射线 OM 上的点， 150 ONOM ，求 N 点的轨迹方程 . xM NCy二、共线问题经常转化为斜率相等这一重要条件，当然也可以用构造法 大胆设参构造 . 1. 已知抛物线 pxy 22 及定点 )2,0)(0,(),( 2 pababaBbaA .M 是抛物线上的点，设直线 AM、 BM 与抛物线的另一个交点为 M1、 M2. 求证：当 M 点在抛物线上变动时（只要 M 1、 M2 存在且 21 MM ）直线 M 1、 M 2 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标 . 三、看到有长 度大小关系的直线方程时，又有动点 ),( yx 与定点 ),( 00 yx 要考虑直线的参数方程
20、. 1. 过不在椭圆上任意一点 P 作两条直线 1l 和 2l ，分别交椭圆于 A、 B、 C、 D 四点，若 1l 、 2l 的倾斜角为 , 且 .求证： A、 B、 C、 D 四点共圆 . xyABCDP四、曲线系方程 . 1. 已知 MN 是圆 O 的一条弦， R 是弦 MN的中点，过 R 任作两条相交弦 AB 和 CD.过 A， B， C， D 四点的二次曲线 T 交 MN于 P， Q 两点 . 求证： R是 PQ 的中点 . A CBDORM NP Qyx五、涉及整数点问题的最值问题用余数法 . 1. 直角坐标平面内横坐标与纵坐标都为整数的点称为格点，则平面内格点到直线3243 xy
21、的距离的最小值为 . 六、移坐标法，我们可把坐标轴平移，可使某个点成为新原点，这样可以减少运算 . 1. 已知椭圆 C： 14 )2(9 )1( 22 yx上存在关于直线 mxyl 2: 对称的两点，试求 m 的取值范围 . 【 2005 高中数学联赛预测】 1. 21,FF 是椭圆 14 22 yx 的两个焦点， P 是椭圆上任意一点，则 21 PFPF 的最小值是 . 2. 设双曲线 1xy 的两支为 21,cc 如图，正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上 . （ 1）求证： P、 Q、 R 不能都在双曲线的同一支上； （ 2）设 P（ -1， - 1）在 2c 上， Q、 R 在 1
22、c ，求顶点 Q、 R 的坐标 . 3. 已知椭圆 ： x2a2y2b2 1(a b 0)， 动圆 ： x2 y2 R2，其中 b R a. 若 A 是椭 圆 上 的动点， B 是 动圆 上 的动点 ，且使直 线 AB 与椭圆 和动 圆 均相 切，求 A、 B 两点 的距 离 |AB|的 最大值 . （ 2004 年四川初赛试题 ） 解：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 :y kx m 因为 A 既在椭圆上，又在直线 AB 上，从而有 y1 kx1 m (1)x12a2 y12b2 1 (2)将 (1)代入 (2)得： (a2k2 b2)x2 2kma2x a
23、2(m2 b2) 0 由于直线与椭圆相切，故 (2kma2)2 4(a2k2 b2)a2(m2 b2) 0 从而可得： m2 b2 a2k2， x1 ka2m (3) 同理，由 B 既在圆上又在直线 AB 上， 可得： m2 R(1 k2)， x2 kR2m (4) 由 (3)(4)得： k2 R2 b2a2 R2， x2 x1k(a2 R2)m |AB|2 (x2 x1)2 (y2 y1)2 (1 k2)(x2 x1)2 m2R2k(a2 R2)m (a2 R2)R2 R2 b2a2 R2 (a2 R2)(R2 b2)R2 a2 b2 R2 a2b2R2 (a b)2 (R abR )2(a
24、 b)2. 即 |AB|a b，当且仅当 R ab时取等号 . 所以， A、 B 两点的距离 |AB|的最 大值为 a b. 雷氏笔录数学组 编写 2005年 5 月 18 日 高三数学总复习 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 竞竞 赛赛 复复 习习 科科 目目 ： 数数 学学 高高 中中 数数 学学 竞竞 赛赛 总总 复复 习习 （ 三三 ） 复习内容：高中数学第 三、七、八 章 编写时间： 2005-5 修订时间：总计第一次 2005-5 三 、数列 、解析几何
25、热点 专题 数列 一、奇偶数列 . 若 nb 为奇数项的数列，若 nb 为偶数项的数列，则有 2)1(2 nnnnnn bbbba . 二、特征方程 . 形如 nnn qapaa 12 （ p、 q 为二阶常数） 方法一 用特 征 根方法求解 . 具体步骤： 写出特征方程 qPxx 2 （ 2x 对应 2na ， x 对应 1na ），并设二根 21,xx 若 21 xx 可设 nnn xcxca 2211. ，若 21xx 可设nn xncca 121 )( ； 由初始值 21,aa 确定 21,cc . 有方法二 )( 112 nnnn xaapxaa ，pqx 1. 有方法三迭代法， 迭
26、代法是解决一切数列问题的通法 . 三、求和 . 主要方法：倒序相加、错位相减、数学归纳法 . 等差数列的前 n 项和为 nS ，在 d 0 时，有最大值 . 如何确定使 nS 取最大值时的 n 值，有两种方法： 一是求使 1,0 nn aa 0，成立的 n 值；二是由 ndandSn )2(2 12 利用 二次函数的性质求 n 的值 . 如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前 n 项和可依照等比数列前 n 项和的推倒导方法：错位相减求和 . 例如：,.21)12,.(413,211 nn 1+2+3 +n = 21nn 6 121321 2222 nnnn 22
27、1321 3333 nnn四、等差、等比数列 . 若 na ， nb 均是等差数列，则 nn dbca 也是等差数列 ),( Rdc . 两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差 21 dd， 的最小公倍 数 . 解析几何 一、几种常见的圆锥曲线问题 . 题型示例一 若椭圆 12222 byax 的左右焦点分别是 , 21FF 过 1F 且倾斜角为 的直线交椭圆为 BA, 两点，若 | 11 BFAF 则椭圆的离心率为 e = . 解：eBFBFeBFAFBFAFeBFAF eBFeAFBFAFBBAAABAC 111)1()
28、1(11cos11111111111111 cos1)11( e. 注 ：本题变为求直线 AB的方程，解法如上，将 cos 转为求 tan ,则 ABK 可确定，又过 1F ，故直线 AB方程可确定 .如果采用定比分点，则运算量大，但是若 A、 B不在椭圆上或者有一个点不在椭圆上，则只有用定比分点了 . 题型示例二 已知抛物线 Pxy 22 ，当一条过焦点的直线与抛物线交于 A,B 两点 ,求 2121 , yyxx 的值 . 解 （一） ：当 k 存在时， )2( pxky 代入 Pxy 22 则 04)2( 22222 PkxPPkxk ， ,421 pxx 22142122221 4 p
29、yypxxpyy ，当 k 不存在时， ),2(),2( ppBppA ，成立 . 故 221221 ,4 Pyypxx 成立 . 解（二）： 4ptt4px,xyyp414p2pt2pt41ttKK 2222122121221221BFAF 题型示例三 如图，一条过焦点 F 的 直线与抛物线交于 A， B. A,M,O 三点共线， MN是抛物线的准线 . 求证： MB x 轴 . 证： AM 为过 O 点 直线 ， kAO= kOM，所以22211 42 yxpyxy . 综上 ：221221 4pyypxx 44222211 ppxyxy， 22 2pxy . .2 422222211 y
30、ypxxpyxy 故 MB为平行 x 轴直线 . 变题：若 证 AOM 共线 呢？提示：要 证 AOM 共线 ， 即证 kAO= kOM，下面就如上法炮制了 . 题型示例 四 如下图，抛物线 Pxy 22 的焦点为 F， CD 为准线， P 为 AB 的中点 . 求证： AMB 共圆， CFD 为直角 . 证（ 1）：因为 Pxy 22 ，故 AF = AC ,DF = DB. 又因为 PM 为梯形 CABD 的中位线，故 PM = ABBDAC 21)(21 ,故 MP=AP=BP,所以 AMB 共圆， yFABMNOxyFABMCO xDP123456yxOA 1B 1 BC AF 1且
31、P 为三角形 AMB 外心 . 证（ 2）： 90651 8 0652435614321 ， . 注： 题型示例四 拓展 1：根据上述证明，可以推导以双曲线焦点弦，为直径为圆与准线是相交关系；以椭圆焦点弦为直径的圆与准线是相离关系 . 拓展 2： ABM 中 M 最大角为 90，这时是 M 的临界条件，这条准线上其它的点与 A、 B构成的三角形是锐角 ，故若要使 ABM 为钝角，只需A 或 B 为锐角 .过 A 作垂直于 AB的直线交 L于 E，则在 E上方（不包括 E）的点与 A、 B构成三角形为钝角，但是由于 AB这条直线与准线要相交（这里要检验，是否在所求范围内），同理过 B作垂直于 A
32、B的直线交 L于 F，则在 F 下方（不包括 F）与 A、 B构成的三角形都是钝角 . 题型示例 五 如下图，抛物线 Pxy 22 ，一直线交抛物线于 A， B，且 AO BO. 求证：直线 AB 过一定点 . 证： 设 )()( 2211 yxByxA ,令 lOA： y=kx 令 lOB： y= xk1，故 )2,2(2 22 kPk PAPxy kxy )2,2(2122PkPkBkxyxky ，故 lAB可求得恒过 (2P,0). 题型示例 六 已知抛物线 Pxy 22 ，焦点为 F，一直线交抛物线于 A， B，求证：PBFAF 2| 1| 1 . 证： 2,221 pxBFpxAF
33、， | 1| 1 BFAF ppxxp pxxxxpxxppxx 2)(24)(2 12212122121 . 二、区域问题：当求整点个数常用数列逼近法 . 1. 直角坐标平面上，求满足不等式组100313yxxyxy的整点的个数 . 2. 一张纸上画有半径为 R 的圆 O 及圆 O 内一定点 A，且 OA=a，折叠纸片，使圆周上，某一点 A 刚好与 A 点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕 . 当 A 取遍圆周上所有点时 ，求所有折痕所在直线上点的集合 .（ 2003 全国高中联赛） 三、圆的幂与根轴 . 过定点 A 任作直线交定圆于 B、 C两点，则 ACAB 为定值，该定值称为定
34、点 A 对定圆的幂 1. 向以原是为圆心，半径为 1 的圆 A 和另一圆 B 所引切线长相等的点在直线 0632 yx 上，求圆心 B 的轨迹方程 . 四、与数论结合 .若 g 是质数， P 是正整数，若 1 3 0)13)(10(1310 gppgpg 构造出了 10g+13p 巧妙的解出 p=11， g=143 或 p=23 时 g=23. 1. 一次函数 baxxf )( 的图象经过点（ 10， 13），它与 x轴的交点为（ p， 0），与 y 轴的交点为（ 0， q），其中 P 是质数， q 是正整数，则满足条件的所有一次函数为 . 【 2005 高中数学联赛预测】 1. (数形结合 )已知两点 A(- 2, 0),B(0 ,2),点 C 是圆 0222 xyx 上的任意一点，则 ABC 的面积最小值是（ ） A. 23 B. 23 C. 226 D. 223 2. (立体几何与余弦定理综合 )设 A， B， C， D 是空间四个点，满足 AB AC， AB AD， AC AD，则 BCD 是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定 xyOAB
