1、http:/第 1 页 共 19 页蚂蚁爬行的最短路径1一只蚂蚁从原点 0 出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点 0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励 2 粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到 0；（2） （|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）2=114 粒2. 如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两
2、点之间，线段最短”知，线段 AB 即为最短路线AB= 5123（2006 茂名）如图，点 A、B 分别是棱长为 2 的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是 cm第 6 题http:/第 2 页 共 19 页解：由题意得，从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是两个棱长的长，即 2+2=4A B4如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的 B 点处，它爬行的最短路线是（ ）AAPB BAQB CARB DASB解：根据两点之间线段最短可知选 A故选 A5如图，点 A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为 2，一
3、蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是（ ）解：如图，AB= 故选 C1021http:/第 3 页 共 19 页AB1 216 正方体盒子的棱长为 2，BC 的中点为 M，一只蚂蚁从 A 点爬行到 M 点的最短距离为（ ）解：展开正方体的点 M 所在的面，BC 的中点为 M，所以 MC= BC=1，21在直角三角形中 AM= = 7如图，点 A 和点 B 分别是棱长为 20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由 A 处向 B 处爬行，所走最短路程是 cm。解：将盒子展开，如图所示：AB=CD=DF+FC= EF+ GF= 20+ 20=20cm2121故选 Cht
4、tp:/第 4 页 共 19 页8. 正方体盒子的棱长为 2，BC 的中点为 M，一只蚂蚁从 A 点爬行到 M 点的最短距离为 . 解：将正方体展开，连接 M、 D1，根据两点之间线段最短，MD=MC+CD=1+2=3，MD1= 132219如图所示一棱长为 3cm 的正方体，把所有的面均分成 33 个小正方形其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点，最少要用 2.5 秒钟解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线（1）展开前面右面由勾股定理得 AB= = cm；（2）展开底面右面由勾股定理得 A
5、B= =5cm；第 7 题http:/第 5 页 共 19 页A BA1 B1D CD1 C1214所以最短路径长为 5cm，用时最少：52=2.5 秒10 （2009 恩施州）如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是 。解：将长方体展开，连接 A、B，根据两点之间线段最短，AB= =2511. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处（三条棱长如图所示） ，问怎样走路线最短？最短路线长为 .解：正面和上面沿 A1B1 展开如图，连接 AC1，
6、ABC 1 是直角三角形，AC1= 532422 C12如图所示：有一个长、宽都是 2 米，高为 3 米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从 A 点爬到http:/第 6 页 共 19 页B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。解：由题意得，路径一：AB= = ；路径二：AB= =5；路径三：AB= = ； 5，5 米为最短路径13如图，直四棱柱侧棱长为 4cm，底面是长为 5cm 宽为 3cm 的长方形一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的表面爬到顶点 B求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程解：（1）AB 的长就为最短路线然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路
7、程为 （cm） ；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为 （cm） ，或 （cm）所以蚂蚁经过的最短路程是 cm（2） 5cm+4cm +5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，最长路程是 30cm14如图，在一个长为 50cm，宽为 40cm，高为 30cm 的长方体盒子的顶点 A 处有一只蚂http:/第 7 页 共 19 页蚁，它要爬到顶点 B 处去觅食，最短的路程是多少？解：图 1 中， cm图 2 中， cm图 3 中， cm采用图 3 的爬法路程最短，为 cm15如图，长方体的长、宽、高分别为 6cm，8cm，4cm 一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点 B则蚂蚁爬行的
8、最短路径的长是 。解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是 12cm 和 6cm，则所走的最短线段是 =6 cm；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是 10cm 和 8cm，所以走的最短线段是 = cm；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是 14cm 和 4cm，http:/第 8 页 共 19 页所以走的最短线段是 =2 cm；三种情况比较而言，第二种情况最短16如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20cm、3cm 、2cmA 和 B 是这个台阶上两个相对的
9、端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为 cm解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 20cm，宽为（ 2+3）3cm ，则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 xcm，由勾股定理得：x 2=202+（2+3）3 2=252，解得 x=25故答案为 2517如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm，3cm 和 1cm，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点
10、，最短线路是 cm。解：将台阶展开，如下图，因为 AC=33+13=12，BC=5，所以 AB2=AC2+BC2=169，所以 AB=13（cm） ，所以蚂蚁爬行的最短线路为 13cm答：蚂蚁爬行的最短线路为 13cmhttp:/第 9 页 共 19 页18（2011 荆州）如图，长方体的底面边长分别为 2cm 和 4cm，高为 5cm若一只蚂蚁从P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm解：PA=2（4+2）=12，QA=5PQ=13故答案为：1319如图，一块长方体砖宽 AN=5cm，长 ND=10cm，CD 上的点 B 距地面的高 BD=8cm，地面上
11、 A 处的一只蚂蚁到 B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图 1，在砖的侧面展开图 2 上，连接 AB，则 AB 的长即为 A 处到 B 处的最短路程解：在 RtABD 中，因为 AD=AN+ND=5+10=15， BD=8，所以 AB2=AD2+BD2=152+82=289=172http:/第 10 页 共 19 页所以 AB=17cm故蚂蚁爬行的最短路径为 17cm20 （2009 佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙） ，有一只蚂蚁从柜角 A 处沿着木柜表面爬到柜角 C1 处（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当 AB=4，BC=4，CC 1=5 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；（3）求点 B1 到最短路径的距离解：（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形 ABC1D1 和 ACC1A1故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的 A1C1 和 AC1 （2 分）（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段 A1B1 到 C1，爬过的路径的长是 （3 分）蚂蚁沿着木柜表面经线段 BB1 到 C1，爬过的路径的长是 （4 分）l1l 2，故最短路径的长是 （5 分）（3）作 B1EAC1 于 E，则 为所求 （8 分）21有一圆柱体如图，高 4cm，底面半径 5cm，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到 C 处，求蚂蚁爬行的最短距离 .第 2 题
