1、导数的概念及计算一、知识概述导数的概念及其基本运算是本周学习的重点内容，导数有着丰富的实际背景和广泛应用，通过对平均变化率的分析入手，层层深入，展现了从平均变化率到瞬时变化率的过程，指明了瞬时变化率就是导数，介绍了导数的一般定义并借助函数图象，运用观察与直观分析阐明了曲线的切线斜率和导数间的关系导数的计算主要包括两个方面，首先是几个常见函数的导数，然后是基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，关键在于使用这些公式与法则求简单函数的导数二、重难点知识归纳1变化率与导数(1)平均变化率通常把式子 称为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率令 ， ，则平均变化率可表示为(2)导数的概念一般地
2、，函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是则称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数(derivative)，记作 或 ，即当 x 变化时， 便是 x 的一个函数，则称它为 f(x)的导函数(derivative funtion)（简称导数），记作 或 ，则 (3)注意事项：弄清“函数 f(x)在点 x0 处的导数”、“ 导函数”、“导数” 之间的区别与联系，可以从以下几个方面来认识函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数导函数（导数）是一个特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想，对于每一个确定的值 x0，都对应着一个确定
3、的导数 ，根据函数的定义，在某一区间内就构成了一个新函数，即导数函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 就是导函数 在 x=x0 处的函数值，即 这也是求函数在 x=x0 处的导数的方法之一(4)导数的几何意义函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 就是曲线 y=f(x)在点 处的切线的斜率 k，即 2导数的计算(1)基本初等函数的导数公式若 f(x)=c，则 ；若 ，则 ；若 f(x) sinx，则 ；若 f(x)=cosx，则 ；若 f(x) ，则 （a0）;若 f(x) ，则 ；若 f(x) ，则 （a0，且 a 1）；若 f(x) ，则 .(2)导数运算法则 ； ；(3)复合函数的求导
4、法则(难点)设函数 在点 x 处有导数 ，函数 y=f(u)在点 x 的对应点 u 处有导数 或写作 复合函数求导法则：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，即 三、典型例题剖析例 1利用导数的定义，求出函数 y=x 的导数，并据此求函数在 x=1 处的导数解析例 2求等边双曲线 在点 处的切线斜率，并写出切线方程.解析例 3设 f(x)是定义在 R 上的函数，且对任何 x1，x 2 R 都有 f(x1x 2)=f(x1)f(x2).若 f(0)0， .(1)求 f(0)的值；(2)证明：对任何 x R，都有 .解析例 4求下列函数的导数：(1) ； (
5、2) ；(3) ； (4) 解析例 5求下列函数的导数：(1) ；(2) ;(3) ;(4) .解析例一 解析：利用导数的定义，结合求函数的导数的方法步骤进行计算，从而 总结：求函数 y=f(x)的导数可分如下三步：(1)求函数的增量 ；(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 ;(3)求极限，得函数 例二 解：函数 f(x)图象上点 P 处的切线方程的求解步骤：先求出函数在点处的导数 （即过点 P 的切线的斜率），再用点斜式写出切线方程 .，切线的斜率 ，切线方程为 y2=4(x )，即 4xy4=0.注：求导数也可以直接用公式，这里只是说明公式的推导过程.例三 解析：本题主要考查用导数的定义
6、求函数的导数的方法，以及函数极限的运算.(1) 对任意 都成立，令 ，得 f(0)=f2(0)(2) ，对任何 x R，都有 例四 解析：这些函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用四则运算法则和基本初等函数的导数公式求导(1) (2)解法一：解法二：(3)(4) ，例五解析：应用指数、对数函数的求导公式，结合函数四则运算的求导法则及复合函数的求导法则进行求导.(1)(2) 设 ，则 (3) (4)方法一：方法二：在线测试一、选择题1若函数 f(x)=2x21 的图象上一点（1，1）及邻近一点 ，则 （ ）A4 B4xC 42 D422物体运动方程为 ，则 t=5
7、时的瞬时速度为（ ）A5 B25C 125 D6253设 ，则曲线 y=f(x)在点 处的切线（ ）A不存在 B与 x 轴平行或重合C与 x 轴垂直 D与 x 轴斜交4曲线 在点(1，1) 处的切线方程为（ ）Ay=3x 4 By=3x2C y=4x3 Dy=4x55与直线 2xy4=0 平行的抛物线 y=x2 的切线方程是（ ）A2xy3=0 B2xy3=0C 2xy 1=0 D2xy1=06设 f(x)=(2x+5)6，在函数 中，x 3 的系数是（ ）A2000 B12000C 24000 D非以上答案7设 ，则 等于（ ）A0 BC D8函数 y=cos(cosx)的导数为（ ）A =sin(cosx)sinx B =sin(cosx)sinxC =cos(sinx)sinx D =cos(sinx)9设 f(x) 且 ，则 a 的值为（ ）A1 B2C D010 则 等于（ ）A BC D
